Stromingsleer en Thermodynamica
Eigenschappen van vloeistoffen
Fysica van Fluïda 1998-1999
Eigenschappen van vloeistoffen - het vloeistofmodel
Reële Vloeistof
Ideale Vloeistof- het vloeistofmodel
Cohesiekrachten
geen cohesiekrachten
groot genoeg om het volume te behouden
klein genoeg om vormveranderingen toe te laten
Adhesiekrachten
geen adhesiekrachten
gering: de vloeistof kleeft aan de wand van het reservoir
Samendrukbaarheid
onsamendrukbaar
gering: bvb. water vermindert 1 % in volume bij 207 bar
Elasticiteit
nagenoeg volledig elastisch
volkomen elastisch
Stromingsweerstand (viscositeit)
beduidend
geen stromingsweerstand
Fysica van Fluïda 1998-1999
E.I.
Reële vloeistoffen bezitten, volgende eigenschappen.
Cohesie: twee naast elkaar gelegen vloeistofmolekulen trekken el­kaar aan. Deze aantrekkingskracht is vrij gering zodat de onderlinge plaats van de moleculen gemakkelijk kan gewijzigd, worden. De aantrekkingskracht is echter groot genoeg om geen volumewijziging te bekomen m.a.w. I liter water blijft I liter water maar de vorm hangt af van de vorm van het reservoir waarin het water zich bevindt
Adhesie:_ dit is de aantrekkingskracht tussen de vloeistof moleculen en de moleculen van de vaste wand.
Samendrukbaarheid: de samendrukbaarheid is zeer gering en treedt
alleen op bij hoge drukken.
De samendrukbaarheid wordt behandeld in
hoofdstuk I.
We nemen als voorbeeld een buisje met een
2
doorsnede van I cm gevuld met water tot
op een hoogte van 100 cm en afgesloten door een zuiger. (fig.I) Plaatsen we op deze zuiger een gewicht van 2,07 kN dan daalt het niveau tot 99 cm. Het volume
van het water Vermindert dus met I°/0
2
wanneer er een druk heerst=2,07 kN/cm
(207 bar)
Fig.I.
Vloeistoffen zijn volledig elastisch.
Elastisch betekent dat het peil in vorig voorbeeld terug stijgt tot 100 cm als het gewicht terug wordt weggenomen. Volkomen elastisch, wil zeggen dat er nooit een residuële volumeverandering overblijft wat ook de druk is geweest; dit in tegenstelling met vaste lichamen Door deze elasticiteit worden stoten in een vloeistof met nagenoeg onverminderde sterkte doorgegeven.
Inwendige wrijving. Wanneer twee vloeistofdeeltjes over elkaar glijden met een verschillende snelheid ontstaat er een inwendige wrijving zoals die optreedt bij twee vaste lichamen die over el­kaar glijden.
E.2.
Bij iedere stroming ontstaat er een inwendige wrijving die afhan­kelijk is van de aard van de vloeistof (viscositeit). Over viscositeit wordt gesproken in hoofdstuk 2.
Een ideale vloeistof heeft volgende kenmerken:
~ 9££id_£2i2Ësie: er ^-s 9een klacht nodig om twee vloeistof deel tj es van elkaar te scheiden.
~ 9£Ë£_£Ëi2££r£: er ^s   9sen kracht nodig om 'een vloeis tof deel tj e
te scheiden van een   vaste wand.
- ideale vloeistoffen   zijn niet samendrukbaar
- ideale vloeistoffen   zijn volkomen elastisch
- ideale vloeistoffen   vertonen geen inwendige wrijving.
Gevolgen:
- de vloeistofdeeltjes kunnen over elkaar glijden zonder wrijving; dus kan de drukkracht die twee vloeistofdeeltjes op elkaar uit­oefenen alleen loodrecht staan op het aanrakingsoppervlak. (fig.2)
de vloeistofdeeltjes kunnen ook bewegen t.o.v. de vaste wand zonder wrijving; dus kan de drukkracht die een vloeistofdeeltje en een wand op elkaar uitoefenen alleen maar loodrecht staan op de wand. (fig.3)
E.3.
Soortelijke massa-soortelijk volume - relatieve
dichtheid - soortelijk gewicht.
I. DEFINITIES.
I^r^SoortelijJce massa of dichtheid. (Engels: density)
De soortelijke massa van een vloeistof is de massa per volume-
eenheid.
( LI-)
De soortelijke massa wordt uitgedrukt in kg/m"5. 1.2. Soortelijksvolume. (specific volume)
Het soortelijk volume van een vloeistof geeft aan welk volume door een eenheid van massa van een bepaalde vloeistof wordt in­genomen./ Het soortelijk volume is bijgevolg de reciproke van de soortelijke massa.
Het soortelijk volume wordt uitgedrukt in mJ/kg. I..3. Soortelijk: gewicht, (specific weight)
Vroeger(vóór I. januari '78) werd in de hydromechanica veel ge­bruik gemaakt van het begrip "soortelijk gewicht". (T) Het is het gewicht van de vloeistof per volumeeenheid.
Eenheden: N/raJ
In de uitdrukkingen waar vroeger T was aangegeven wordt nu pg
geschreven.
E.4.
1.4. Relatieve dichtheid, (relative density, specific gravity). De relatieve dichtheid van een vloeistof wordt gedefinieerd als de verhouding van de massa of het gewicht van een bepaalde hoe­veelheid vloeistof tot respectievelijk de massa of het gewicht van hetzelfde volume water bij 4°C. Het is dus een onbenoemd getal
Een vloeistof met een relatieve dichtheid 6=0,9 heeft dus een
3 soortelijke massa p=900 kg/ra .
Voordeel van relatieve dichtheid t.o.v. soortelijke massa.
De relatieve dichtheid is een onbenoemd getal, dus onafhankelijk van een eenhedenstelsel. De vloeistof uit vorig voorbeeld heeft overal ter wereld een dichtheid van 0,9.
De getalwaarde van de soortelijke massa is wel afhankelijk van het gebruikte eenhedenstelsel.
Nadeel van relatieve dichtheid t.o.v. de soortelijke massa.
In formules werken we altijd met de soortelijke massa en nooit met de relatieve dichtheid omwille van de kontrole op de een­heden. Nemen we als voorbeeld de eenvoudige formule:
E. 5.
Opmerking.
De soortelijke massa en alle andere afgeleide grootheden die hier­boven gedefinieerd werden hangen af van het volume dat door de vloeistof ingenomen wordt in bepaalde omstandigheden. Dit betekent dat het geen materiaalkonstanten zijn, maar dat-ze op zijn minst afhankelijk zijn van de toestandsgrootheden druk en temperatuur. De soortelijke.massa hangt immers samen met de hoeveel­heid moleculen die zich bevindt in een bepaald volume. Wordt de vloeistof samengedrukt, dan liggen de moleculen dichter bij elkaar en vergroot het aantal moleculen per volumeeenheid. Stijgt de temperatuur dan wordt de aktiviteit van de moleculen heviger en vermindert de hoeveelheid per volumeeenheid. We gaan nu verder na in welke mate de soortelijke massa afhankelijk is van deze twee parameters en hoe deze afhankelijkheid in de prak­tijk kan weergegeven worden.
We merken hierbij op dat bij verandering van druk of temperatuur de massa van een bepaalde hoeveelheid vloeistof konstant blijft maar dat wel het ingenomen volume wijzigt. We bekijken dan ook telkens eerst de verandering van het volume.
E.6
1.2. DRUGAFHANKELIJKHEID VAN DE SOORTELIJKE MASSA»
KOMPRESSIBILITEIT. Bij grote drukstijgingen blijft de massa van de vloeistof kon-stant terwijl het volume vermindert. De soortelijke massa zal bijgevolg stijgen.
I.2.I. Verandering van het volume vloeistof in_functie van_de druk. a. Kompressiemodulus.
Wanneer men op een vloeistof een grote druk uitoefent vermindert
het volume.
Bij vaste lichamen spreekt men van een elasticiteitsmodulus E
die een maat is voor de weerstand die het materiaal biedt tegen
lengteverandering.
Bij vloeistoffen spreekt men van de kompressiemodulus E, eveneens
2
uitgedrukt in N/m .
Hoe groter E, hoe kleiner de volumeverandering.
We verbeelden ons nu een perfect stijve cilinder en zuiger.
Wanneer op de zuiger geen kracht werkt is het volume
vloeistof = V . (fig.4)
De druk bedraagt pu.
Wanneer nu een kracht F op de zuiger wordt uitgeoefend dan ver­hoogt de druk op de vloeistof met dp maar het volume neemt af met dV. Met een bepaalde druk p korrespondeert een overeenkom­stig volume.V. (fig.5)
De volumeafname dV is                                                                     E.7.
evenredig met de druk toename dp. Hoe groter dp, hoe groter dV.
evenredig met het oorspronkelijk volume V .
afhankelijk van de aard van de vloeistof, wat kan uitgedrukt worden met behulp van de kompressiemodulus E.
Samengevat:
Het minteken wijst erop dat we bij een druk toename een volumeaf­name krijgen. Wanneer men de druk p uitzet in functie van de volumeverhouding
—— (het volume bij de druk p gedeeld door het oorspronkelijk
I volume) dan bekomt men een diagram zoals voorgesteld in figuur 6.
De kompressiemodulus is dus niets anders dan de richting van de
raaklijn getrokken in een bepaald punt van deze kurve (dus bij
een bepaalde druk p en een bepaald volume V).
De kompressiemodulus geeft dus, vertrekkend van een bepaalde druk
p en een bepaald volume V, de volumeverandering dV bij een druk-
stijging dp.
We noteren- bovendien dat de kompressiemodulus afhankelijk is van
de druk en het volume en stijgt naarmate de druk stijgt.
Dit duidt erop dat een vloeistof minder gemakkelijk samengedrukt
kan worden naarmate ze reeds meer samengedrukt is.
Anders gezegd: de weerstand tegen samendrukking verhoogt, wat ook
logisch is, vermits het steeds moeilijker wordt om de ruimte
tussen de vloeistofmoleculen nog meer te verkleinen.
b. Kompressiecoefficiënt.
Naast de kompressiemodulus E wordt de kompressiecoefficiënt ge-r definieerd als:
Hoe kleiner X , hoe kieiner de volumevermindering bij een druk-s. tij ging dp.
Evenals E is X dus ook geen konstante, maar afhankelijk van de actuele waarden van druk en volume, (zie fig. 6) De eenheden van de kompressiecoefficiënt: [Xj =m /N.
^ ft
c. Gemiddelde kompressiecoëfficiënt X •
m
Om de volledige kompressibiliteit van een vloeistof te kennen
zou men dus moeten beschikken over een experimenteel opgenomen
kurve zoals deze van figuur 6 waaruit dan de karakteristieke
grootheden E en X kunnen bepaald worden.
In praktijk volstaat echter meestal een benaderde waarde voor
deze grootheden.
Men neemt bijvoorbeeld als referentievolume het volume V bij
atmosferische druk. Er wordt een gemiddelde waarde X opgegeven
(experimenteel bepaald), die in het opgegeven drukinterval als
een konstant gegeven mag beschouwd worden.
Tabel I geeft op die manier X voor een hydraulische olie
m .
voor verschillende drukintervallen.
Druk
*m
Druk
m
bar
m2/N
bar
m2/N
0-50
-12 800.10
0-r300
680.I0~12
0-100
790.
0-350
667.
0-150
760.
0-400
656.
Q-200
730.
0-450
647. .
0-250
708.
0-500
640.
Tabel I
Men benadert op die manier de
grafiek van figuur 6 met een
bundel rechten waarvan de
helling overeenkomt met de
waarde X (fig.7) m ^
E.9. Uitdrukking 1.4. kan dan geschreven worden als
en vermits nu X en V^ als konstanten te beschouwen zijn qeldt
m 0
ook:
Voorbeeld.
500 liter van de hydraulische olie van tabel I wordt samengedrukt
tot 200 bar.
Wat wordt het volume bij 200 bar?
Oplossing:
Het volume wordt dus: 500-7,3=492,7 liter.
Het volume vermindert dus met ongeveer I,5°/0. Vergelijk dit met een volumeafname van water bij 200 bar van ongeveer I°/0. ( p.E.I)
E.10.
1.2.2. Verandering van de soortelijke massa in_functie van de druk. Er geldt:
dV =- XVdp (1.4)
dV
■=- X dp
V
Differentiatie van M=pV geeft: 0=pdV+Vdp
dV _          dp
V - " p
(1.5)
_dp
= Xdp
Maken we nu gebruik van de gemiddelde kompressiecoëfficiënt die
in het aangegeven interval als een konstante mag beschouwd
worden, dan geldt: p                                D
dp
= X
S'
'p
m p_
met -p =soortelijke massa bij atmosferische druk p a                                                                                                a
-p =soortelijke massa bij de druk p. ' p                                                J
- X = de gemiddelde kompressiecoëfficiënt in het drukinter-ra
val (p-p ) a
In p -In p = X (p-p ) rp ra m ^ ra
VP-Pa}
= e
of
X (p-p ) • m a
(1.6)
p =p e
*p *a
Voorbeeld.
Nemen we vorig voorbeeld dan kunnen we p. onmiddellijk uit­rekenen. Stel p=900 kg/m .
a
ft__ 73O.I0~I2.20O.I05 OT- -,C/1 . , 3 p =900 e                                         =913,2364 kg/m
E.II. Opmerking.
Op pagina E.5. is gezegd dat de massa onafhankelijk is van de druk.
We maken even een kleine kontroleberekening op de resultaten van het voorbeeld uitgewerkt op pag. E.9. en E.10.
Bij atmosferische druk:
V=500 liter = 0,5 m3
3 p=900 kg/m
M=0,5.900=450 kg.
Bij_200_bar.
V =49 2,7 liter = 0,49 27 m3
p200=913,2364 kg/m3
M=9I3,2364.0,4927 =449,95 kg.
Het verschil is te wijten aan afrondingen.
E . I 2 .
1.3, TEMPERATUURAFHANKELIJKHEID VAN DE SOORTELIJKE MASSA.
Wanneer we een vloeistof opwarmen behouden we dezelfde massa;
het volume wordt echter groter zodat de soortelijke massa moet
afnemen.
Bij stijging van de temperatuur neemt de soortelijke massa af.
Bij daling van de temperatuur neemt de soortelijke massa toe.
.1.3.1. Verandering van het volume vloeistof in functie van de tem­peratuur, a. Kubieke_uitzettingscoëfficiënt.
Net zoals bij een vaste stof kan men de temperatuursafhanke-lijkheid van het volume van een vloeistof uitdrukken bij mid­del van de kubieke uitzettingscoëfficiënt.
Proefondervindelijk kan men aantonen dat de volumetoename bij stijgende temperatuur
evenredig is met de temperatuursstijging
evenredig is met het oorspronkelijk volume
afhankelijk is van de aard van de vloeistof, wat kan aangeduid worden met behulp van de kubieke uitzettings­coëfficiënt B.
Er geldt ^dan volgend verband:
dV=BVdT ' ■
Of -2ï- = (3dT (1.7)
m3 I Eenheden van B: -
ra K
De kubieke uitzettingscoëfficiënt is, net als dat het geval was met de kompressiecoëfficiënt, geen materiaalkonstante, daar deze afhankelijk is van het actuele volume en de actuele temperatuur.
E.13.
b. De gemiddelde kubieke uitzettingscoefficiënt^
In praktijk volstaat het echter dikwijls om met een gemiddelde
uitzettingscoëfficiënt 8 te rekenen.
m
Deze geldt dan in een bepaald (beperkt) temperatuursinterval en kan in dat interval als konstant aangezien worden. We schrijven dan:
dV = j3 VdT m ■
of AV=8 VAT m
In de laatste kolom van tabel 2 worden, voor water,de gemiddelde
waarden van de kubieke uitzettingscoëfficiënt opgegeven waarmee
mag gerekend worden in het interval
,t] .
Temperatuur
Soort, massa p,
3 kg/m
Pm
°C
I/K
0
999,8
-0,05.I0"3
4
1000
0
10
999,7
0,05.
20
998,2
0,112.
•^
30
995,65
0,167.
40
992,2
0,217.
50
988,0
0,262.
60
983,2
0,302.
70
977,8
0,340.
80
971,8
0,376.
90
965,3
0,410.
100
958,4
0,441.
Tabel 2.
E.14.
1.3.2. Verandering van de soortelijke massa in functie van de temperatuur.
Er geldt:
v ^ o
(I.7^=(1.5)
of:
dp
= p dT
Wanneer we gebruik maken van de gemiddelde uitzettingscoëfficiënt, die als een konstante mag aangezien worden, dan kunnen we schrijven:
ƒ
dT
P m j
ref
'ref
In p.-ln p .=-£ (t-t J rt rref rm ref
-P (t-t .) rra ref
= e
ref
-j3 (t-t -) rm ref
(1.8)
Pr P
ref
V
oor petroleumproducten is t _=20°C.
r                 ^                            ref
Voor alcoholische producten is
t =I5ÖC. ref
Voor water is t =4°C.
ref
Figuur 8 schetst de verandering van
p in functie van de temperatuur.                                     Fig.8.
Voorbeeld:
In tabel 2 wordt ook de soortelijke massa van water bij verschil' lende temperaturen opgegeven. We rekenen deze na bij 50°C. Voor water wordt formule 1.8.
p50c=1000 e-°>262-IO"3c50-4) =988 kg/m3
E. 15.
Opmerkingen.
I. De temperatuurscoefficiënt.
Op figuur 8 zien we dat de verandering van p, in een klein tem­peratuursinterval, bijna lineair verloopt.
Bij kleine temperatuursvariaties die mogelijk zijn zonder druk­verandering kan de verandering van de soortelijke massa dan ook
3 worden aangegeven door een temperatuurscoefficiënt bv.0,7 kg/m K
De soortelijke massa wordt dan aangegeven door twee getallen.
Tabel 3 geeft de soortelijke massa van enkele vloeistoffen in
functie van de temperatuur.
Produkt
P20qC kg/m
Temperatuurs-
Relatieve
Temperatuurscoëf-
coef f iciënt
dichtheid
ficiënt van de
(I0-40°C)
relatieve dicht-
3 kg/m K
heid (I0-40°C)
Isobutanol
803
0,76
0,8030
0,00076
Isobutylacetaat
872,8
1,05
0,8728
0,00105
Isobutylacrylaat
890,6
1,01
0,8906
0,00101
Isobutylaldehide
790,5
1,1
0,7905
0,0011
Isopropanol
786,1
0,82
0,7861
0,0008 2
Isopropy1acetaat
873,7
1,15
0,8737
0,00115
Isopropylchloride
863,9
1,32
0,8639
0,00132
Tabel 3. Soortelijke massa in functie van de temperatuur.
Nemen we als voorbeeld isobutanol.
3 Het eerste getal (803 kg/m ) geeft de soortelijke massa bij 20°C.
3 Het tweede getal (0,76 kg/m K) geeft, in het temperatuursinterval
3 (I0-40cC)ïaan dat de soortelijke massa met 0,76 kg/m vermindert
(vermeerdert) telkens wanneer de temperatuur I°C stijgt boven
(daalt onder) de 20°C.
Van deze vloeistof is de soortelijke massa bij 35°C:
p =803-15.0,76=791,6 kg/m3.
E.16. 2. Temperatuursafhankelijkheid van de relatieve dichtheid.
Evenals de soortelijke massa is de relatieve dichtheid afhanke­lijk van de temperatuur.
Tabel 4 geeft de relatieve dichtheid in functie van de tempera­tuur voor butylmonoglycolether.
We bemerken dat in het temperatuursinterval (-20°C,+39°C) de teraperatuurscoefficiënt nagenoeg konstant is en ongeveer gelijk is aan Ov-0008.
Temp.
Relatieve
temp.
Relatieve
°C.
dichtheid
°C.
dichtheid
-20
0,9357
10
0,9108
-19
49
II
00
-18
40
12
0,9091
-17
32
13
83
-16
24, .
14
75
-15
0,9316
15
0,9067
-14
0,9307
16
58
-13
0,9299
17
50
-12
91
18
42
-II
82
19
33
-10
0,9274
20
0,9025
-9
66
21
17
-8
57
22
08
~"7v
49
23
00
-e"
41
24
0,8992
-5
0,9233
25
0,8984
-4
24
26
75
-3
16
27
67
-2
08
.28
59
-I
0,9199
29
50
0
0,9191
30
0,8942
I
83
31
34
74
32
25
3
66
33
17
4
58
34
09
5
0,9150
35
0,8901
6
41
36
0,8892
7
33
37
84
8
25
38
76
9
16
39
67
Tabel 4.
E.17.
Voorbeelden:
3 I. Een reservoir van 4m is bij 8°C boordevol vloeistof
3                                  3
p=I084 kg/m + 0,8 kg/m K
Hoeveel liter zal er overlopen als de temperatuur stijgt tot 30°C?
Oplossingj_
""                                                                3
poe =1084+12.0,8=1093,6 kg/m o C
Massa = 1093,6.4=4374,4 kg. .
Deze blijft ongewijzigd.
3
p
30°C
4374,4
84-10.0,8=1076 kg/m
:4,0654 m*
V =
1076
Er zal dus 65,4 liter vloeistof overlopen.
2. De perszijde van een centrifugaalpomp is, via een flexibel, ver­bonden met de leiding A B. (fig.9)
B
200m
A
Fig.9.' Een vloeistof, met een s-m. =1050 kg/m -0,8 kg/m K wordt naar het reservoir gepompt.
Om de vloeistof I°/0 in volume te doen verminderen is een druk nodig van 200 bar.
Bij het stilleggen van de pomp sluit de operator de afsluiter A en legt de pomp stil. Daarna begeeft hij- zich naar de tank en sluit afsluiter B.
De leiding tussen A en B zit dus vol met vloeistof. Veronderstel dat, onder invloed van de zon, de temperatuur van de vloeistof stijgt van 20°C tot 22°C. Welke drukstijging ontstaat er in de leiding? Oplossing^ M=I050 >
E.18.
P22oC=I050-2.O,8=1048,4 kg/m'
V
22°C
1050 V 1048,4 -I.OOI526 V^
De procentuele stijging van het volume bedraagt:
1,001526-1 .ioo=0,1526V. De drukstijging wordt dus: 200.0,1526=30,52 bar.
Tegen deze drukstijging zijn de leidingen en de afsluiters niet bestand. We kunnen deze drukstijging'-verhinderen door
ofwel: na het sluiten van B worden A en C geopend en een beet-
je vloeistof wordt afgelaten (Fig.IO)
ofwel: na het sluiten van B wordt afsluiter D geopend zodat
. de vloeistof kan uitzetten via het reservoir.
Fig.IO.
A £>4
D
3. In een centrale verwarmingsinstallatie stijgt de temperatuur van het water bij het aanslaan van de ketel. Het water moet dus kun­nen uitzetten om abnormale drukstijging te voorkomen. Hiervoor zorgt het expansievat.
4. We kunnen vorige toepassing veralgemenen. Overal waar een hoeveel' heid vloeistof in een gesloten circuit zit moet een expansievat geplaatst worden. Er bevindt zich dus ook een expansievat op het
ijswatercircuit van een luchtbehandelingsinstallatie.
5. In een tank wordt het peil gemeten. De stand bedraagt 7330 mm. Twee dagen later is het peil 7318 mm zonder dat er vloeistof is bijgepompt of weggepompt.
Is er een lek? Niet zeker, want het kan het gevolg zijn van een temperatuursdaling.
Een kontrole is maar mogelijk indien men, naast het peil, ook de temperatuur kent.
E.19.
1.4. DRUK-EN TEMPERATUURSAFHANKELIJKHEID VAN DE SOORTELIJKE MASSA. Hogere temperaturen van vloeistoffen zijn meestal maar mogelijk als gelijktijdig ook de druk wordt verhoogd.
Bij grote temperatuursveranderingen hebben we dan ook gewoonlijk drukveranderingen.
Tabel 5 geeft de verandering van de soortelijke massa van water in functie van temperatuur en druk.
Druk
0°C
50
100
150
2O0
250 -
300
bar
0
999,84
988,04
5
1000,1
988,2
958,6
916,9
10
1000,3
988,4
958,7
917,3
25
1001,1
989,1
959,5
918,0
865,4
50
1002,3
990,2
960,7
919,4
867,2
800,3
75
1003,5
991,3
961,8
9 20,7
869,0
803,1
100
1004,8
992,4
962,9
922,1
870,7
805 ,8
715,4
125
1006,0
993,3
964,1
923,4
872,4
808,5
720,6
150
1007,2
994,4
965,3
9 24,7
874,2
811
725,6
200
1009,6
996,5
967,4
927,3
877,6
816
734,6
250
1011,9
998,5
969,6
929,8
880,8
8 20,7
724,8
Tabel 5. Voorbeeld.
Indien we de druk van water bij 0°C verhogen van I bar naar 200 bar
dan neemt het volume af.
Wat wordt de volumeafname van 1000 kg water?
Bepaal X in dit drukinterval. m
Welke druk heeft men nodig om het volume met. I°/0 te doen vermin­deren. Oplossing:
I. p =999,8 kg/m"
p200=1009,6 kg/m"
I0O0 3 1000 kg bij I bar hebben een volume = .-q q,— m
IOOO 3
m
I00O kg bij 200 bar hebben een volume =
1000 1000
=9,6687.IO"*3m3
AV = •
999,84
2. AV=-' X V^ Ap
m O r
1009,6
1000
200.10"
■-9,6687.10- -- X 999)84
X =4,83.10 m /N
^m '
3. We stellen V=I00 en dus AV=I 1=4,83.IO"10.100 Ap
*"7                 O
Ap = 2,07.IO+ N/m =207 bar.
T.I.I. Hoofdstuk I, Soortelijke massa- soortelijk volume- relatieve dichtheid-soortelijk gewicht.
M 3 Soortelijke^massa: p= kg/m
I V 3 Soortelijk volume: v= --- = ■■ m /kg
3
Soortelijk gewicht:r=pg N/m
"""" " Pvl Relatieve dichtheid: 6= ---- onbenoemd
pw
?vl= I00° 6vl
Drukafhankelijkheid van de soorteli jke_massa._
1.  Verandering van het volume in functie van de druk
a7._-Ï----- VA - -Xm V0 Ap
E              0
m
2. Verandering van de soortelijke massa in functie van de druk
X (p-p) m *a p =p e rp ra
Temc-eratuurs af hankelijkheid Xa£_Ëe Ë22£--Iiiia„il!a£sa*
1.   Verandering van het volume in functie van de temperatuur
AV=6 "VAT rm
2. Verandering van de soortelijke massa in functie van de temperatuur.
-B (t-t J rm ref
p =p _ e rt rref
Voor water
-6 (t-4) m
Pt=P4e
Voor kleine temperatuurvariatie zonder drukvariatie Pt=p20°C - temperatuurscoëfficiënt.At
T.I.2.
Soortelijke massa van kwik.
Temp.
Soort.
Temp.
Soort.
massa
massa
°C
kg/m
°C.
kg/m
-10
13 619,8
20
13 545;8
- 9
617,3
21
543,4
- 8
614,8
22
540,9
-, 7
612,4
23
538,5
- 6
609,9
24
536,0
- 5
13 607,4
25
13 533,6
- 4
605,0
26
531,1
- 3
602,5
27
5 28,7
- 2
600,0
28
526,2
- I
597,6
29
523,8
- 0
13 595,1
30
13 521,3
I
59 2,6
31
518,9
2
590,1
32
516,4
3
587,7
33
514,1
4
585,2
34
511,6
5
13 582,7
35
13 509,1
6A
580,3
36
506,6
7
577,8
37
504,2
8
575,4
38
501 ,8
9
5.72,9
39
499,4
10
13 570,4
40
13 496,9
II
568,0
50
472,5
12
565^5
60
448,2
13
563,0
70
424,0
14
560,6
80
399,8
15
13 558',I
90
13 372,3
16
555,7
100
351,5
17
553,2
110
3 27,9
18
550,7
120
304,0
19
548,3
130
280,1
T.I.3.
Soortelijke massa en S voor water bij verschillende temperaturen.
rm                                                                     ^
Temperatuur °C.
Soort.Massa p, kg/m
^ I/K
0
4
10
20
30
40
50
60
70
80
90 100
999,8
1000
999,7
998,2
995,65
992,2
988,0
983,2
977,8
971,8
965,3 958,4
-0,05.IO~3
0
0,05.IO~3
0,II2.I0~"
0,I67.IO~"3
0,2I7.I0""3
0,262.I0~3
0,302.IO"3
0,340.IO~3
0,376.I0""3
0,4I0.I0""3 0,441.10
T.I.4.
Eigenschappen van water.
Temp.
Soort.
Soort.
Kompres.
Dyn.
Kinem.
gewicht
massa
modulus
visc.
visc.
t
Y
P
E/105
T1.I03
v.io6
°C
3 kN/m
kg/m
k Pa
Pa s
m /s
0
9,805
999,8
1,98
1,781
1,785
5
9,807
1000,0
2,05
1,518
1,518
10
9,804
999,7
2,10
1,307
I ,306
15
9,798
999,1
2,15
1,139
1,139
20
9,789
998,2
2,17
1,002
I ,003
25
9,777
997,0
2,22
0,890
0,893
30
9,764
995,7
2,25
0,798
0,800
40
9,730
99 2,2
2,28
0,653
0,658
50
9,689
988,0
2,29
0,547
0,553
60
9,642
983,2
2,28
0,466
0,474
70
9,589
977,8
2,25
0,404
0,413
80
9,5 30
971,8
2,20
0,354
0,364
90
9,466
965,3
2,14
0,315
0,326
100
9,399
958,4
2,07
0,28 2
0,294
Indien E/I06=I,98 dan is E=I,98.10 k Pa
3                                                   -3
Indien T.10 =1,781 dan is TJ =1, 791.10 Pa s.
CL                                                                                                                                     CL             O
Indien V.io =1,785 dan is v=1,785.10 m /s.
LD H
X) LO
3 ^
CD
00
00
ro
00
ro
00
CM
t>
C-
re- CM
O CM
CD
H
CD
H
LO
H
CD
H
LO
O
LO
O 00
0 (U
CM
CM
H
M
O
O
00
00
00
00
o O
CO CD
LO
LO
«et
«et
ro
ro
CM
CM
H
H
O
O 00
JC P
O
CO
CD
oo
CM
LO
r-»
O
ro
ro
oo CM
LO 00
M
«et
O
O
ro
CD
00
CM
LO
00
M
«et ro
C «H
O
CO
CO
00
ro
CD
00
co
CD
00
CM CO
00 CM
CD
00
CM
CD
00
CM
LO
00
CM
LO
00
<M co
H <H
CD
CO
CD
CD
t>
re-
re-
00
00
00
oo oo
00 O
O
O
H
H
H
CM
CM
CM
CO
ro
ro
«et «et
0) P
tx> •
0 E
M
H
H
H
H
in
in
H
H
H
H H
H CM
CM
CM
CM
CM
CM
CM
CM
CM
CM
CM
CM
CM CM
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O O
O O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O O
0 E
O
O
O
O
O
O
O
o
O
O
O o
O O
O
O
O
O
o
O
O
O
O
O
O
O co
X
00
oo
O
M
CM
ro
«et
LO
CO
r>
00 oo
O H
CM
ro
«et
LO
CD
o
00
00
O
M
CM
ro ro
«et
«et
en
en
LO
LO
LO
LO
LO
LO
LO LO
CD CD
CD
CD
CD
CD
CD
co
CD
CD
r>
r-
r-
c- t>
X io
3 M
O
CM
t-»
H
CD
M
CD
H
CD
H
co O
LO O
LO
O
LO
o
«et
oo
«et
00
«et
00
«et
00 co
0 (U
CD
CD
LO
LO
«et
«et
ro
ro
CM
CM
M H
O o
00
00
co
00
re-
CD
CD
LO
LO
«et
«et
ro ro
p p
O
ro
CD
00
CM
LO
00
H
«et
te-
O co
CD 00
H
«et
O
o
rO
CD
00
CM
LO
00
H
«et O
C 'H
H
«et
r>
O
«et
r>
O
«et
r>
O
«et r>
O co
O
O
CO
c-
O
ro
CD
O
ro
CD
O
ro co
H rH
t>
O
t>
00
00
00
er»
00
00
O
o o
H H
H
CM
CM
CM
ro
ro
ro
«cl4
«et
«et
LO
LO LO
P
Ui • 0 E
H
H H
H H
H
H
H
H
(H
H
H
M
H
H
H
H H
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
o o
O O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
o
O O
0 E
O
O
O
O
o
o
O
O
O
O
o o
O O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O O
X
H
CM
ro
«et
LO
CD
o
00
00
O
M CM
ro «et
LO
co
re-
00
oo
O
H
CM
ro
«et
LO
cd r>
CM
CM
CM
CM
CM
CM
CM
CM
CM
ro
ro ro
ro ro
00
ro
ro
ro
ro
«et
«et
«et
«et
«et
«et
«et «et
XI OT
3 Lj
«et
ro
ro
CM
CM
H
H
O
LO
O
LO O
LO 00
«et
00
ro
00
ro
00
ro
oo
CM
O
CM
t> CM
O OJ
H
«et
o-
O
ro
CO
00
CM
H
H
o o
O O
H
M
CM
M
M
O
O
00
00
00
00
r> r>
JC P
CO
H
«et
00
M
«et
r-
H
«et
l>
O co
CD 00
CM
LO
00
H
«et
t>
O
CM
LO
00
hl^r
C -H
CM
ro
ro
ro
«et
«et
«et
LO
00
H
LO 00
H «et
OO
H
"Cf
00
H
«et
00
H
«et
O
H
«-t r>
1—| r~i
H
M H
CM CM
CM
ro
ro
ro
«et
«et
«et
LO
LO
LO
CD
CD CD
<u p
tX1
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O o
O O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O O
0 E
CO
«et
LD
CD
r>
00
00
o
O
O
o o
O o
O
O
o
O
O
O
o
O
O
O
O
O O
0 E
M
CM
ro
«et LO
CD re»
00
00
o
H
CM
ro
«et
LO
CD
r-
00
oo O
X
H
M
H
H
H
M
H
H
H
H CM
P
•H
0)
P
LO
LO
LO
L0
L0
LO
LO
LO
10
•H
M
U
M
u
U
U
M
U
p
U
Q)
<D
LU
LU
LU
cU
LU
LU
LU
rO
p
p
P
p
p
P
P
P
p
a
•H
•H
•H
♦H
•H
•H
•H
•H
•H
ro
rH
rH
rH
rH
rH
rH
rH
r"*"i
rH
U
O
00
00
00
00
t>
r>
LD
CD
(U
X
ro
LO
00
H
«et
r-
O
ro
CD
rH
ro
LD
00
ro
CD
00
ro
CD
00
<U
H
H
H
CM
CM
CM
X
X
II
II
II
II
II
II
II
II
II
•H
'v-
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
0)
E
E
E
E
E
E
E
E
E
O
M
CM
ro
«et
LO
CD
r>
co
00
•I
(UI PI «UI ■PI (UI •H I PI «Ö I
u\
PI
Hl -H|
<di xi
T.I.5 bis
Ca
pacitei t
Capaciteit
Capaciteit
Cap
aci teit
°/0= kg
° /
f o
= kg
V
= kg
V
= kg
I
2112
26
7626
51
I3I4I
76
18655
2
2333
27
7847
52
I336I
77
18875
3
2553
28
8067
53
13582
78
19096
4
2774
29
8288
54
13802
79
I93I6
5
2994
30
8509
55
14023
80
19537
6
3215
31
8729
56
14243
81
19758
7
3435
32
8950
57
14464
82
19978
8
3656
33
9170
58
14684
83
20199
9
3877
34
9391
59
14905
84
20419
10
409 7
35
9611
60
I5I26
8 5
20640
II
4318
36
9832
61
15346
86
20860
12
4538
37
.10053
62
15567
87
21081
13
4759
38
1027 3
6 3
15787
88
21302
14
4979 -
39
10494
64
16008
89
21522
15
5 200
40
I07I4
65
16228
90
21743
16
5421
41
10935
66
16449
91
21963
■ 17
5641
42
III55
67
16670
92
22184
18
5862
43
II376
68
16890
93
22404
■19
608 2
44
II597
69
I7III
94
22625
20
6303
45
II8I7
70
I733I
95
22846
21
6523
46
12038
71
17552
96
23066
22
6744
47
12258
72
17772
97
23287
23
6965
48
12479
73
17993
98
^23507
24
7185
49
12699
74
I82I4
99
23728
25
7406
50
129 20
75
18434
100
23948
Gemiddelde capaciteit.
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
/o =
22,1 kilogram
/o = 44,1
= 66,2
= 88,2
= 110,3
= 132,3
= 154,4
= 176,5
= 198,5
Inhouden gelden voor een densiteit van 1,02 bij heersende temperatuur.
E.20.
HOOFDSTUK 2
Viscositeit.
2.1. DEFINITIE.
Wanneer twee lagen van een reële vloeistof t.o.v. elkaar verscho­ven worden ontstaat er inwendige wrijving. De weerstand welke de twee over elkaar schuivende vloeistoflagen ondervinden is afhanke­lijk van de viscositeit van de vloeistof.
De viscositeit is dus een maat voor de weerstand tegen stroming en hangt samen met de cohesiekrachten in de reële vloeistof en met de inwendige wrijving in de vloeistof.
D^!iX±2i:^5rlEe veistoffen hebben grote cohesiekrachten, grote in­wendige wrijving en hoge viscositeit.(bv. zware olie, teer). Dunvloeibare_vloei stoffen hebben kleine cohesiekrachten, kleine inwendige wrijving en lage viscositeit (bv. water, benzine).
2.2-? VISCOSITEITSWET VAN NEWTON.
Om de viscositeit van een vloeistof te kwantificeren baseren we ons op het experiment van Newton.
We beschouwen een vloeistofreservoir met horizontale bodem waarin zich een vloeistof bevindt tot ap eea h-oogte h ne-bac* Cfig.II)
snelheidsprofiel/in een Newfoniaanse
vloeistof
Op deze vloeistof wordt een vlakke plaat gelegd met een oppervlakte
2
van Am. Om deze plaat een konstante snelheid v te geven moet een
kracht F uitgeoefend worden.
De kracht F is nodig om de weerstand tegen stromen van de vloeistof,
de inwendige wrijving, te overwinnen.
E.21.
Gaan we nu na welke stroming in de vloeistof door deze actie wordt
teweeggebracht. Aan de bewegende plaat zal, omwille van de adhesie-
krachten tussen de vloeistofmoleculen en de plaatmoleculen, een dun
laagje vloeistof blijven kleven.
Dit laagje krijgt dus een snelheid v van de plaat. Aan de bodem
van het reservoir zal eveneens een dun laagje vloeistof kleven;
dit laagje heeft dus een snelheid nul.
Tussen het bovenste en het onderste laagje vloeistof bestaat dus
een snelheidsverschil v. De vloeistoflagen daartussen gelegen
worden in beweging gebracht door de inwendige wrijving. In fig.II.
werd het snelheidsverloop lineair verondersteld.
Volgens Newton is de kracht F, gelijk aan de totale inwendige
wrijvingskracht,
onafhankelijk van de druk op de vloeistof
recht evenredig met de~ oppervlakte A
recht evenredig met het snelheidsverschil v tussen plaat en bodem
omgekeerd evenredig met de hoogte h van de vloeis toflaag
afhankelijk van de viscositeit van de vloeistof (de maat voor de weerstand tegen stroming) Samengevat:
v
F=T} A
Hierin is t\ de dynamische viscositeitscoëfficiënt.
2.3.VERALGEMEENDE VISCOSITEITSWET. ,
In het experiment van Newton werd het snelheidsverloop in de ver-tikale richting in de vloeistof lineair verondersteld. Zulke vloeistoffen worden Newtoniaans genoemd. De snelheid kan in een gelijkaardig experiment echter ook een verloop vertonen zoals bijvoorbeeld voorgesteld in figuur 12. We kunnen de viscosi teits-wet veralgemenen.
-F
Vj + dv
vl
///?/./////////////////////////////
Fig.I2,
E.22. Hiertoe beschouwen we twee willekeurige, maar onderling rakende vloeistoflaagjes met een hoogteverschil dh.
Het onderste van deze twee laagjes heeft een snelheid v , het boven­ste laagje een snelheid v +dv. In dit elementair dun gebied kan het snelheidsverloop lineair verondersteld worden. De wet van Newton wordt:
FI= T] A
dv
dh
F =de kracht nodig om het bovenste laagje t.o.v. het onderste te
verschuiven.
Men kan ook schrijven:
F,
dv
= T|
dh
of nog
x = de schuifspanning
Tj = de dynamische viscositei tscoëf f iciënt
dv
= de snelheidsgradiënt.
dh
Deze betrekking kan voorgesteld worden in een ( x y
dv
) diagram
dh
en laat toe een onderscheid te maken tussen ideale, Newtoniaanse en niet-Newtoniaanse vloeistoffen. (fig.I3)
ideale vaste stof
Newtoniaans
ideaal plastic
Newtoniaans
Fig.I3
Newtoniaans
deal e vloeistof
Newtoniaanse vloeistoffen worden in zulk diagram door een rechte voorgesteld. De helling van deze rechte is een maat voor de dyna­mische viscositeitscoëfficiënt. In een Newtoniaanse vloeistof geldt ook een lineair snelheidsverloop (fig.II). De abscis van dit diagram
stelt de ideale vloeistof voor: geen cohesiekrachten, dus ook geen weerstand tegen stroming. De ordinaat stelt de ideale vaste stof voor
E.23.
Vloeistoffen waarvoor het verband ( ~ , —tt—• ) niet lineair is
dh
worden niet-Newtoniaans genoemd. Het snelheidsverloop is ook niet
lineair. (fig.I2)
Opmerkingen:
1. In de uitdrukkung i = Tl —rr— komt de druk niet voor.
r dh
Dat betekent dus dat zowel x als Tj onafhankelijk zijn van de druk. Vermits de viscositeit een maat is voor de inwendige wrijving be­tekent dit dat bij vloeistoffen de inwendige wrijving niet ver­andert bij veranderlijke druk.
Enkel bij zeer hoge drukken stelt men een drukafhankelijkheid vast.
2. Elke. schuifspanning hoe gering ook, heeft een stroming tot ge-
dv volg omdat er, volgens de betrekking i = i\ , , een snelheids­gradiënt moet ontstaan, dus een snelheidsverschil tussen opeen­volgende vloeistoflaagjes.
3. Op een plaats waar =0 is de schuifspanning x - 0 wat de grootte van de viscositeit ook moge zijn. In elk geval is de schuifspanning bij visceuze vloeistoffen die zich in rust be­vinden steeds gelijk aan nul.
4. Het snelheidsprofiel in een vloeistof kan nooit rakend zijn aan een vaste wand. Dit zou immers betekenen dat de snelheidsgradiënt oneindig zou zijn. Ook de schuifspanning tussen de vloeistof en de vaste wand zou dan oneindig groot worden.
5. Tenslotte merken we nog op dat de snelheid aan de grens met de vaste wand altijd nul is. Er kleeft steeds een zeer dun laagje vloeistof aan de vaste wand. De vloeistof schuift dus niet over de vaste wand.
6. Het snelheidsprofiel kan niet loodrecht op de bewegende wand staan want dan is
Ti dv                       _                      ■
11 -ah-= L =0
waaruit F = x .A=0
Er zou dus geen kracht nodig zijn om de plaat te verschuiven.
E.24.
2.4. DYNAMISCHE VISCOSITEIT. EENHEDEN.
Nemen we terug de wet van Newton, geldig voor Newtoniaanse vloei­stoffen.
F= 7] A
(
dv
ï lineair snelheidsverloop)
dh
11 =
Fh
Av
De dynamische viscositeitscoëfficiënt is in dit geval gelijk aan de kracht die per eenheid van oppervlakte (A=I) moet worden uitge­oefend om twee vloeistoflagen op een afstand gelijk aan de lengte-eenheid van elkaar (h=I) t.o.v. elkaar te verplaatsen met de een­heid van snelheid (v=I)
Eenheden. MKS stelsel
M =
Nm
Ns
= Pas
2 . m m/s
kqf s
Technisch stelsel
m
c.g.s stelsel
m dns
= Poise (P)
cm
Opmerking:
De benaming dynamische viscositeit houdt verband met de eenheden waarin deze coëfficiënt wordt uitgedrukt nml. : N, s en m, de een­heden uit de dynamica.
Verband tussen de verschillende eenheden.
De wettelijke eenheid voor dynamische viscositeit is Pas.
Vooral in de Angelsaksische literatuur wordt de Poise zeer veel
gebruikt.
x -J£3|S_ . 9,81 -üf- = 9,81 Pas mm
I Pas = I
Ns
I05.I
io4
dns
-= 10 Poise = 10 P
m
cm
I Pas = 10 P
Verder I P = I0~ Pas
-3
IcP = 10 Pas
(IcP=I centiPoise)
IcP = ImPas
(I milli Pascal seconde)
E.25.
2.5. KINEMATISCHE VISCOSITEIT. EENHEDEN.
De kinematische viscositeitscoëfficiënt (V ) is gedefinieerd als de verhouding van de dynamische viscositeitscoëfficiënt tot de soortelijke massa p.
Eenheden.
Ns
MKS stelsel
M-
2 m
kg
2
m
3 m
s
2
cm
_ kqm s m
2 2 s m kg
m
Technisch stelsel
cgs stelsel
= I St tStokes)
Opmerking
De benaming houdt ook hier verband met de eenheden gebruikt in de kinematica nml. meter en seconde.
Verband tussen deze eenheden.
m
= 10
cm
= 10 St
m
=10 c St
(centiStokes)
I cSt = I
mm
=10
-6 m'
E.26.
216. VERBAND TUSSEN DE EENHEDEN VAN KINEMATISCHE EN DYNAMISCHE VISCOSITEIT. In de uitdrukking
gebruiken we de volgende eenheden
2
V
m
T
Pas
p : kg/m'
Ofwel.
v
Tl P
: cSt (IO°m /s)
_3 : c P=m Pas (10 Pas)
: kg/l (lO-3 kg/m3)
2.7. VOOR- EN NADEEL VAN DE KINEMATISCHE VISCOSITEIT T.O.V. DE DYNAMISCHE. Bekijken we nog eens de dynamische viscositeitscoëfficient
i Pas - i -V' .s-i kTV . i Jsa_ . -ai-
2                       2 2                     3 s
m                       s m m
In de dynamische viscositeitscoëfficient zit nog de soortelijke
massa van de vloeistof.
Het voordeel van de kineraatische viscositeitscoëfficient is dat
deze onafhankelijk is van de soortelijke massa van de vloeistof.
—6 2 Nemen we als voorbeeld een vloeistof waarvan V = 10*" m /s.
3                                          6
Is p= 800 kg/m dan is T = 800.10" Pas
3                                           6
Is p=I000 kg/m dan is f] =I000.I0" Pas
3                                        —6
Is p=I200 kg/m dan is tj =1200.io" Pas
Het nadeel van de kinematische viscositeit; volgens Newton is de
dynamische viscositeit onafhankelijk van de druk op de vloeistof,
De kinematische viscositeit is dus wel afhankelijk van de druk
daar de soortelijke massa verandert met de druk.
E.27.
2.8.  PRAKTISCHE EENHEDEN VAN VISCOSITEIT.
Naast de hierboven vermelde eenheden bestaan er nog tal van andere eenheden voor viscositeit.
De drie hierna vermelde eenheden verwijzen naar de manier waarop de viscositeit wordt gemeten. Vermits de viscositeit in sterke mate afhangt van de temperatuur moet de viscositeit dus gemeten worden bij een welbepaalde temperatuur.
Het principe van al deze meters komt hierop neer dat een bepaalde hoeveelheid vloeistof bij een bepaalde temperatuur door een gekali­breerde opening moet stromen, waarbij de uitstroomtijd wordt ge­meten . I. Graden Engler_(°E2
Het aantal graden Engler is de verhouding tussen de tijd t
3 nodig voor het wegvloeien van' 200 cm vloeistof bij een be­paalde temperatuur (t°C) en de tijd t nodig voor het weg­vloeien van dezelfde hoeveelheid gedistilleerd water van 20°C.
V
Het is de tijd nodig voor het wegvloeien van 60 cm van de vloeistof bij een bepaalde temperatuur.
Voor een bepaalde vloeistof is de uitstroomtijd bij 60°F (I5,S6°C) bv. gelijk aan•40 seconden. De viscositeit van deze vloeistof bij I5,56°C is dus 40 SSU.
3. 5edwood_N2__I__25^_.l2
"                                    3
De uitstroomtijd T van 50 cm van de vloeistof bij t°C
vermenigvuldigd met de relatieve dichtheid bij t°C.
Re 1=100. ------------------------r-----------:----------------------
Uitstroomtijd van 50 cm van een speciale olie bij I5,56°C
vermenigvuldigd met de relatieve dichtheid bij I5,56°C.
^ T^ T relatieve dichtheid van de vloeistof bij t°C Re 1=100 53^- --------------- o,9I5------------------"J-----
2.9. VERBAND TUSSEN DE VERSCHILLENDE EENHEDEN VAN VISCOSITEIT. Blz. E<*28 en E.29. geven een omrekeningstabel, (tabel 6) Voorbeeld:
T] =200 cP p = I kg/l v =200 cSt=200.I0~ m /s=26 , 3°E=924 SSU
Tl= 90 cP p=0,9kg/l v =100 cSt = I00.I0~ m /s = !3 ,17° E=462 SSU
E.28,
Tabel 6.
io"6v
Dynamische viscositeit cP = mPas
m /s
°E
S.S.U.
Re I
p=0,9kg/l
p=Ikg/l
p=I,Ikg/l
I
I
0,9
I
1,1
1,2
1,027
1,08
1,2
1,32
1,4
1,052
1,26
1,4
1,54
1,6
1,075
1,44
1,6
1,76
1,8
1,098
1,62
1,8
1,98
2
1,119
32,6
30,2
1,8
2
2,2
3
1,217
36
32,7
2,7
3
3,3
4
1,307
39,1
35,3
3,6
4
4,4
5
1,393
42,3
37,9
4,5
5
5,5
6
1,479
45,5
40,5
5,4
6
6,6
7
1,564
48,7
43,2
6,3
7
7,7
8
1,651
52,0
46,0
7,2
8
8,8
9
1,740
55,4
48,9
8,1
9
q q
10
1,831
58,8
51,7
9
10
II
12
2,02
65,9
■v.
57,9
10,8
12
13,2
14
2,22
73,4
64,4
12,6
14
15,4
16
2,43
81,1
71,1
14,4
16
17,6
18
2,64
89,2
78,1
16,2
18
19,8
20
2,87
97,5
85,4
18
20
22
22
.3,10
106,0
92,9
19,8
22
24,2
24
3,34
114,6
100,4
21,6
24
26,4
26
3,58
123,3
108,1
23,4
26
28,6
28
3,82
132,1
115,8
25,2
28
30,8
30
4,07
140,9
123,7
27
30
33
Gebruik: 2,02oE£l2.I0~6m2/s==65 ,9 S.S.U
E.29.
-6 10 v
Dynamische viscositeit
2,
m /s
°E
SSU
Re I
cP = mPas
p=0,9kg/l
p=Ikg/l
p=I,I
35
4,7
163,2
143,3
31,5
35
38,5
40
5,33
185,7
163,2
36
40
44
45
5,98
208,4
183,2
40,5
45
49,5
50
6,62
231,4
203,3
45
50
55
56
7,41
259,0
227,4
50,4
56
61,6
60
7,93
277,4
243,5
54
60
66
. 70
9,23
323,4
283,9
63
70
77
80
10,54
369,6
322,9
72
80
88
90
11,86
415,8
364,4
81
90
99
100
13,17
462,0
404,9
90
100
110
120
15,8
554,4
485,9
108
120
132
140
18,43
646,8
566,9
126
140
154 '
160
21,06
739,2
647,9
144
160
176
180
23,69
831,6
728,9
162
180
198
200
26,3
924,0
809,8
180
200
220
220
28,9
1016
890,8
19.8
220
242
240
31,6
1109
971,8
216
240
264
260
34,2
1201
1053
234
260
286
280
36,8
1294
1134
252
280
308
300
39,4
1386
I-2I5
270
300
3 30
400
52,6
1848
16 20
360
400
440
500
65,8
2310
2024
450
500
550
600
78,9
2772
2429
540
600
660
700
92,1
3234
2834
630
700
770
800c
105,3
3696
3239
7 20
800
880
900
118,4
4158
3644
810
900
990
1000
131,6
46 20
4049
90Ó
1000
IIOO
i..
E.30.
2.10.Toepassingen op de viscositeitswet.
I. De ruimte tussen twee grote platen op een afstand "van 30 mm van elkaar is gevuld met een Newtoniaanse vloeistof met een visco­siteit 7] =0,9 Pas.
Welke kracht is er nodig om een dunne plaat met een oppervlakte
2
van 0,5 m op 10 mm van de bovenrand te laten bewegen met een
konstante snelheid van 0,4 m/s. (fig.I4) Oplossing;
F=F +F 12
5
S es
_,*_ v= 0,4 m /s
= IJ A
h.
T] A
F
A = 0,5m2
=0,9.0,5 ( = 27 N .
0j4 0,01
0±±_) 0,02
CS
Fig.I4.
'/////.
//////////
2. Het blok van figuur 15 glijdt van een hellend vlak met een konstante snelheid v=0,25 m/s op een oliefilm met een dikte van 1,5 mm. Het blok weegt I30N en heeft een vierkantig grond­vlak met zijde b=0,5 meter. Bepaal de viscositeit van de olie.
12 oliefilm
Oy=120N
0=13 ON
Fig.I5.                     Fig.16.
Oplossing.
Het blok glijdt van het hellend vlak o.i.v. de komponente van het gewicht in de richting van het vlak. (fig.16)
Vermits de snelheid van het blok.konstant is geldt:
v
G = 7) A -—
x                 h
_         5Q.I,5.I0""3          T o o
11 ' 0,5.0,5.0,25 = J'2 PaS
4.
E.32. De ruimte tussen twee coaxiale cilinders wordt gevuld met glycerine (f.ig.18)
1=0,6 m
ir. =8 5 mm
u
i
Om de binnenste/cilinder te doen draaien met een konstante hoek-
snelheid van I rad/s is een moment vereist van 0,7 Nm. Bepaal: - de viscositeit van de glycerine
- het vermogen dat in de vloeistof gedissipeerd wordt
plaat
w
dh
h
F
w
+v=konstanf
F
w
Fig.I8.                                                      Fig.I9.
Oplossing.^
In het experiment van Newton (pag.E.20) bewegen de opeenvolgende laagjes over elkaar met een verschillende snelheid. Er ontstaat dus wrijving tussen de over elkaar schuivende laagjes. Deze wrijvingskracht kan met behulp van de schuifspanning x uitge­drukt worden.
F = T A w
Vermits In het experiment ook aangetoond wordt dat elk laagje met een konstante snelheid beweegt moet voor elk vloeistoflaagje het krachtenevenwicht gerealiseerd zijn, zodat men kan stellen dat in elk vloeistofoppervlak, evenwijdig aan de vlakke plaat, eenzelfde kracht werkzaam is : F=F =T A.
W
Op een gelijkaardige wijze kan nu gesteld worden dat in elk cilindervormig oppervlak met straal r en met schuifspanning t , hetzelfde moment werkzaam is. M=0,7= T (2xcr.0,6)r
E.33
Anderzijds geldt ook steeds: x =— T|
a 4. dv i 0,7 zodat dr =-----= - ------2-----
71 271.0,6 -q r
^ 0,1857 dr
dv
dr
71 r2
Integratie levert:
v                                          r
U ^ 0,1857 r U dr
dv = - ---J------ / --—
v.                            m Jr. 2
i            'ir
Met r. =0,085 m v. =r. ü)=0 ,085 m/s i '                        ii'
r =0,090 m v =0
7] 0,090 0,085 T\ =1,43 Pas
Vereenvoudigde berekening.
We veronderstellen de verandering van de snelheid lineair en
we rekenen met de gemiddelde straal r =0,0875 m
3                                        m 7
M=F r =I A r mm
0,7= T (271.0,0875.0,6)0,0875
I = 24,25 Pa
dv
Met 1=7] —— dr
0,005 7] = 1,426 Pas Het gedissipeerd vermogen P=MO)=0,7.I=0,7 W
E.34. 2.II-Verandering van de viscositeit in functie van de temperatuur. Hoe groter de cohesiekrachten, hoe moeilijker de vloeistof­deeltjes ten opzichte van elkaar kunnen bewegen. Bij stijgende temperatuur neemt de moleculaire beweging toe en deze beweging helpt mee om de krachten, die de beweging remmen, te overwinnen.
Bij stijgende temperatuur wordt een vloeistof dus meer vloei­baar en neemt de viscositeit af.
Er is geen algemene theorie die het verband geeft tussen de viscositeit van de verschillende vloeistoffen en de temperatuur. Er werden veel methoden voorgesteld om deze temperatuurafhanke­lijkheid weer te geven. We bespreken in deze paragraaf enkele veel gebruikte methoden, die ofwel in de praktijk algemeen aanvaard zijn ofwel in normen opgenomen werden.
a. In het "Handbook of Chemistry Physics" kan men, voor een ganse reeks vloeistoffen, de viscositeit ervan aflezen bij verschillende temperaturen, bv.
Diphenyl                                                 Chloroform
70°C 1,49 CP                                      0°C 0,700 cP
I00°C 0,97 CP                                  20°C 0,58 cP
b.  Door een^gepaste schaalkeuze is men erin geslaagd de tempera­tuurafhankelijkheid van een ganse reeks vloeistoffen voor te stellen in één enkel diagram (fig.20)
Elke vloeistof kan in dat diagram voorgesteld worden door een punt in het x-y assenstelsel. De coördinaten x en y worden afgelezen in bijhorende tabellen.
Hieronder geven we de x en y coördinaat voor de twee hoger-vermelde vloeistoffen. Deze waarden zijn ontleend aan het "Chemical Engineers Handbook".
Chloroform 14,4 10,2
Diphenyl                       12 18,3
Door een eenvoudige konstruktie kan hiermee, zoals voorgesteld in figuur 20, de viscositeit van bijvoorbeeld diphenyl bij 70°C en bij I00°C bepaald worden.
in
O. o
OOQO Q P O
S
O cm
''''■'' i I i 1—i.J-.i...l...r|,,.,|.A, , i ^ , , , hl f 1 | I | { ( LjrJ,..,i„,f [.,..!...,(, ii 11 , . . i ItllM I I I 1 Ljm-L»J^m1..i.I...J..i . I ■ i i i f
Uj U.
U-
U,
Uj -~j
• O
en
Pu
5
Uj
U)
Uj •U?
OOOOOOOoo2°9 oooooooPoooo/oooooo oooo o o o o o o o o
er- «o^voin-ir r~>o— o<r<Or-vom^rocM —/O o co r- u^/io ^hci-oO'«jr*u> iam ww —           -^ cm
' .» .1. >, I, i, L < i / ,1 , 1 , t, 1, \ I, I ,1 J .1 ,| , 1 , I, I, 1 1 J .1 ,t . 1 . I
o o o o o o o
O o- cG r- «X> tn ■<*/ cm
3
I
T o
O cm
o I
o
CM I
O
o
E. 36. De^_viscosi tei tsindex. (V.I.)
Specifiek voor smeeroliën werd in 1929 het begrip viscositeits­index ingevoerd. Men wenst immers dat smeeroliën hun smerende eigenschappen in een ruim temperatuursgebied behouden. De smerende eigenschappen houden verband met de viscositeit van de olie.
Met behulp van de viscositeitsindex kan men zich een idee vormen over de kwaliteit van de olie in verband met de temperatuursge-voeligheid:
- een olie met een hoge V.I. is weinig temperatuursafhankelijk
- een olie met een lage V.I. is sterk temperatuursgevoelig.
Om de viscositeitsindex te bepalen wordt de olie vergeleken met twee oliën uit twee reeksen referentieoliën die men in tabellen kan terugvinden. De reeksen bestaan uit olieparen
- die bij 210 F (=98,8°C) dezelfde viscositeit hebben
- en bij 100 F (=37,8°C) een verschillende viscositeit.
De eerste referentiereeks bestaat uit oliësnwaarvan de viscosi­teit sterk gevoelig is aan de temperatuur.
De tweede referentiereeks bestaat uit oliën die nagenoeg niet teraperatuursafhankelijk zijn. Men gaat dan als volgt te werk.
- men meet de viscositeit van de olie, waarvan men de V.I. wenst te bepalen, bij 210 F.
- men kiest uit twee tabellen de twee referentieoliën die bij 210 F dezelfde viscositeit hebben als de te meten olie
- het verschil in viscositeit van de twee referentieoliën bij 100 F, dat eveneens in de tabellen kan afgelezen worden, geeft men de waarde 100
- men meet nu de viscositeit U van de te onderzoeken olie bij 100 F. .
E.37.
De viscositeitsindex wordt dan bepaald uit:
L-U V.I. = . ,, >. 100 Li—H
waarin:
U:de kinematische viscositeit van het te meten oliemonster bij
100 F. L:de kinematische viscositeit van de standaardolie met V.I.=0,
die bij 210 F dezelfde viscositeit bezit als het monster. H:de kinematische viscositeit van de standaardolie met V.I.=100,
die bij 210 F dezelfde viscositeit bezit als het monster. Deze betrekking kan voorgesteld worden in figuur 21.
Viscositeit
210
Fig.2I
F
Het kan ook voorkomen dat een olie zo gevoelig is dat de viscosi­teitsindex riegatief-wordt. Eveneens kan de-viscositeitsindex de IOO overschrijden. De moderne motoroliëh hebben allen een visco­siteitsindex groter dan 100.
E.38.
d. In 1957 hebben Ubbelohde en Walther een nieuwe methode voorge­steld die aanvaard is zowel in de DIN normen (nr. 51563) als door de Amerikaanse ASTM (American Society of Testing Materials) De methode is echter nog niet in de ISO normen opgenomen. Volgens Ubbelohde en Walther kan de viscositeit van Newtoniaanse vloeistoffen in een ( W,log T) diagram voorgesteld worden door een rechte met richtingscoëfficiënt W -W„
m=
log T -log T_
c. -                 1
waarin W= log [log( V+0,8)
2
V uitgedrukt is in mm /s (of cSt)
T uitgedrukt is in K Om de richtingscoëfficiënt m te vinden moet dus de viscositeit bij twee uiteenlopende temperaturen T en T gekend zijn of opgemeten worden. Men eist hierbij ook dat deze temperaturen tenminste 50°C moeten verschillen.
Is m op deze wijze bepaald dan kan de viscositeit bij een wil­lekeurige temperatuur berekend worden met behulp van de uit­drukking
W =m(log T -log T )+ W x 3 m 3 x m
met W =log |log( V +0,8)] bij een temperatuur T
X ^                  X ••                                                             X
W =log I log( V +0,8) ] bij een temperatuur T_ of T„. m^L'mJ                                              I 2
E.39.
Voorbeeld.
2 Een minerale olie heeft bij 40°C een viscositeit van 103,4 mm /s
o (cSt) en bij I00°C een viscositeit van 8,45 mm /s (cSt).
Bepaal de viscositeit bij 80CC.
Oplossing:
I. We bepalen eerst de richtingscoëfficiënt m. Dit kan omdat de
temperaturen 60°C (>50°C) verschillen.
T = 40°C=273+40=3I3 K T2=IOO°C = 273+IOO = 3 7 3..K
V =103,4 mm /s
2
v~=8,45 mm /s
W.
W.
=log [log ( V +0,8)] =log [log(103,4+0,8)] =0,30489 , = log [ log ( v2+0,8)j = = log [ log (8 ,45+0 ,8 ) ] =-0,01496
log T =log 313=2,49554 log T2=log 373=2,57171
m= -
wI-w2
0,30489+ 0,01496 2,57171-2,49554
= 4,199
log T2-log T
2. Viscositeit bij 80°C.
a. Uitgaande van T =T =313 K
ml
V = V =103,4 mm /s ml
W =W =0,30489 ml'
W =m(log T -log T )+W x m ^ x m
W
80°C
=4,199 [log 3I3-log(273+80)] +0,30489=0,08555
W =log [log( V +o,8)l O,08555=log [log( V +0,8)] log( V +O,8)=I0°'08555=I,21777
I P T 7 7 7 V +0,8=10 ' =16,5094 x 7                               '
Vo0oc=I5,7094 mm /s of cSt
b. Uitgaande van T =T =373 K
m 2                   2
V = Vn=8,45 mm /s m 2
W =W =-0,01496 m 2
vinden we analoog: v80OC=I5,709 mm2/s (cSt)
E. 40.
Opmerkingen.
De Amerikaanse ASTM normen werken met dezelfde formules maar rekenen met
W=log [log( V +0,7 ) ] Alleen bij zeer kleine viscositeiten wijken de resultaten af van deze berekend volgens de DIN-normen.
Om het rekenwerk te ontwijken werden door Ubbelohde de bere­keningsformules voorgesteld in een nomogram, (een grafiek) waarmee de gezochte waardes via een grafische konstruktie kun­nen bepaald worden.
Met de huidige rekenapparatuur levert het rekenwerk echter geen enkele moeilijkheid meer. De gebruikte formules kunnen eventueel ook gemakkelijk geprogrammeerd worden.
De voorgestelde formules gelden, strikt genomen, alleen voor enkelvoudige vloeistoffen en niet voor mengsels.
T.I.6. Hoofdstuk_ 2.
Viscosi teit.
1^ Dynamische viscositeit.
Newtoniaanse vloeistoffen Niet-Newtoniaanse vloeistoffen Lineair snelheidsverloop Niet-lineair snelheidsverloop v                                                                          dv
h                                                        I '! dh
X - T, Hf"                                                           t . T, dV
h                                                                  ' dh
Eenheden van dynamische viscositeit M.K.S. : Pa.s
c.g.s. : Poise (P) = 100 cP. Verband: 1 Pa.s=I0P=I000 cP.
2. Kinematische viscositeit.
Tl V = ---
P Eenheden van kinematische viscositeit
M.K.S.:m2/s.
c.g.s.: I St=I00 c St
2 4 6 Verband: lm /s = I0 St - 10 cS.t
3. Verband tussen kinematische en dynamische viscositeit.
___________________________________ _ ____________________
v = 3L_
P
M.K.S.                                             c.g.s.
_ 2                                                                    ___
V : m /s                                         V :• c St
Tl : Pa.s                                         T] : c P
3 p : kg/m                                        p : kg/l.
Het verband tussen de kinematische, de dynamische en de prak> tische eenheden van viscositeit wordt gegeven in tabellen.
4.  De viscositeit in functie van de temperatuur.
Geen algemene theorie.- ofwel tabellen
- ofwel een normogram.
5^^De^formule^van^Ubbelohde: W -W? __                                           _                                                  __
logT -logT
2 met W=loglog( v +0,8) y(mm /s) T(K)
W =m(logT -logT )+W x m x m
o • o. •
Het begrip druk.
I.STATISCHE DRUK.
I.I. Definitie.
De druk in een bepaald punt van een vloeistof is de verhouding
van het drukkrachtje dF en het oppervlakteelement dA waarop
deze kracht in de normale richting wordt uitgeoefend.
Werkt op een eindig oppervlak A een totale kracht F loodrecht op het oppervlak dan noemen we de gemiddelde druk p
waarbij p=de druk (pressure); uitgedrukt in N/m = Pa
F=de kracht (force) loodrecht op het oppervlak;uitge­druk t in N.
2 A=cTe oppervlakte (area); ui tgedruk t in m .
De druk p stellen we voor door een aantal kleine pijltjes
loodrecht op het beschouwde oppervlak. (fig.I)
Fig.I.
S.2.
1.2. De richtingsafhankelijkheid van de druk.
Wanneer en vloeistof zich in evenwicht bevindt, dan is de
druk in een punt van de vloeistof in alle richtingen even groot.
De druk is dan enkel afhankelijk van de plaats van het punt.
1.3. De_wet van Pascal.
De druk, op een bepaald punt van een vloeistof uitgeoefend, plant zich in de vloeistof voort in alle richtingen en met de­zelfde grootte. Voorbeeld.
In figuur 2 wordt een kracht F uitgeoefend op een zuiger met een oppervlakte A. Op de bovenzijde van het vloeistofoppervlak ontstaat een druk
P =
A
Deze druk plant zich voort in de vloeistof in alle richtingen en treedt dus ook op
in elk willekeurig punt van de vloeistof
en eveneens op de wanden.
Fig.2
S.3.
1.4. De wet van Eüler. De drukevenwichtsvergelijkingjLQ_dif
ferentiaalvornu Euler beschrijft het evenwicht van een elementair volume (dx dy dz) vloeistof met een elementaire massa dm (fig.3)
z
(P+----------- Jdx.dy
öz 2
by 2
, b P dx . , .
(P--fx—ldydz
(p+kBÉljdxdz dy 2
/ bP dx (P + T1 -T)dydz bx 2
y
lp-<LEÉl,dxdy
öz 2
Fig.3.
Dit volume moet in evenwicht zijn onder invloed van alle krach­ten die erop werkzaam zijn. We onderscheiden twee types van krachten. Ie. De massakrachten:
over het algemeen is dat enkel de zwaartekracht
soms ook de invloed van een elektrisch of magnetisch
veld
in een versnellend systeem ook de traagheidskrachten.
We noemen F , F en F de. krachten per eenheid van massa :x' y z
in respectievelijk de x, y en z richting.
De totale massakracht bedraagt dan
df = dm (F e +F e +F e ) m x x y y z z
S.4. 2e. De omgevingskrachten.
Dit zijn de krachten veroorzaakt door het omringende fluïdum. Deze krachten kunnen we schrijven met behulp van de druk-functie. In het punt i, het centrum van het elementair vo­lume (dx dy dz), heerst een druk p. Deze druk varieert vol­gens de asrichtingen.
De druk in het snijpunt van een evenwijdige door i aan de y as met het vlak b c f g en het vlak aden bedraagt respec­tievelijk
!p_ dY
r óy óp
2
ÉR
waarbij gr de variatie van de druk aangeeft per eenheid óy                                                                   ^ . , .
van lengte in de y richting.
Vermits we met een elementair volume rekenen kunnen we nu
stellen dat de druk in alle punten van het elementair vlakje
gelijk is. De drukkracht op deze elementaire vlakjes wordt
dan:
op het linker zijvlak op het rechter zijvlak op het voorvlak
A.
op het achtervlak op het ondervlak
(p- —t-E---^— ) dx dz e
■ óy 2                           y
-(p+ —
óy AR
r^-~ ) dx dz e
2
dx
y
-(p+
) dy dz e
óx 2
) dy dz e ) dx dy e
x
(p
dx
--Ar
2
dz
óx
/ 6p
(p- &
^ óz
Ar.
dz
) dx dy e
óz 2 * z De totale drukkracht veroorzaakt door het omringende fluïdum
vinden we uit de vektorsom.
df =(_ _|E_ i _ *E_ £ - _|E- 1 ) dx dy dz p óx x óy y öz z
Voor evenwicht is nu vereist dat: d? +d? =0
of dm(F e +F e +F e )-( xx y y z z
Ar
e + x
m óp -*
öy y
X2- e )dx dy dz =0
öz z *
óx
met dm = p dx dy dz bekomen we
(p F - -I2- )e +(p F---|°- )e +(p F
r x óx x r y óy y z
--Ar.
öz
) e = O
z
S.5.
Hieruit volgt:
xp -
6x
(I)
p -
yK
óp
öy
(2)
z? -
óp
óz
(3)
Na vermenigvuldiging van (I) met dx
(2) met dy
(3) met dz
tellen we beide leden op.
p(F dx+F dy+F dz) = ( —-
óp , óp
- r dx+ —r^-
Ó£.
dz)
«,. .
rx y         z             °x öyöz
Nu is het 2e lid in deze uitdrukking niets anders dan de totale differentiaal dp, waarbij p een functie is van x,y en z
dp=p(F dx+F dy+F dz) r r x y 2 z
Deze uitdrukking is de differentiaalvergelijking van de druk.
Kennen we nu de massakrachten F , F en F per eenheid van
x' y z ^
massa dan kunnen we ook de drukfunctie p(x,y,z) bepalen m.a.w,
dan kunnen we de druk in elk punt van de vloeistof bepalen
door integratie.
2 P2=Pl+p ƒ (Fxdx+Fydy+Fzdz)
Is dp=0 dan volgt p (x,y,z)= konstant.
Deze functie bepaalt een oppervlak, de meetkundige plaats van alle punten waar de druk konstant is. Deze meetkundige plaats wordt het niveau-oppervlak genoemd omdat in alle punten van het oppervlak dezeifde druk heerst.
S. 6.
1.5. Eenheden van druk.
Kontroleren we de dimensie van de betrekking
[p] -
N
= Pa (Pascal)
m
Eén Pascal is de druk die optreedt in alle deeltjes van een
2
vloeistoflaag wanneer op lm van dat vloeistofoppervlak een
kracht van I N wordt uitgeoefend.
De Pascal, de wettelijke eenheid van druk, is dus een zeer
kleine eenheid. Daarom rekent men dikwijls met
- kilopascal
Ikpa IMPa
=10 Pa
- megapascal
= 10 Pa
- bar
I bar =10 Pa 2.
- millibar I mbar =I0"Pa Nog veel gebruikte andere eenheden
- millimeter waterkolom
I mm'WK ; = 9,81 Pa-
- millimeter kwikkolom of Torr I mm Hg=I33,322 Pa
- natuurkundige atmosfeer
- technische atmosfeer
- pound per square inch
I atm = I ,01325 bar
I at = I kgf/cm =0,981 bar
I p.s.i.= 6895 Pa
Tenslotte nog een paar zeer veelvuldig gebruikte verbanden
I bar
IOO kN/m'
10 mWK=I kgf/cm =0,981 bar
Met behulp van de tabel op pag.S.7. kunnen de drukken omgere­kend worden naar de verschillende eenheden.
Omrekeningstabel voor drukken.
S.7
Pa
k Pa
M Pa
bar
m bar
mmWK
MWK
mmHg
Pa
I
zo"3
io-6
io-5
-2'
10
_3 102.10
102.10
7,5.IO~3
k Pa
io3
I
IQ"3
-2 10
10
102
102.I0~3
7,5 ,
M Pa
io6
3 10
I
10
io4
102.IO3
102
7,5.I03
bar
5 10
io2
lo-1
I
io3
102.IO2
102.IO"1
7,5.I02
m bar
!02
io"1
IQ"4
io-3
I
102.IO""1
102.IO"4
7,5.IO*"1
mmWK
9,81
9,8I.IO~3
9,8I.IO""6
9,8I.IO~5
9,8I.I0"2
I
IO"3
0,07358
mWK
0,98I.I04
0,981.10
0,98I.IO~2
o^si.io"*1
2 0,981.lp
IO3
I
73,58
mmHg
133,322
133,322.I03
I33,322.IO~6
133,322.IO""5
133,322.IO""2
13,59
I3,59.IO~3
I
Gebruik:
I bat=IO Pa=IO k Pa=IO Mpa=IO mbar=I02.I0^ mmWK
S.8. 1.6^ Toepassingen. I. Op de zuiger van figuur 4 wordt een kracht uitgeoefend van 2kN. Hoe groot is het moment dat hierdoor rond het punt a wordt uit­geoefend?
F1=2kN
Wem
Fig.4. Volgens de wet van Pascal is
PI=P2 zodat -^
of F2=FI
TC
TC
F2=FI
= 2
=18 kN
M F_ = 18 cos 30°.0,1
a 2                                '
=1,5588 kNm.
S.9. 2. De hydraulische pers.
Deze bestaat uit 2 cilinders A en B waarin twee plunjers, met respectievelijke diameter'D en d, kunnen op en neer bewegen. Bij het opheffen van de kleine plunjer opent klep C en wordt olie aangezogen uit het reservoir. Bij het neerdrukken van de kleine .plunjer sluit C en E opent. Vloeistof wordt naar de perscilinder A gedrukt waar de grote plunjer een kracht uit­oefent op het voorwerp G.
De driewegkraan F in de drukleiding laat toe de drukcilinder in het reservoir te ledigen waardoor de grote plunjer terug z ak t.
Fig.5.
S.IO. Nemen we volgende waarden aan
D=400mm                          a=I00mm                         F=400N
d=40mm                            b=I400mm
Bepaal: I; de druk in de olie
2. de kracht die de grote plunjer uitoefent op de last
3. hoeveel keren moet er gepompt worden als de kleine plunjer een slag heeft van 50mm en men wenst dat de last over 40mm wordt verplaatst.
Oplossing.
1. 400.I500=F .100 F =6000 N.
p = 60QQ-4? =4774648,3 N/m2 % 0,04
2                                        2
2. F2=p -2-~-- =4774648,3 ^t4-- = 600 000 N.
400 Opmerking: F =6000 ( Tl > =60° 00° N*
3. Wanneer de kleine plunjer zich s mm verplaatst wordt er een
2
hoeveelheid olie weggedrukt rcd
4 ' SI . Indien we de olie als onsamendrukbaar beschouwen komt dit
volume in de cilinder A en wordt de grote plunjer verplaatst
over een afstand s,
2
.2
TXd u
D2
4 -I. "
4 "Z
SI D2
S2 " d2
50 4002
S2 ' 402
s = 0,5 mm
40 Aantal keren dat er gepompt moet worden: - =80
Opmerking. De geleverde arbeid = F s = 6000.0,05=300 Nm De nuttige arbeid = F s = 600 000.0,0005=300 Nm
Met verwaarlozing van de wrijving tussen plunjer en cilinder is de nuttige arbeid gelijk aan de geleverde.
S.II.
2. ATMOSFERISCHE DRUK,ABSOLUTE DRUK, OVERDRUK EN ONDERDRUK. 2.1 «_De atmosferische druk.
De dampkringlucht omgeeft de aarde. Zoals een vloeistofkolom een druk uitoefent op de bodem van het reservoir waarin de vloeistof zich bevindt (zie 123) zo oefent ook de dampkring-lucht een druk uit. Deze druk noemt men de "atmosferische
druk (p ')». *a
De atmosferische druk is afhankelijk van
de hoogte boven het zeeniveau
de weersomstandigheden.
De gemiddelde atmosferische druk, de "normale"luchtdruk, bedraagt: p = 1,01325 bar.
Aan het oppervlak van een open reservoir heerst dus de atmos­ferische druk. Deze druk plant zich voort in de ganse vloeistof. ( wet van Pascal)
2.2. Absolute druk, overdruk en onderdruk.
In de meeste meettoestellen maakt men een vergelijking met de
atmosferische druk.
Is de druk hoger dan de atmosferische druk dan spreekt men van
een overdruk (p ) ------c— rov
Is de druk lager dan de atmosferische druk dan spreekt men van
een onderdruk (p )
---------'on
Naast de vergelijking met de atmosferische druk kunnen we ook
vergelijken met het absolute vacuüm (p=0).
Men spreekt dan van de absolute druk (p , ).
We kunnen deze waarden uitzetten in het diagram van figuur 6.
Fig.6
Pov
—Pa
'on
T
Pabs
absolute vacuüm (p=0)
S.I2.
Er gelden volgende relaties:
P -P V. ~P rov 'abs *a
P =P -P u ron a abs
De overdruk en onderdruk wordt veelal ook de "effektieve druk
p " genoemd omdat deze druk meestal wordt afgelezen op de
meetapparaten. Men spreekt ook over "relatieve" druk.
De effectieve druk is positief als het gaat om een overdruk.
De effectieve druk is negatief als het gaat om een onderdruk.
Opmerking.
In de angelsaksische.technische werken schrijft men psia (absolute pressure) psig (gauge pressure)= effektieve druk.
2.3. Krachten als gevolg van onderdruk_of overdruk^
Soms is men de mening toegedaan dat kleine drukken slechts
kleine krachten veroorzaken. De uitdrukking F=pA laat echter
duidelijk zien dat kleine drukken op een groot oppervlak ook
grote krachten zullen verwezenlijken.
Nemen we een cilindrische tank met een diameter van 20 meter.
(fig.7) Daarin bevindt zich een vloeistof en boven de vloei-
3
stof 200 m lucht bij atmosferische druk (p =1,01325 bar)
a 3
Veronderstel dat we een kamion laden met 20 m van deze vloei'
3 stof. Het volume lucht wordt dus 220 m 1
Bij een isotherme toestandsverandering wordt de druk
(pV=konstant):
200.1,01325=220 p
p=0,92II4 bar Het drukverschil op het bovendeksel be­draagt dus:
2
1,01325-0,92114=0,09211 bar=9,2II kN/m .
De kracht die het deksel ondervindt:
9,211.
n 20'
= 2894 kN
Bij zulke grote krachten valt de dakkon-struktie in indien er geen beveiliging voorzien is.
Fig.7
S.I3
Fig.S stelt een tank voor met een gewone ontluchting. Vooral bij ijzel moet de ontluchting worden gekontro-leerd, vooraleer men er vloeistof uit wegpompt of bijpompt. Indien de vloei­stof niet in kontakt mag komen met de zuurstof van de lucht plaatst men boven de vloeistof een stikstofkus-sen onder een geringe overdruk. Figuur 9 toont de beveiliging van een tank tegen te grote overdruk.
Fig.8.
Y////////A
Fig.9.
Fig.IO.
Indien men er vloeistof bijpompt licht de klep en een beetje stikstof ontsnapt. Het eigen gewicht van de klep bepaalt tegen welke overdruk de tank is beveiligd. Indien de klep opent met regelmatige tussenpauzen zonder dat er vloeistof wordt ver­pompt is dit een bewijs dat het reduceerventiel van de stik­stof niet goed is afgesteld.
Figuur 10 toont de beveiliging tegen onderdruk bij het weg­pompen van vloeistof. Indien de druk boven de vloeistof daalt licht de klep en wordt stikstof toegevoegd. Een gewone beveiliging bestaat uiteraard uit een kombinatie van beide voorgaande.
S.I4. 2.4. Toepassingen.
1. In een ketel heerst een overdruk van 25 bar.
Hoe groot is de absolute druk als de atmosferische druk ge­lijk is aan 1,04 bar. Oplossing.
pabs = 25+I>04=26>04 bar-
Indien we geen rekening houden met de barometerstand en we
stellen de atmosferische druk gelijk aan I bar, dan hadden
we een absolute druk van 26 bar.
*
De procentuele fout bedraagt dus:
26^Ö46 • 100=0,1536°/. Deze fout wordt verwaarloosd. We zeggen 25 bar overdruk = 26 bar absolute druk.
2. In een reaktor heerst een onderdruk van 0,96 bar. De atmosferische druk = 1,04 bar.
Bepaal, de absolute druk. Oplossing; .p , =1,04-0,96 = 0,08 bar. Stellen we de atmosferische druk terug gelijk aan I bar dan hebben we als absolute druk:
I-O,96^0,04 bar. De procentuele fout bedraagt nu
^oTor • :°°=50V.
Het is duidelijk dat men bij onderdrukken aen zeer kleine overdrukken wel rekening moet houden met de juiste baro­meterstand.
Is de absolute druk van belang dan zou men beter de absolute druk meten in plaats van de onderdruk.
Een voorbeeld hiervan vinden we in chemische bedrijven waar bepaalde scheikundige reakties een welbepaalde druk vereisen omdat de reaktiesnelheid soms sterk vermindert bij wijziging van de ideale druk.
S.I5.
Nemen we als voorbeeld een reaktie die moet verlopen bij een absolute druk van 100 mbar.
Is de atmosferische druk vandaag 1020 mbar dan zou vandaag een onderdruk vereist zijn van 920 mbar.
Is echter morgen de barometerstand IOIO mbar dan zou morgen de onderdruk 910 mbar moeten bedragen.
Indien de absolute druk wordt gemeten volstaat het in het rege­lingsproces de meter op 100 mbar te houden wat ook de atmosfe­rische druk moge zijn.
Een onderdruk kunnen we echter wel meten in toepassingen waar het volstaat na te gaan of er nog onderdruk is en of de orde van grootte nog goed is.
In deze nota's zal, in overeenstemming met het S I eenheden-stelsel, steeds in absolute druk gewerkt worden om alle vergis­singen te vermijden.
S.I6.
3.HYDROSTATISCHE DRUK, TOTALE DRUK, DRUKLIJNEN, DRUKHOOGTE,
DRUKENERGIE, COMMUNICERENDE VATEN.
3^1 .^Hydrostatische druk- totale druk.
Onder hydrostatische druk verstaat men de druk veroorzaakt
door het eigen gewicht van de vloeistof.
Om de hydrostatische druk in een willekeurig punt 0 van de
vloeistof te bepalen maken we gebruik van de wet van Euler(I.I.4)
dp=p(F dx+F dy+F dz) r         x y 2 z
Is de zwaartekracht de enige massakracht en nemen we als z as
de vertikale met de zin naar beneden,
(fig.II) dan is
F =0 x
F =0
y
F =g z 3
F is de kracht in de z richting z                                                             ^
per eenheid van massa
dp=p gdz
Voor de vrije vloeistofspiegel
is dp=0
Fig.II.
pgdz=0
z=konstaht De vrije vloeistofspiegel van een vloeistof in rust, waarop dus enkel de zwaartekracht werkzaam is, is een horizontaal vlak. In alle vlakken, evenwijdig aan deze spiegel, diis in alle punten op gelijke diepte onder de vloeistofspiegel, heerst dezelfde hydrostatische druk. De waarde van deze druk vinden we door integratie
P
hydr
f,
dP= /0 pgdz
Voor z=0, ter hoogte van de vloeistofspiegel is de hydrostatische druk gelijk aan nul.
Is er aan de oppervlakte reeds een druk aanwezig bijvoorbeeld
de atmosferische druk (p )
de druk vanwege een kracht op een zuiger (pQ)
dan geldt:
?abs=P0+Pa+Pgh
S.I7.
De totale absolute druk in een punt van een vloeistof in rust kan dus uit drie komponenten bestaan.
De atmosferische druk die zich voortplant doorheen de vloeistof en die in alle punten gelijk is.
■- Een mechanische druk, afhankelijk van een uitwendige kracht en de oppervlakte waarop deze kracht wordt uitgeoefend. Deze druk plant zich ook voort doorheen de vloeistof en is in alle punten gelijk.
De hydrostatische druk, die het gevolg is van het eigen ge­wicht van de vloeistof. Deze Ls afhankelijk van de diepte h van het punt onder het vloeistofoppervlak.
S.I8. 3.2._Drukli jnen.
De verandering van de druk in een vloeistof in rust kan men aangeven in een h-p diagram door druklijnen.(fig.12)
Fig.I2
De verandering van de hydrostatische druk wordt weergegeven door rechte I; de effektieve druk door rechte 2 en de absolute druk door rechte 3.
Fig.13. stelt het verloop voor van de hydrostatische druk bij twee niet mengbare vloeistoffen.
Pa
. Fig.I3.
h,
,
b
----------\_ —- _j
S. I
. —
;>
c
Phydr.
i
>sP?
^\
I I
I
V rJv
-----**"
E
fi
(pabs)b {pabs)c
(Pabs> =Po+Pa+pIghI
(Pabs' =P0+Pa+pIghI+p2g (h
2 I
'
c
3.3^ Het begrip "drukhoogte"__                                                   S.I9.
De hydrostatische druk, veroorzaakt door een kolom vloeistof met hoogte h meter en een soortelijke massa p, bedraagt:
p=pgh
___E.
of h =
pg
In overeenstemming met deze betrekking kan voor gelijk welke
druk een equivalente vloeistofhoogte of drukhoogte bepaald
worden: - voor de atmosferische druk
P =
h = a
pg
, de atmosferische drukhoogte
- voor de mechanische druk P~
h = o
pg
, de mechanische drukhoogte
De uitdrukking p , =p +p +pgh
ars o a
kan dus ook als een hoogtevergelijking geschreven worden.
h , =h +h +h abs o a
, de absolute drukhoogte
Deze betrekking kan worden uitgezet in een hoogtediagram. Figuur 14. geeft er de voorstelling van.
Ook voor wat betreft de begrippen onderdruk en overdruk kunnen overeenkomstige drukhoogtes
bepaald worden
- de onderdrukhoogte
abs
T
i^a
h =h -h>,
on a abs
- de overdrukhoogte
h =h . -h ov abs a
h = 0
Fig.I4.
Opmerking.
De eenheden van druk mWK, mmWK en mmHg komen overeen met deze begrippen.
ImWK komt overeen met een druk die veroorzaakt wordt door de hydrostatische druk van een kolom water (werkelijk of inge­beeld) van I meter. Het is dus in feite een d£ukhoogte
pT ,.,=P hg=I000.9,8I.I=98IO Pa *imWK w.                    7
pT ,-,,=P qh = I000.9,8I.O,OOI=9,8I Pa pImmWK Mw^ ' '
PT „ =PfJ gh=I3590.9,8I.O,OOI=I33,322 Pa KImmHg KHg^                     '
S.20.
3.4. Het begrip "drukenergie"
Bekijken we de dimensie van de verhouding "
P
f. p
. p -
Pa
N/ 2
m
=
Nm kg
=
J
kg/m
kg/m
kg
Deze verhouding geeft een energie per kg vloeistof weer. Indien dus in een vloeistof een bepaalde druk p optreedt komt met deze druk per kg vloeistof een energiewaarde overeen ge­geven door de drukenergie E , = "
.                             d p
Het begrip "drukenergie" wordt gebruikt in de technische hy­draulica in volgende kontekst: in sommige installaties wordt een vloeistof onder druk gehouden om op een bepaald moment de zo opgestapelde energie terug vrij te geven. De druk valt op dat moment natuurlijk weg. De energie die vrij komt wordt gegeven door E , •
3^5.^Communicerende vaten.                                                   S.2I.
a. Gevuld met één vloeistof. (fig.I5)
De druk in b moet dezelfde zijn als de druk in c, zoniet zou er vloeistof van b naar c stromen of omgekeerd.
bc Pa+pghI=Pa+Pgh2 of hI=h2
In communicerende vaten gevuld met dezelfde vloeistof stelt het vloeistofniveau zich in elke tak in op dezelfde hoogte.
\9a
Pa
f
1
"
c
_*D'
•—
I a
Üil
z:
c
Fig.I5.                                                     Fig.I6.
b. Gevuld met twee niet mengbare vloeistoffen met soortelijke massa p en p (fig.16)
Pb=Pc Pa+PIg(h+hI)=pa+p].gh+p2gh2
P1h1=p2h2
"2 KI
De hoogtes vanaf het scheidingsvlak tot de vrije vloeistofspiegel
verhouden zich omgekeerd evenredig met de soortelijke massa's.
Opmerking:
Twee punten die zich in een leidingssysteem op dezelfde hoogte bevinden ondervinden dezelfde hydrostatische druk, indien zich tussen de punten uitsluitend dezelfde vloeistof bevindt.
phydr e phydr d
phydr f phydr g
3.6. Toepassingen:
S.22.
I. In figuur 17 geeft manometer A, aangesloten op een vloeistof-
leiding een effectieve druk van 2 bar.
3 p=900 kg/m . De vloeistof staat stil.
Welke effektieve druk zal manometer B aangeven?
Oplossing^
PB=PA+P 9^
0 900.9,81.3
PB=2+ -------5-----
10
=2,2648 bar.
B
2.
Fig.I7. ----
Een cilinder is afgesloten door een zuiger met een gewicht van
300 N en een diameter van 0,1 meter (fig.I8)
3 p=920 kg/m
Bepaal de hydrostatische druk, de effektieve druk en de abso­lute druk - op het cilinderdeksel
- aan de onderzijde van de zuiger
- op de bodem.
Teken het verloop van deze drie drukken.
137717
10830
1*7222 H8547
Fig.18.
S.23
Oplossing.
1.  De hydrostatische druk
- op het cilinderdeksel : O
- aan de onderzijde van de zuiger
p=p gh=920.9,81.0,2=1805 Pa=0,01805 bar
- op de bodem
p=p gh=920.9,8I.I,2=I082OPa=0,I083 bar
2. De effektieve druk.
- aan de onderzijde van de zuiger: het evenwicht van de zuiger wordt voorgesteld in figuur 19, waaruit
p 300.4 = 38I97 pa=0,38197 bar
err _ _^2
0,1m
Ti 0,1
- op het cilinderdeksel 38197-1805=36392 Pa=0,36392 bar
op de bodem 3819 7+9 2079,81.1=47 222 Pa=0,47222 bar.
3. De absolute druk (stel p =101325 Pa)
*a
- op het cilinderdeksel 36392+101325=137717 Pa=I,377l7 bar
- aan de onderzijde van de zuiger
A                                                                       "
38197+101325=139522 Pa=I,39522 bar
- op de bodem 47222+101325=148547 Pa=I,48547 bar
TT
ÏÏPeff G=300N
Fig.I9.
S. 24. 3. In cilinder A van figuur 20 heerst een absolute druk van 3 bar; in B een druk van 1,5 bar. Bepaal het niveauverschil van het kwik in de U buis.
De rest is opgevuld met water.
p ,_ =1000 kg/m3 rwater ^
p =13600 kg/m3
Oplossing.
We doorlopen de leiding van reservoir A naar re­
/^
i
F
servoir 8 en schrijven
alle drukvergelijkingen.
(I)Pc=PA+Pw^[h+(2-X)]
B
(2)PD=PC . (3)pD=pE+pHggh
(4)pF=PE
(5)pB=pF+pwgx                                                                              Fig.20.
Op het eerste gezicht kan dit stelsel niet opgelost worden,
omdat we te maken hebben met 5 vergelijkingen en 6 onbekenden
PC' PD' PE' PF' h en X*
Om enkel het hoogteverschil h te bepalen volstaat het stelsel
echter wel.
We vullen vergelijkingen (I), (2), (4) en (5) in in verge­lijking (3) PA+Pw9h+2pwg-pwgx=pB-pwgx+pHggh
waaruit h=
(pA-pB)+2pwg g(pHg-pW}
-=-1,372 m
Opmerkingen.
het hoogteverschil is afhankelijk van het drukverschil p -p en van het hoogteverschil h -h =2m.
om ook alle drukken te kunnen berekenen moet eveneens bvb. y gekend zijn.
p / p omdat zich tussen de punten G en E water en kwik
E G
bevindt.
S.25.
4. In de leiding voorgesteld in figuur 21 zit een vloeistof met
3 een soortelijke massa=IOOO kg/m .. De vloeistof staat stil.
Om het drukverschil tussen de doorsneden I en 2 te meten
worden twee manometers a en b aangesloten.
Manometer a staat 2m boven doorsnede I, manometer b staat
I meter boven doorsnede 2 en geeft een overdruk van 5 bar. We
2
stellen g=IO m/s . Bepaal de druk aangegeven op manometer a.
II O
-c:
Fig.2I.
Oplossing.
p =5 bar rb
p2=5 +
1000.10.I
-=—5-j-I Dar overdruk ■ = 5,4 bar overdruk • =5,2 bar overdruk
10 1000.10.3
io5
1000.10.2
p1=5,l+
p =5,4-a
10'
Opmerkingen
1. p -p =0,3 bar
p, -p =0,2 bar ^b ^a
Manometers a en b meten dus niet.het drukverschil tussen de door­sneden Ien 2 waar ze zijn aangesloten. Om dit drukverschil
te bekomen moet h =h,
a b
2. Plaatst men beide manometers even hoog dan geven ze identiek dezelfde druk.
We geven later aan dat, wanneer er werkelijk stroming is, de manometers toch een verschillende waarde zullen aangeven. Dit drukverschil geeft dan direkt de drukval in de leiding.
S. 26 •
Een centrifugaalpomp moet een vloeistof verplaatsen met een
3 soortelijke massa=I020 kg/m (fig.22). Op het persvat staat
een effektieve druk van 20 bar.
Op het aanzuigreservoir heerst een onderdruk van 0,2 bar.
Stel p =1 bar.
Bepaal:
a. de absolute druk aan de uitgang van de pomp.
b. de absolute druk aan de ingang van de pomp.
c. de drukverhoging die door de pomp moet geleverd worden.
d. de opvoerhoogte v. Q die door de pomp moet gerealiseerd worden.
^O
5
u
5
f
Oplossing.
(Au)
Fig.22.
^ -r 1020.9,81.20 n, ^^T , = 20+1+ ------*----- =23?00I bar
10
e-r ^ -.n 2.1020.9,81 ^ co0 ^ of p. = (1-0,2)+ --------r—J--- =0,5998 bar
1                                  10
a* PU=PA+Pa+
10 (h.-h^pg
I05
b. PB=P.+
c. Ap=p -p.=22,4014 bar
d. H =^H
22,4014x10'
= 223,88 meter.
p pg
1020.9,81
Opmerking.
Met opvoerhoogte wordt hier het drukverschil tussen in- en uitgang van de pomp bedoeld, maar dan uitgedrukt in meter vloei stofkolom.
S.27. 6. Wat wordt er gemeten in de figuur 23, een volume of een massa?
Fig. 23
Fig. 2tt.
Op het membraan staat zowel links als rechts de atmosferische druk zodat de hydrostatische druk wordt gemeten.
Dezelfde druk wordt bekomen voor een vloeistof waarvan het peil hall zo hoog staat maar waarvan de soortelijke massa dubbel zo.groot is. Er wordt dus geen volume gemeten maar wel een massa of een gewicht. Indien de druk boven de vloeistof verschilt van de atmosferische druk wordt een drukvereffeningsleiding geplaatst zodat terug de hydrostatische druk ën dus de massa wordt gemeten.(fig;24) Bij stijging van de temperatuur zet de vloeistof uit. De druk-stijging boven de vloeistof staat zowel links als rechts op het membraan en wordt dus gekompenseerd. Gezien de massa konstant blijft, blijft ook de naald op dezelfde stand.
De volgende bladzijde geeft de kalibratietabel van een tank. In­dien de naald op "15" staat dan betekent dit dat er 5200 kg vloei­stof in de tank aanwezig is en dit onafhankelijk van de aard van de vloeistof.
Onderaan de tabel vindt men:"Inhouden gelden voor een densiteit van 1,02 bij heersende temperatuur". Dit betekent het volgende:in-dienldeze tank gevuld is met een vloeistof met een soortelijke mas­sa van I,02kg/liter dan geeft de naald ook aan voor hoeveel pro­cent de tank gevuld is. Staat de naald op 50, dan is de tank halfvo Dit zou niet het geval zijn bij vloeistoffen met een andere soor­telijke massa. Nemen we gemakkelijkheidshalve een vloeistof met een s.m. gelijk aan de helft van dit vermeld op de kalibratie­tabel dan is de tank vol als de naald op 50 staat.
rx
H
fD
3
3
ar
X)
0
0)
e
h
a
DJ
n>
rX
3
c
e:
iO
h
fD
M
a
fD
3
IQ
IfD
13 jp.
ia ia
IfD
|M
ia
IfD
i
10 IDJ IXJ
IDJ
10 jp.
Irx IfD |H-
IfX
M M
M
M
M
M
H
H
M
M
M
M
M M
M M
Ol 4>
OJ
M
H
O
vo
00
O
en
Ol
4
OJ M
H O
VO co
•o
01
Ol
4
OJ
M
M
O
OJ ox
\ D>
M O
en
en
en
en
en
Ol
Ol
Ol
Ol
4
4 4*
4 4*
OJ OJ
OJ
OJ
M
M
M
M
M
o O
4> H
CO
-JJ
Ol
OJ
O
CO
Ol
4*
M
VO
<l Ol
OJ O
00 01
M
VO
-0
Ol
OJ
H
1! H-
O 00
en
►o
M
O
00
en
4>
M
O
<1
Ol OJ
H VO
<1 Ol
00
H
VO
<l
Ol
OJ
M
fX
en Ol
Ol
4>
OJ
OJ
M
M
H
H
o
V0
VO 00
CO -~J
O 01
Ol
O)
OJ
OJ
M
7? fD uO M
/
rt
O
CD 4*
4-
4-
4-
4-
4>
4>
4.
OJ
OJ OJ
OJ OJ
OJ OJ
OJ
OJ
OJ
M
M
M
M
QJ
O CD
00
O
en
Ol
4*.
OJ
M
H
O
VO
00 -0
en oi
4* OJ
M
M
O
VO
00
M
Ol
ox \ 0» o O
H H
H
H
H
H
M
M
H
H
M
H
H H
II rx
M M
M
M
M
H
H
H
H
O
O
O
O O
vo vo
VO VO
00
00
00
00
00
M
O
fD
vo en
M
O
00
Ol
OJ
M
VO
<l
4
M O
00 01
OJ H
vO
O
Ol
M
O
00
01
re H-
M VO
<1
Ol
OJ
H
VO
-4
Ol
OJ
H
vo
M Ol
OJ H
VO M
Ol
M
o
00
en
4
M
u3 rx
O CO
VO
00
00
O
O
en
Ol
Ol
4>
4
OJ OJ
M M
M O
o
VO
vO
00
o
M
01
-J O
■O
M
-O
M
en
en
en
en
01
en
01 01
en oi
Ol Ol
Ol
Ol
Ol
Oi
Ol
Ol
Ol
O
Ol 4»
OJ
M
H
O
vo
00
O
en
Ol
4
OJ M
H O
VO 00
-J
01
Ol
OJ
M
H
o Dj \x
o CU
O
H M
H
M
M
H
M
H
H
M
M
M
H M
M H
H M
M
M
M
M
M
M
M
II H-
00 00
M
-0
-O
O.
-0
en
en
en
en
en
Ol Ol
Ol Ol
4* 4*
4
4
4*
OJ
OJ
OJ
OJ
rx
4> M
VO
<l
Ol
OJ
M
00
en
4-
M
O
-O, Ol
OJ M
VO Ol
4*
M
o
00
Ol
OJ
M
re cd
O) H
VO
M
Ol
OJ
H
vo
■o
4*
M
O
00 01
4* M
O 00
01
4
M
O
00
en
4
i£) H-
4» 4>
OJ
M
M
H
H
O
O
VO
00
00
O <1
01 Ol
oi 4»
4*
OJ
OJ
M
M
H
H
fX
M O CO
VO
VO
VO
VO
VO
vo
vo
VO
VO
00
00 CO
CO 00
00 00
00
00
00
M
O
M
O
O vo
00
O
en
Ol
,l>
OJ
M
H
O
vo
00 <J
01 Ol
4* OJ
M
H
O
V0
00
<l
01
\ DJ
o X
DJ
M M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M M
M M
K) M
H
M
H
M
M
H
M
II 0
O) O)
OJ
OJ
OJ
M
M
M
M
H
H
H
M M
O O
O o
vO
VO
vO
VO
VO
00
00
H-
V0 o
Ol
M
o
00
en
H
VO
O
Ol
w o
00 01
4* H
VO
-O
Ol
OJ
O
00
01
re n
4» M
O
00
en
4-
M
O
00
en
4
M
O 00
01 4
M VO
•o
Ol
OJ
H
VO
-J
Ol
yQ fD
00 00
<l
<]
en
en
Ol
4>
4*
OJ
OJ
M
M H
O O
vo v0
00
00
-J
01
en
Ol
Ol
H'
(X
Co
M 00
< ooooooooo
O VOCO^OlOi^'OJfNjH
1
o o
fD                                           oo
3
a
fD
3
W
H-
rX
fD p.
rx
<
DJ 3
M
O
M
er
II
H VO 00
O)
--3
en
II
H Ol
4>
II
H O) M
II II
il
II
H H O
00 00
en en
4> 4*
M M
Oi4^0)0)MM HH
H-M
vQ
n
DJ 3
3" fD fD
w
fD 3
a
fD
S.29.
7. Figuur 25 geeft de doorsnede van de nieuwe tunnel; IOm hoog en 50m breed.
-.Fig.26 toont het eerste element I', geplaatst op de bodem van de Schelde en vast ver­bonden aan de linker­
,
t
5
o
'
5öm
■^ .-----■-----——--------------------------------------—-----------—■----------------^
oever. Het is aan het rechteruiteinde water­dicht afgesloten door een scheidingsschot A.
Fig.25.
Fig.26. Nadien is element II er naast gelegd. Element II is afgesloten door een schot C en een schot B.
Tussen schot A en B zit de waterdruk alsook rechts van schot C. Element II is volledig in evenwicht.
Bij middel van mechanische vijzels worden de twee elementen tegen elkaar aangedrukt zodat de pakking tussen beide elementen reeds zorgt voor een waterdichte afdichting.
Bij middel van een centrifugaalpomp wordt het water tussen de beide elementen weggepompt zodat we tussen A en B een vacuüm scheppen.
Stellen we de absolute druk tussen A en B gelijk aan de dampspan-ningsdruk van water bij 20°C namelijk 0,02337 bar.
Met welke kracht F wordt element II tegen het eerste element aan­gedrukt als we aannemen dat de werklijn van F I5m onder de water­spiegel ligt.
S.30.
Oplossing.
De druk rechts van C bestaat uit 2 komponenten.
1. De atmosferische druk die zich volgens Pascal voortplant in de vloeistof : 1,01325 bar.
2.  De hydrostatische druk van het water, p gh=I000.9,81.15=147150 Pa
=1,4715 bar. De totale druk bedraagt dus: 2,48475 bar.
Het drukverschil op element II bedraagt dus: 2,48475-0,02337=2,46138 bar
=246,138 kN/m2 F-246,138.500=123069 kN;
T.2.I.
Hoofdstuk 2. dF
I. Definitie van druk: p=
dA
^ A
2. Wet van Euler:
dp=p(F dx+F dy+F dz) r r x y J z
3. Verband tussen de eenheden. Zie de omrekeningstabel
4. Absolute druk- overdruk- onderdruk.
^ov~^abs~"^a
p =p -p , ron a ^abs
5. Hydrostatische druk
Phydr=P 9 h
6. Totale druk
PabS=po+Pa+p g h
7. Drukhoogte
H- ..P
pg
8. Communicerende vaten
a.
hI P2
h2 PI
Omrekeningstabel voor drukken.
T.2.2.
1 " '
Pa
k Pa
M Pa
bar
m bar
mmWK
MWK
mmHg
Pa
I
io-3
IO"6 ,
IO"5
-2
10
102.I0~3
102.I0~6
7,5.I0"~3
k Pa
IO3
I
IO"3
-2
10
>
10
102
102.IO"3
7,5
M Pa
IO6
io3
I
10
IO4
102.IO3
102
7,5.I03
bar
io5
io2
IO"1
I
io3
102.IO2
102.I0_I
7,5.I02.
m bar
io2
lo-1
io"4
-3 10
I
102.IO-"1
102.IO"4
7,5.IO""1
mmWK
9,81
9,8I.IO""3
9,81.10""
9,8I.IO~5
9,8I.I0""2
I
IO"3
0,07358
mWK
0,98I.I04
0,981.10
0,98I.I0~
o^si.io^1
0,981.10
IO3
I
73,58
mmHg
133,322
133,322.IO3
I33,322.I0~6
I33,322.IO~5
I33,322.IO~2
13,59
I3,59.IO~3
I
Gebruik:
I bat=IO Pa»IO kpa=IO         MPa=IO mbar=I02.I0 mmWK
HS.l.
Krachten vanwege druk op de omgeving.
We formuleren de methodes, die kunnen gebruikt worden om een onderdeel van een con­structie 'vrij te maken' van een vloeistof of van een gas, d.w.z. de druk vanwege de vloei­stof of het gas te vervangen door een stelsel van één of meerdere krachten, die volledig equivalent zijn met het stelsel van elementaire drukkrachten dF = p dA. We gaan er steeds van uit dat
- het fluïdum zich in rust bevindt
de elementaire drukkrachtjes loodrecht staan op het oppervlak] e dA We beschouwen nu verschillende gevallen.
1. Kracht vanwege een gelijkmatige drukverdeling.
1.1. Op een vlakke wand.
Fic
C^ cd*)
juur 1
F
i
IT'r
ik i
ft siK N
jjTrTnTrpTT-rr^S
We beschouwen een willekeurige vlak gedeelte uit een wand van een reservoir, waarop de vloeistof een druk uitoefent, die in alle punten van die wand dezelfde is. Dat zou, zoals bijvoorbeeld in figuur 1 voorgesteld, een gedeelte uit de (horizontale) bodem (of uit het deksel) van een verticaal geplaatst vloeistofreservoir kunnen zijn. De kracht vanwege de gelijkmatige druk p:
staat loodrecht op de vlakke wand
moet in het zwaartepunt van het oppervlak geplaatst worden
wordt berekend als: Fz = p A
Fysica van Fluïda 1998-1999
HS.2.
1.2. Op een gebogen wand.
S k ^S.
F Jj
%M:;i
£-0W
fczz^
w__^
* >-*=^ -^x., ■*
v^ ^
Figui
XX 1
Gaat het om een gebogen wand dan stelt A de pro­jectie voor van het gebogen oppervlak.
In figuur 2 werd de kracht voorgesteld op het bol­vormig deksel van een oliereservoir. De druk is in alle punten van dit oppervlak gelijk aan de dampdruk, die in de gaswolk boven de vloeistof heerst.
2. Kracht vanwege een variërende druk.
2.1. Probleemstelling.
-/
4
y i-
dA 1
V
\ ï
/
\\^
/
Figuur
3
Is de wand niet horizontaal geplaatst, dus verticaal of schuin, dan is de druk niet meer in alle punten van de wand dezelfde; de druk in de vloeistof vari­eert immers lineair met de diepte onder de vloeistof-spiegel: Phydr = P g h.
In figuur 3 wordt bijvoorbeeld een vlakke schuine wand voorgesteld. De druk geeft aanleiding tot ele­mentaire krachtjes dF, die:
loodrecht staan op het elementair gedeelte dA van de wand
gelijk zijn aan dF = p dA, dus groter worden naarmate de druk p toeneemt.
Fysica van Fluïda 1998-1999
HS.3.
Deze elementaire krachtj es moeten samengesteld (herleid) worden tot een stelsel van krachten, dat zo eenvoudig mogelijk te bepalen is. Uit de cursus 'Beginselen van Mechani­ca' weten we dat de eenvoudigste vorm van zulk equivalent krachtenstelsel een resulteren­de kracht is met een grootte, die kan bepaald worden uit het equivalentieprincipe toegepast op het het translatieaspect, terwijl de ligging van de resultante uit de momentsvergelijking moet gevonden worden. We vermelden hier enkel de resultaten van zulke berekeningen voor een aantal bijzondere gevallen.
2.2. Drukkracht op een verticale vlakke wand, rakend aan de vloeistofsplegel.
&
i/
.
£ i
R,-ï
EU
:=^\^~Z
^ \ \
'
F^r 1
...... ■■■i— _____ _____ _____ _'
------\ F
\------ 3
i
sr \
4«t
d
Z-
0>
Sc
tl
Figuur 4
In figuur 4 stellen we, als voorbeeld, een verticaal geplaatste rechthoekige wand voor, die bovenaan raakt aan de vloeistofspiegel. De hoogte van de rechthoek noemen we a, zijn breedte noemen we b. We wensen de prismatische hydrostatische drukverdeling op die wand te vervangen door één enkele kracht, die volledig equivalent is met het stelsel van elementaire krachtj es dF = p dA, die allen loodrecht staan op die verticale wand, en dus de horizontale richting hebben.
Op basis van het equivalentieprincipe voor het translatieaspect van dit krachtenstelsel kan aangetoond worden dat de resulterende kracht kan berekend worden met:
FD = pghzA
De uitdrukking (p g hz) stelt de hydrostatische druk voor ter hoogte van het zwaartepunt Z
van het oppervlak A.
Bij het rechthoekig oppervlak wordt dit: Fd = (p g a/2) (ab) = (p g a2 b)/2.
Fysica van Fluïda 1998-1999
HS.4.
Deze kracht moet echter, om ook voor wat het rotatieaspect betreft equivalent te zijn, in het zogenaamde drukpunt D geplaatst worden dat dieper onder de vloeistofspiegel ligt dan het zwaartepunt Z. Toepassing van het equivalentieprincipe leidt voor een rechthoekig op­pervlak tot de ligging van het drukpunt D, dat kan aangegeven worden met zijn diepte on­der de vloeistofspiegel:
hD = (2a)/3
In tabel 1 werden de resultaten van zulke berekeningen voor enkele eenvoudige wandop-pervlakten samengevat. Hierin werden telkens de ligging van het zwaartepunt Z en van het drukpunt D aangeduid, samen met de formule, die de vervangende resulterende kracht laat berekenen in functie van de geometrische gegevens van het oppervlak. Het komt er op aan deze gegevens op een gepaste manier over te nemen in een tekening die de 'vrijgemaakte' wand voorstelt.
2.3. Drukkracht op een ondergedompelde verticale vlakke wand.
Als voorbeeld beschouwen we in figuur 5 een verticale rechthoekige wand, waarvan de bovenzijde zich hi meter onder de vloeistofspiegel bevindt.
'-—-■ 1
?
i
<
T
1
! t-
ËA. ..tl.
<
a
2
1
, z
i > <j ^
F&
1-----------*■
Figuur 5
De drukverdeling die op de wand terecht komt kan bekeken worden als een superpositie van een gelijkmatige druk pi = p g hi en een lineair variërende druk p2 = p g h', die elk door een equivalente kracht kunnen vervangen worden:
Fysica van Fluïda 1998-1999
HS.5.
1):
- vanwege de gelijkmatige druk (de druk aan de bovenzijde van het oppervlak):
+ in het zwaartepunt van het oppervlak + Fz = p!A= pghiA
-  vanwege de lineair variërende druk (de waarden kunnen afgelezen worden in tabel
+ in het fictieve 'drukpunt' D' van het oppervlak + FD> = p g (a2 b)/2
2.4. Drukkracht op een schume vlakke wand.
Dezelfde principes blijven geldig. De equivalente krachten moeten wel loodrecht op de schuine wand getekend worden in de punten die kunnen afgelezen worden in tabel 1. De hoek a in de formules van tabel 1 stelt de hoek voor tussen de vloeistofspiegel en het vlak van de wand.
In het voorbeeld van figuur 6 is:
Fz = (p g h sin oc) a b
Fd' = (p g h sin oc) (a2 b)/2
Fysica van Fluïda 1998-1999
HS.6.
2.5. Drukkracht op een gebogen wand.
In figuur 7 werd als voorbeeld een parabolisch gebogen wand voorgesteld. De drukkrach-ten kunnen herleid worden tot een stelsel van 2 krachten:
- om de kracht Fd te vinden, behandelt men Ax , de projectie van de gebogen wand op een verticaal vlak, als een verticaal geplaatste vlakke wand. In het voorbeeld is dat een rechthoek.
- de kracht Fz is gelijk aan het gewicht van het vloeistofvolume dat zich tussen de ge­bogen wand en het vloeistofoppervlak bevindt. Deze kracht wordt uiteraard in het zwaartepunt van dit volume geplaatst. De zwaartepunten van enkele oppervlakken werden in tabel 2 opgenomen.
Opmerking:
Bevindt de vloeistof zich aan de 'bolle' zijde van het gebogen oppervlak, dan gaat het om een opwaartse stuwkracht, die met behulp van de wet van Archimedes kan bepaald wor­den.
Fysica van Fluïda 1998-1999
HS.7.
2.6. Drukkracht op een samengestelde wand.
Vermits we enkel een goed te bepalen krachtenstelsel willen vinden die de invloed van de druk weergeeft, kan het superpositiebeginsel op de wand toegepast worden. Men behandelt dus elk deel van de wand afzonderlijk met de principes die hierboven werden besproken. Figuur 8 geeft een voorbeeld.
3. De wet van Archimedes.
De opwaartse stuwkracht die een voorwerp vanwege de druk in de omringende vloeistof ondervindt, is gelijk aan het gewicht van een ingebeelde hoeveelheid vloeistof, die het vo­lume van het voorwerp zou vervangen. Deze kracht wordt in het volumezwaartepunt van het voorwerp geplaatst. Tabel 3 geeft enkele zwaartepunten van volumes.
Fysica van Fluïda 1998-1999
SA8.
ZWAARTEPUNTEN, DRUKPUNTEN, DRUKKRACHTEN.
Voorstelling, Zwaartepunt Z, Druk punt D
Drukkracht Ej
a2b ■ fL = pg-^sm(x
F = pgnr2sin cl
F^pg-j^sincL
F=pgl-r3 sina D y 3
h-i-r
8
.2 r- ah Fspg       5l„a
S.192.
HslUL z.
Zwaartepunten van Oppervlakken
Voorstelling
Oppervlakte
xz
yz
kwart cirkel
y
^
z/\
/ \
/ \
X
JET
T
4r_ 3jv
il 3te
halve cirkel
/er T
0
4r 3jt
parabool
Ai =-ab 3
Ao =-ab
xz, -—b
yZi-Ta
3 8a
x7o =~b z2 5
yz2 =
parabool
a
Ai =-ab 1 3
At =-ab
xz,
= 8b
3
yz,--a
5
-b
xz5
_3_
yz2=~a
10
kwart ellips
jrab
4a
3tt
4b 3te
k
a
ZaJUlJ
S.193.
Zwaartepunten van Volumes
Voorstelling
Naam
Volume
Zv
Halve bol
^R3 3
■R
8
Kegel
, |„R2H
■H
4
Pyramide
^ABH 3
•H
\.x/A\\
Halve Ellipsoïde
-ttR2H 3
■H
8
Paraboloïde
-jzR2H 2
•H
<^
d
U,
beo1
0" ft.
v* er
o%
On,
<L w
v \
• vo
J ol
<üp Qrxy
Qsi Oo
*
H 9 \
<0O
7"
" "
t
Ü-N
R
LLr
yo
É
o
ij
NO
0N
0
u:
rl
/
LL
1
0 II
«
+
*
LiC
"JJ-O
cq
+
1
O"
d ><
?*
uT
-3V '
bo
i
o"
O
0 •j
2
i
II'
CC
6
o
>
w
Lu
<1
z:"
>o
«
N
I)
U.N Uft
0 1/
O
•f
us>
l
luw
!
O tl
i
<M^
*.
><
7*
^
>•
*T
t
xj
; *>|i
li
1 *>
X om
XQ
PS/ O* '
Il /ƒ
j.
xo
Qx Of
cero ^O <*o cl-,
^
II
£
II
3
up
"^uiiUji
J^Blli^
G/O <• ^J
O'
n
•f. ie
f
7
ie
O I
ie i
X>N
*
ie +
X)N
ie
On
H
4
OU
x>h o-Ho
k* .£
ie
0~
Xa Ö
Xa x^
or
0S
^
<oN
ƒ
-------*f* --
OM
6 X
7^
e
3~0
©
r-x
S.59.
Qy De klep van figuur 46 bevindt zich in een vertikale wand en
heeft een gewicht G=8000N.
3 De soortelijke massa van de vloeistof p=IOOO kg/m .
Bepaal de minimale zuigerkracht die nodig is om de klep te
2
openen (fig.47) Stel g = IO m/s .
Fig.46,
Fig.47.
Oplossing:
In toepassing 2 hebben we de resulterende drukkracht en drukpunt
bepaald voor dezelfde v/and. Om de zuigerkracht te bepalen is dat
niet nodig. We maken de klep vrij. (fig.48)
De invloed van de vloeistof stellen we voor door twee krachten
F en F , die we bepalen uit de tabel pag.C■46.
FA=Pg
ah
2
2
1.2
20
kN
= 10
FB=P9 —
r =10
2'
80
kN
Statisch evenwicht van de klep (A) x:X + ~-f£- + -f2- -FV =0
B B L
y:Y-8000=0
80
371
20
.I-h
2=0
a 3 •*"•" 3 ' 8
F2=I9 kN; Y=8 kN; X=~I4,3 kN.
Fig.48.
Oefeningen 1.1.
Eigenschappen van Fluïda
1.    Een opslagtank met een gewicht van 3 000 N heeft een inhoud van 3,2 m en is gevuld met een vloeistof. Opslagtank en vloeistof wegen samen 43 000 N. Reken met g = 9,81 m/s . Bepaal: a. het soortelijk gewicht van de vloeistof
b. de soortelijke massa van de vloeistof
c. het soortelijk volume van de vloeistof
d. de relatieve dichtheid van de vloeistof Oplossing:
a. y = 12 500 N/m3
b. p = 1 274,2 kg/m3
c. v = 7,84.10'4 m3/kg
d. 5=1,2742
•                                                                                                                                        9                                                                      0
2.    De gravitatieversnelling bedraagt op de aarde 9,81 m/s , op de maan 1,635 m/s . Bepaal voor kwik zowel op de aarde als op de maan :
a. de soortelijke massa bij 20 °C (zie tabel 1.2)
b. het soortelijk gewicht bij 20 °C
c. het soortelijk volume bij 20 °C
d. de relatieve dichtheid bij 20 °C Oplossing:
a. pa = pm = 13 545,8 kg/m3
b. ya = 132 884,3 N/m3; ym = 22 147,38 N/m3 c.va = Vm=7,38.10"5m3/kg
d.5a = 5m= 13,5458
3.    Bepaal de gemiddelde compressiemodulus en de gemiddelde compressiecoëfficiënt van de vloeistof waarvoor volgende experimentele gegevens worden opgetekend:
- bij een druk van 35 bar bedraagt het volume 1,000 m
- bij een druk van 240 bar bedraagt het volume 0,990 m Oplossing: Em = 2,05.109Pa
Xm = 4,878.10"10 m2/N
4.    Bepaal uit tabel 1.4 de waarde pm van water in de zone van 4 °C tot 50 °C. Vergelijk het resultaat met de waarde in tabel 1.3.
Fysica van Fluïda 1998-1999
Oefeningen 1.2.
5.     Schat uit tabel 1.3 de temperatuurscoëfficiënt van water in het temperatuursinterval van 10 °C tot 40 °C. Bereken, ter controle, de soortelijke massa ervan bij 30 °C en vergelijk deze met de waarde opgegeven in tabel 1.3.
2
Oplossing: de temperatuurscoëfficiënt bedraagt 0,25 kg/m K
r         2
6.    Het reservoir van een koortsthermometer bevat een volume kwik van 10.10" m (=10 cc) bij 36 °C. Het capillaire buisje heeft een doorsnede van 0,1 mm . Over welke hoogte stijgt het niveau van de kwik in deze koortsthermometer als de lichaamstemperatuur tot 38 °C stijgt, (tabel 1.2)
Oplossing: Ah = 35,55 mm.
7.    Een centrale verwarmingsinstallatie bevat 500 liter water bij 20 °C. Op zolder staat een cilindervormig open expansievat met een diameter van 0,4 m. Hoeveel stijgt het waterni­veau in het expansievat als de watertemperatuur tot 90 °C toeneemt, (tabel 1.3). Welke drukstijging zou er ontstaan zonder de aanwezigheid van het expansievat. (tabel 1.4) Oplossing: Ah=13,5cm
Ap = 727,6 bar.
8.    Een gesloten reservoir is volledig gevuld met een vloeistof waarvan de soortelijke massa 890 kg/m3 bedraagt bij 20 °C. De temperatuurscoëfficiënt van de vloeistof bedraagt 0,2 kg/m3K. De compressiemodulus is gelijk aan 8.109 Pa. Het beschikbaar volume in het re­servoir is door uitzetting van het reservoir toegenomen van 0,5 m3 bij 20 °C tot 0,502 m3 bij 40 °C. Bepaal de drukstijging die in het reservoir is opgetreden door deze tempera-tuursstijging.
Oplossing: Ap = 41 bar.
Fysica van Fluïda 1998-1999
Oefeningen 2.1.
Viscositeit
Bereken de dynamische viscositeit r\ in Pas voor de volgende vloeistoffen:
a. v = 5,6.10"4 m2/s; de relatieve dichtheid bedraagt 2
b. r,= 0,0158 P
c. v = 5 000 cSt; p = 1,2 kg/liter
Oplossing: a. r) = 1,12 Pas;
b.  n = 0,00158 Pas;
c.  n = 6 Pas
De viscositeit van een olie bedraagt 155 SSU, de relatieve dichtheid ervan 0,932. Bepaal door lineaire interpolatie in de tabellen 1.7 en 1.8
a. de viscositeit van de olie in °E
b. de viscositeit van de olie in Rel
c. de kinematische viscositeit
d. de dynamische viscositeit
Oplossing:
a. 4,47 °E;
b.  136,1 Rel;
c.  v = 33,2.10"6 m2/s;
d.  Ti = 0,0309 Pas
Een dunne plaat scheidt twee Newtoni-aanse vloeistoffen. De dikte van elk vloeistoflaagje bedraagt 30 mm. De dy­namische viscositeit van de ene vloei­stof is het dubbele van de dynamische viscositeit van de andere vloeistof. Om de plaat een constante snelheid te geven van 0,3 m/s is een kracht nodig van 27 N per m2 plaatoppervlak. Bepaal de vis­cositeit van beide vloeistoffen.
6'
_^ v=0,3m/s 3----------^ 27N
6t
27]
Oplossing: r\ = 0,9 Pas.
Fysica van Fluïda 1998-1999
Oefeningen 2.2.
4. In een bad bevindt zich een stel zeer dunne even-
*
wijdige vlakke platen, in verticale stand, 20 mm van elkaar verwijderd. Het bad is gevuld met een vloeistof met een relatieve dichtheid 0,95 en een viscositeit = 2 Pas. Welke kracht is er nodig om één van de platen met een oppervlakte van 1,5 m x 0,6 m en een gewicht van 85 N, uit het bad te trekken aan een constante snelheid van 0,05 m/s? De dikte van de plaat wordt verwaarloosd en daarom ook de kracht van Archimedes.
Oplossing: F = 94 N.
Een zuiger beweegt in een cilin­der over en weer met een gemid­delde snelheid v = 6 m/s. De smeerolie heeft een kinematische viscositeit v = 2,8.10"5 m2/s en een relatieve dichtheid 5 = 0,92. Bepaal het vermogen dat door wrijving verloren gaat.
Oplossing: P= 1311 W
Om op een draad een laagje isolatievemis aan te brengen wordt hij doorheen een cilinder-vormige opening met een diameter van 0,9 mm getrokken. De draad heeft een diameter van 0,8 mm. De vernis heeft een viscositeit n = 20 cP en is over een lengte van 20 mm volledig in contact met de draad en de wand. Met welke kracht moet er getrokken worden om de draad met een snelheid van 50 m/s doorheen de opening te halen?
Oplossing: F = 1,005 N
7. Men meet voor ethylalcohol volgende kinematische viscositeiten op: -bij 10°C:vi=2.10-6m2/s -bij65°C:v2 = 7,5.10-7m2/s Bepaal de kinematische viscositeit bij 30 °C.
Oplossing: V3 = 1,30.10"6 m2/s.
Fysica van Fluïda 1998-1999
Oefeningen 2.3.
8. In een industrieel proces bewegen 3 grote dunne vlakke platen a, b en c t.o.v. elkaar. Tussen platen a en b bevindt zich water van 20 °C; platen b en c worden geschei­den door een laagje ethyleengly-col van 20 °C. hi het proces be­weegt plaat b met een snelheid van 4 m/s naar rechts. Platen a en c worden met een snelheid van 2 m/s naar rechts bewogen. Materiaalgegevens: water bij 20 °C:
a: koperplaat Y .
T 0,1 cm
. I b: plastieken plaat ) .
va= 2 m/s
water (20 °C)
vb= 4 m/s
0,2 cm ethyleenglycol (20 °C)
c: staalplaat ~p
vc= 2 m/s
pi = 998kg/m3;v1 = 1.10'6m2/s.
ethyleenglycol bij 20 °C: p2 = 1110 kg/m3; v2 = 1,79.10-5m2/s
a.  Welke krachten zijn daarvoor nodig op elke plaat per m2 plaatoppervlakte?
b.  Welk vermogen slorpt dit proces op per m2 plaatoppervlakte? Wat gebeurt er met dit vermogen?
Om dit probleem op te lossen moeten de drie platen vrijgemaakt worden.
Oplossing:
a.  Fa =1,996 N/m2 Fb = 21,865 N/m2 Fc= 19,869 N/m2
b.  P= 131,2 W/m2
Fysica van Fluïda 1998-1999
Oefeningen 3.1.
Druk
In een cilinder met een diameter van 50 mm bevindt zich een zuiger. Rechts van de zuiger zit een veer met veerconstante k = 1000 N/cm. Aan de linkerzijde wordt olie toegevoegd on­der een effectieve druk van 2 bar. De rechterzijde staat in verbinding met de atmosfeer. Bepaal de verplaatsing van de zuiger. Oplossing: s = 0,39 cm.
pe= 2 bar
Figuur 1
Een rotor A roteert rond zijn middelpunt o. De rotor is excentrisch in een vaste cilinder gemonteerd. De rotor en de cilinder hebben een lengte van 100 mm. In de rotor zijn vier gleuven gefreesd waarin schuiven heen en weer bewegen. De veren zorgen ervoor dat de schuiven steeds tegen de binnenwand van de vaste cilinder aangedrukt worden. Op die manier ontstaan er kamers in de ruimte tussen de rotor en de cilinder. In de linker kamer heerst er een absolute druk van 5 bar. De rechter kamer staat in verbinding met de atmos­feer (1 bar). Teken de druk en maak het systeem dat bestaat uit de rotor en de schuiven in de getekende positie volledig vrij. Bepaal het resulterend moment dat de rotor in de wij-
zerzin aan het draaien brengt. Oplossing: M = 160 Nm.
"""""
mar
"7777777777"
Figuur 2
Fysica van Fluïda 1998-1999
Oefeningen 3.2.
In een leiding heerst een overdruk van 0,002 bar. De atmosferische druk bedraagt 1,018 bar. Bepaal de absolute druk en de procentuele fout die men maakt als men de atmosferi­sche druk gelijk stelt aan 1 bar.
Oplossing: pabs= 1,02 bar; fout: 1,76 %
4
Aan een cilindrische tank met een diameter van 10 m wordt een glazen buisje bevestigd. De tank wordt volledig gevuld met water. Men stopt de watertoevoer als het peil in het gla­zen buisje 1 m boven het cilinderdeksel staat. Bepaal de drukkracht op het deksel. Oplossing: F = 770,475 N.
*10m
7777777777777777777
Figuur 4
Bepaal het niveauverschil in de U-vormige differentieel­manometer van figuur 5 bij stilstand van het water. Oplossing: ha = hb .
kwik
T~T
____1__W__1
Figuur 5
Figuur 6 stelt een systeem voor, dat het toerental van de dieselmotor van een luchtcompressor regelt in functie van de druk in het persvat van de compressor. De compressordruk wordt via de gesplitste leiding naar beide kamers van de regelcilinder gevoerd. Wanneer de druk kleiner is dan 6 bar is de veer ontspannen en bevindt de zuiger zich in zijn uiterst linker stand. De aan de zuiger ver­
i 1
5=
U A A ^ 1
MAX. MIN.
V V V vv
f
Fig.3.6.
Fig
;uui
j r6
,
bonden tandheugel drijft de plunjer van de dieselmotor aan en zorgt in deze stand voor
Fysica van Fluïda 1998-1999
Oefeningen 3.3.
maximale injectie en maximaal toerental (1800 tr/min). Het drukreduceerventiel in de rechter leiding houdt de druk in de rechterkamer op 6 bar. Wanneer de compressordruk hoger is dan 6 bar zullen de zuiger en de tandheugel bijgevolg naar rechts bewegen. Hier­door verdraait de plunjer, vermindert de injectie en neemt het toerental van de dieselmo­tor af. Men wenst de plunjerstand van minimaal toerental (1200 tr/min) te bereiken als de compressordruk 7 bar bedraagt en de zuiger over 20 mm naar rechts verplaatst werd. Be­paal de vereiste veerconstante. Oplossing: k = 62,83 N/cm
7. Bepaal de statische op voerhoogte die de centrifugaalpomp* van figuur 7 minstens moet kunnen leveren. Deze wordt berekend door het vereiste drukverschil over de pomp uit te drukken bij middel van het begrip drukhoogte. De soortelijke massa van de vloeistof bedraagt 1200 kg/m3. Reken met g = 10 m/s2. Oplossing: H = 244,33 m
1bar
pe = 25bar
H-
:i:i *» *+
x^
Figuur 7
8. Figuur 8 toont twee U-vormige manometers die respectievelijk kwik en water als sper­vloeistof bevatten. De derde heeft ook water als spervloeistof, maar heeft een hellend been. Bepaal het niveauverschil in de drie gevallen. Wat is het voordeel van het hellend been van manometer c? Oplossing: a. hi = 0,15 mm
b. en c. I12 = I13 = 2,038 mm; kleinere procentuele afleesfout.
( 20Pa \ovtrdruk J
H
-pi
KWIK
WATER
WATER
Figuur 8
Fysica van Fluïda 1998-1999
Oefeningen 3.4.
9. Een tank bevat water onder druk. De atmosferi­sche druk bedraagt 101320 Pa. Manometers a, b en c geven een effectieve druk aan. Meter c duidt 400 kPa aan. Meter b bevindt zich in een afgesloten ruimte waarin een overdruk heerst van 100 kPa. Bepaal:
a.  de druk die door manometers a en b aange­geven wordt.
b.  de drie nieuwe aflezingen, nadat de atmosfe­rische druk met 50 mbar afgenomen is.
Oplossing: a. pa = 310 kPa; pb = 240 kPa
b. pa = 315 kPa; pb = 240 kPa; pc = 405 kPa
kN
10. Gegeven:
Yh,o=9,81
m
kN
hj =5m
h5 = 1,5 m
h2 = 0,5 m
h6 =2m
h3 =2m
h7 =2m
h4 =3m
Ycci =15,6-
m3
kN
YHg= 133,4-
m3
Reservoir A is gevuld met water. In de ruimte bovenaan de linker manometer is er waterdamp aanwezig. De dampdruk van water bij 20 °C bedraagt 2,34 kPa. Be­paal:
a.  de absolute druk in reser­voir A en de effectieve druk in B als de atmosferi­sche druk 101000 Pa be­draagt.
b.  de nieuwe hoogteverschil­len, nadat de druk in re­servoir A met 5 kPa toe­genomen en de atmosferische druk met 30 mbar gedaald is.
Oplossing:
a.    pAabs = 274,04 kPa pBeff=l 17,32 kPa
b.    hj = 5 m; h3 = 2,864 m; h5 = 1,520 m; h7 =2 m
h2 = 0,068 m; h4 = 3,432 m; h6 = 2,039 m; pBeff = 120,32 kPa
Fysica van Fluïda 1998-1999
Oefeningen 3.5.
11. In een centrale verwarmingsinstallatie verwarmt de ketel het water tot een temperatuur van 90 °C. In de radiator koelt het water af tot 70 °C (figuur 11). Bepaal het drukverschil tussen a en b dat omwille van het temperatuurver­schil voor een natuurlijke circulatie in de verwarmingsinstallatie zorgt, (tabel T.1.4) Oplossing: Ap = 735,75 Pa
R
6m
1
'70°C
90° C
,
K
a
b
Figuur 11
12. Een klep met een massa van 5 kg is in a scharnierend t met de vaste omgeving verbonden. Ze sluit een cirkelvormige opening met een diameter van 200 mm van een opslagtank af. De verbindings-staaf heeft een massa van 0,2 kg. Tegen welke overdruk is de tank met deze klep beveiligd? Reken met g = 10 m/s2. Oplossing: pnv = 1612 Pa
MIL
300
5-
V//////////A
200
Figuur 12
25m
A B
13. Figuur 13 stelt een cilinder voor waarvan de bodem zich op 2m boven een bepaald referentievlak bevindt. In de cilinder be­vinden zich drie vloeistoffen met een ver­schillende soortelijke massa: respectieve­lijk 1,5 kg/l, 1 kg/l en 0,8 kg/l. Daarboven bevindt zich lucht bij een onderdruk van 0,4 bar. De atmosferische druk bedraagt 1,020 bar. Bepaal de hoogtes hi, h2, f13 en I14.
Reken met g = 9,81 m/s2. Oplossing:
\ = 5,09 m; h2 = 3,92 rrr, h3 = 5,95 m; h4 = 1,024 m.
20m
K
f =0,8*1
'2 ~
10 m
= ,ÈL
H
1..1
J
Sm
K
f - is f
2m
hA *
M
0 meter
KWIK
Figuur 13
Fysica van Fluïda 1998-1999
Oefeningen 4.1.
Hydrostatische Drukkrachten
1. In een verticale wand bevindt zich een driehoekige plaat. In de plaat werd een cirkelvor­mige opening gemaakt met middelpunt a en een diameter van 2 meter. De dichtheid van de vloeistof bedraagt p = 1000 kg/m3. Teken het drukverloop in de vloeistof en bepaal daaruit de krachten vanwege de vloeistof op de plaat. Een wand, waarin een opening werd gemaakt kan bekeken worden als het verschil van twee wanden: men kan bijgevolg het superpositieprincipe toepassen om de krachten op de wand te bepalen. Reken met g = 10 m/s2. Oplossing: Fi = 960 kN naar rechts, 3 meter onder het vloeistofoppervlak
F2 = 31,4 kN naar links, 2 meter onder het vloeistofoppervlak F3 = 31,4 kN naar links, 2,25 meter onder het vloeistofoppervlak
2. Een rechthoekige poort (breedte: 5 meter) met een gewicht van 20 kN werd in a scharnie­rend aan de omgeving verbonden; in b steunt de poort op de bodem. De vloeistof in het reservoir is water: p = 1000 kg/m3. Teken het drukverloop in de vloeistof en bepaal daar­uit de krachten vanwege de vloeistof op de plaat. Bereken vervolgens de krachten die in a en b moeten uitgeoefend worden om de poort in evenwicht te houden. Reken met g = 10 m/s2. Oplossing:         Xa = 300 000 N naar links; Ya = 144 715 N naar boven
Yb = 394 900 N naar boven
.
3°y^\
9
\
a
y/ y/ N
30'
Z^i^<
s' et/^
^^^X^
//////////$
V////sy///\
>///y////
Figuur 2
Fysica van Fluïda 1997-1998
Oefeningen 4.2.
In een verticale wand is een vierkantige ope­ning (1 m x 1 m) gemaakt. Deze wordt afge­sloten door een vierkantige plaat die bij mid­del van 4 bouten aan de wand wordt beves­tigd. De soortelijke massa van de vloeistof bedraagt p = 1200 kg/m3. Teken het drukver-loop in de vloeistof en bepaal daaruit de krachten vanwege de vloeistof op de plaat. Bereken vervolgens de kracht die door elke bout op de plaat moet uitgeoefend worden om ze in evenwicht te houden. Reken met g = 10 m/s2. Oplossing: Fb0ven = 7 143 N; Fonder = 7 857 N
Een regelklep (gewicht: 5000 N) werd in a scharnierend aan de omgeving bevestigd. De lengte van de klep bedraagt 1 = 1 m, de breedte (loodrecht op het vlak van de teke­ning) b = 1,2 m. De soortelijke massa van de vloeistof bedraagt p = 1000 kg/m3. Bepaal h zodanig dat er vloeistof kan weglopen wan­neer het vloeistofpeil de hoogte van de scharnier bereikt. Reken met g = 10 m/s2. Oplossing: h = 0,47 m
i—°-
!
_. S
i\
>>,>>>,>,>>> r
£
Figuur 3
Een cilindrische leiding met een dia­meter van 0,4 m is aangesloten op een reservoir. In de leiding zit een vlinder-klep die rond een horizontale as a kan draaien. Bij gesloten stand maakt de klep een hoek van 60° met het hori­zontale vlak. In het reservoir bevindt zich water (p = 1000 kg/m3). Bepaal het koppel dat op de klep moet uitge­oefend worden om ze in de aangege­ven omstandigheden gesloten te hou­den. Reken met g = 10 m/s2. Oplossing: u = 10,88 Nm
e
p
w F
"\€-<^
*&^t^' '"l-"-"""''
6Ö°/\
Figuur 5
Fysica van Fluïda 1997-1998
Oefeningen 4.3.
Een tank staat onder een overdruk van 400 kPa. De tank wordt afgesloten door de plaat ab (10x6 m), die in a scharnierend werd bevestigd. De vloeistof in de tank heeft een soortelijk gewicht van 9810 N/m3. Bepaal het koppel dat in a moet uit­geoefend worden om de tank gesloten te houden, indien we het gewicht van de poort verwaarlozen. Reken met g = 9,81 m/s2. Oplossing: Ua = 171,9.106 Nm
°1
"7V
H20
20r
Figuur 6
7.    Een plaat ab (6x5 m) sluit een reservoir af waarin zich twee vloeistoffen bevinden: een vloeistof met een soortelijk gewicht y = 15 600 N/m3 tot op een hoogte van 12 m en H2O (pmo = 1000 kg/m3) tot op een hoogte van 22 m. Ei het reservoir heerst een overdruk van 600 kPa. Teken het drukverloop Ei het reservoh en bepaal daaruit alle krachten op de plaat. Bereken vervolgens het koppel dat in a moet uitge­oefend worden om de tank gesloten te houden. Reken met g = 9,81 m/s2. Oplossing: Ua = 77,24.106 Nm
8.    Ei een tank bevmdt zich een vloeistof met een soortelijk gewicht y = 15 600 N/m3 tot op een hoogte van 3,6 m en H2O (pH2o = 1000 kg/m3) tot op een hoogte van 13,6 m. De overdruk Ei het reservoh bedraagt 200 kPa. De tank wordt afgesloten door de plaat ab (6x5m). Teken het drukverloop Ei het reservoir en bepaal daaruit alle krach­ten op de plaat. Bereken vervolgens het koppel dat in a moet uitgeoefend worden om de tank gesloten te houden. Reken met g = 9,81 m/s2.
Oplossing: IL = 29.65.106 Nm
0
3
60r\b
70/7?
'>
12m
Figuur 7
)
Fysica van Fluïda 1997-1998
Fysica van Fluïda
Fysica van gassen
Fysica van Fluïda 1998-1999
Fysica van gassen
1. Gaswetten....................................................................................................................................................1
1.1. De ideale gaswet.............................................................................................................................1
1.2. De 'van der Waals - vergelijking..............................................................................................4
1.3. De toestandsvergelijking voor reële gassen.............................................................................5
1.4. De toestandsvergelijking voor gasmengsels - wet van Dalton..............................................8
1.5. Voorbeelden...............................................................................................................................10
2. Eigenschappen van gassen.........................................................................................................................12
2.1. Dichtheid van een gas..................................................................................................................12
2.2. Specifiek volume van een gas......................................................................................................13
2.3. Uitzettingscoëfficiënt - Spanningscoëfficiënt - Compressibiliteit...............................................15
2.3.1. Uitzettingscoëfficiënt p van een gas...............................................................................15
2.3.2. Spanningscoëfficiënt 5 van een gas................................................................................16
2.4. Thermische eigenschappen van gassen........................................................................................17
2.4.1. Specifieke warmtecapaciteit.....................................................................,.....................17
2.4.2. De isentropenexponent k................................................................................................17
2.4.3. Gasconstanten en verbanden...........................................................................................17
2.5. Voorbeelden.................................................................................................................................19
3. Aërostatica.................................................................................................................................................21
3.1. Krachten vanwege een gasdruk....................................................................................................21
3.2. De 'US Standard Atmosphere'.....................................................................................................22
3.2.1. De variatie van de luchttemperatuur in functie van de hoogte.......................................22
3.2.2. De variatie van de luchtcfruk in functie van de hoogte...................................................23
3.2.3. De variatie van de luchtdichtheid in functie van de hoogte............................................24
3.2.4. Tabellen en grafieken......................................................................................................25
3.3. Voorbeelden.................................................................................................................................26
Fysica van Fluïda 1998-1999
G.I.
1. Gaswetten
Zoals reeds eerder besproken (deel 1) is de toestand, waarin de materie zich bevindt, af­hankelijk van de toestandsveranderlijken p, V en T. Tussen deze grootheden bestaat er een verband, weergegeven door de toestandsvergelijking en/of voorgesteld in een toestandsop­pervlak. Andere eigenschappen van de stof worden vaak uitgedrukt in functie van deze toestandsgrootheden.
1.1. De ideale gaswet
Zoals zoveel fundamentele wetten in de fysica heeft ook 'de ideale gaswet' een lange geschiedenis achter de rug. De verschillende achtereenvolgende versies ervan zouden we kunnen verifiëren met behulp van de 'universeel opgevatte' ex­perimentele opstelling voorgesteld in fi­guur 1.
We stellen ons voor dat we in deze op­stelling volgende grootheden kunnen la­ten variëren en opmeten:
het volume V
de druk p
de temperatuur T
de hoeveelheid aanwezig gas, uitgedrukt met het aantal mol n.
!-1**Üs«l
7W3»
v ï.3
"^#
^^J
Figuur 1
Fysica van Fluïda 1998-1999
G.3.
In zulke vergelijking is R een grootheid, die voor elk type gas moet opgemeten worden; ze is in principe voor elk gas verschillend; het is een grootheid, die de materie in bovenstaan­de aspecten karakteriseert.
Uit metingen bleek echter dat deze waarde voor alle gassen (nagenoeg) dezelfde is, ten­minste indien men de experimenten uitvoert bij temperaturen die 'hoog genoeg' zijn en bij 'betrekkelijk lage' drukken. Men vond in die omstandigheden de waarde
R = 8,3145
molK
Onder die voorwaarden spreekt men dan ook van een 'ideaalgas'.
Hoewel de ideale gaswet in oorsprong een ervaringswet was, gebaseerd op macroscopisch observeerbare experimentele gegevens, kon ze later ook geverifieerd worden vanuit een geïdealiseerd model van een gas in de zogenaamde 'kinetische gastheorie'; hierin kon het begrip druk in verband gebracht worden met de kinetische energie van de gasmoleculen en dus met de temperatuur.
Strikt genomen spreekt men over een 'ideaal gas' wanneer bovenstaande vergelijking gel­dig is voor alle drukken en alle temperaturen. Reële gassen beantwoorden het best aan deze geïdealiseerde vergelijking wanneer de druk betrekkelijk laag is (enkele bars) en de tempe­ratuur beduidend hoger is dan deze waarbij het gas door compressie overgaat in een vloei­bare fase: onder die voorwaarden blijven de gasmoleculen betrekkelijk ver van elkaar ver­wijderd (men spreekt dan van een 'ijl gas') en bewegen ze met een relatief hoge snelheid zodat ze goed aan het geïdealiseerd gasmodel beantwoorden. In het (p,V)-diagram worden de evenwichtstoestanden voorgesteld door hyperbolen (zie toestandsdiagramma - deel 1).
De ideale gaswet leidt, indien men een welbepaalde hoeveelheid van een ideaal gas be­schouwt, tot volgende erg bruikbare uitdrukkingen (de 'algemene gaswet'):
pv
T
cte (=
= nR)
p,vx
_p2V2 T
Fysica van Fluïda 1998-1999
G.4.
f.2. De 'van der Waals - vergelijking'.
De ideale gaswet kan theoretisch geverifieerd worden met behulp van een vereenvoudigd moleculair model voor een gas, waarin het volume ingenomen door de moleculen zelf en hun onderlinge aantrekkingskrachten worden verwaarloosd.
De van der Waalsvergelijking voert correcties in die rekening houden met deze aspecten en die verwaarloosbaar worden wanneer de druk laag en/of de temperatuur hoog genoeg zijn, maar die belangrijk worden wanneer druk en temperatuur in de buurt komen van deze van het coëxistentiegebied (zie deel 1):
a en b hierin zijn experimenteel vast te leggen gegevens, die voor elk gas verschillend zijn. Ruwweg gesproken hebben ze volgende fysische betekenis:
b komt overeen met het volume dat ingenomen wordt door de moleculen zelf in één mol van het gas; is er n mol gas aanwezig dan nemen de moleculen zelf een volume in gelijk aan nb en blijft er een volume (V-nb) over waarin de moleculen vrij kunnen bewegen.
a houdt verband met de aanftekkingskrachten die tussen de moleculen bestaan; er kan aangetoond worden dat deze krachten een extra druk tot gevolg hebben, die evenredig is met het kwadraat van het aantal mol n dat per volume-eenheid aan-wezig is: (n/V) .
Om het relatieve belang van deze correctiefactoren in te schatten, herschrijven we de van der Waalsvergelijking:
f n2W
V 1-----b =nRT
v V
p + a-^
v v2;
Indien (n/V) heel klein is (in het geval van een 'ijl' gas) worden de correcties heel klein en gaat de 'van der Waalsvergelijking' over in de 'ideale gaswet'. Is het aantal mol n in het volume aanwezig groot, dan worden de correcties belangrijker.
Fysica van Fluïda 1998-1999
G.5.
1,3. De toestandsvergelijking voor reële gassen.
Reële gassen beantwoorden goed aan de 'ideale gaswet' indien ze gebruikt worden bij niet al te hoge drukken en bij vrij hoge temperaturen. In dat geval komen de basisassumpties -verwaarlozing van het moleculevolume en van de intermoleculaire krachten - goed overeen met de werkelijkheid. In tal van technische toepassingen maakt men echter gebruik van gassen en gasmengsels bij zeer hoge drukken; in dat geval wijken gegevens bepaald uit de ideale gaswet te veel af van de werkelijkheid. De van der Waalsvergelijking voert enkele wetenschappelijk gefundeerde correcties in ten aanzien van deze assumpties. In de tech­niek gaat men echter vaak veel pragmatischer te werk en past men de ideale gaswet aan met een experimenteel te bepalen correctiefactor K:
pV = K(nRT)
De correctiefactor K stelt de mate voor waarin het reële gas afwijkt van het ideaal gas en wordt experimenteel vastgelegd in functie van druk en temperatuur. Men vindt dergelijke waarden in tabellen en grafieken van technische vademeca.
Tabel 1 geeft enkel waarden van K in het geval van lucht.
Correctiefactor K voor lucht
drukp =
T = 0°C
T=100°C
T = 200 °C
1 bar
1,0
1,0
1,0 .
20 bar
0,9895
1,0027
1,0064
100 bar
0,9699
1,0235
1,0364
Tabel 1
Figuren 2 en 3 geven deze waarden voor enkele gassen in grafiekvorm.
Fysica van Fluïda 1998-1999
G.6.
Tafel 3 Realgasfaktor Zeiniger Gase
Luft
1.18
50              WO             ISO            200 bar              MO
""'"^ -""'ft j*
-------<7>
^_^4
A
*s
0.95
i.i
15
0,9
0,90-
0.8
0.85
0.7
Stickstoff
0                    100                   200 bar         300
SO              100               150 r 200            250             300             350 bar 400
Kohiendioxyd
Sauerstoff
Figuur 2
Fysica van Fluïda 1998-1999
G.7.
Tafel 4 Realgasfaktor des überhitzten Wasserdampfes
1,0
p s 0 bar
700 °C 800
0,95
0,9
k
0.85
0,8
N
o
£0,75
d
JP d o
0,7
0,65
0.6-
0,55
300            400             500
Temperatur t
Quelle: Warmetechnische Arbeitsmappe 1967
Figuur 3
Fysica van Fluïda 1998-1999
G.8.
1.4. Toestandsvergelijking voor gasmengsels - wet van Dalton.
Vele gassen zijn mengsels van verschillende componenten. Een goed voorbeeld is lucht; in de omgeving van de aarde heeft lucht ongeveer volgende samenstelling:
78 % N2
21 % 02 1 % andere gassen, o.a. waterdamp
Elke component draagt in verhouding tot zijn relatief aandeel bij tot de totale druk in het
gasmengsel.
Beschouwen we bijvoorbeeld een willekeurig gasmengsel,
dat bestaat uit een aantal m componenten i: i = 1, 2,...., m,
die elk in een bepaalde hoeveelheid aanwezig zijn in een volume V: ni, n2, n3,..., nm. We noemen pi, de partieeldruk van component i,
de druk die er zou heersen mocht het gegeven volume V enkel de hoeveelheid ni van de
component i bevatten.
RT Volgens de ideale gaswet geldt: p{ = n;
De wet van Dalton stelt dat:
de totale druk van het gasmengsel in het volume V gelijk is aan de som van de parti-eeldrukken:
Met dit gegeven wordt de ideale gaswet voor gasmengsels:
m
P = £Pi
i=l
£ RT RT
=nv
n is hierbij het totaal aantal mol van alle componenten samen, aanwezig in het volume V.
Fysica van Fluïda 1998-1999
G.9.
De partieeldruk kan dan als volgt geschreven worden:
RT
Pi
= UJ
V
ni
RT
n----
n
V
n,
P
n
waaruit:
Of met andere woorden (wet van Dalton - 2):
De partiële dampdruk van een gas in een mengsel verhoudt zich tot de totale druk van het mengsel zoals de molair e fractie van die component in het mengsel aanwezig.
Voor een mengsel van reële gassen moeten we eventueel rekening houden met de correctie­factoren K[i
m
= SPi
i=l
v, RT
i=l               V
vit:
v
Fysica van Fluïda 1998-1999
G.10.
1.5. Voorbeelden.
1. Bepaal het volume dat ingenomen wordt door één mol van een 'ideaal gas' bij 'gestan­daardiseerde druk en temperatuur'. Oplossing:
Men gaat uit van volgende 'gestandaardiseerde atmosferische omstandigheden':
T = 0 °C = 273 K
p = 1 atm = 1013 mbar = 1,013 . 105 Pa
Verder is:
n = 1 mol
R = 8,315 J/(mol)K
Met deze gegevens schrijven we:
V = ^ P
_ 1.8,315.273 1,013.105
= 0,0224 m3 = 22,4 liter
2. Bepaal de 'molaire massa' van lucht bij 1 bar en 0 °C. Lucht is een gasmengsel, bestaande uit 78 % stikstof, 21 % zuurstof en 1% andere gassen. De molaire massa van zuurstof en stikstof bedraagt respectievelijk 32 en 28 kg/kmol. Oplossing:
We schatten de molaire massa van lucht door te stellen dat deze bestaat uit 80 % stikstof en 20 % zuurstof:
Mlucht «0,8.28+ 0,2.32 = 28,87^7 = 28,8.10-3 kg
kmol                  mol
Fysica van Fluïda 1998-1999
G.ll.
3. De inhoud van een zuurstoftank voor diepzeeduiken bedraagt typisch 11 liter. Een 'geledigd' reservoir bevat nog altijd 11 liter lucht bij ongeveer 21 °C en 1 atmosfeer. Lucht is een gasmengsel, bestaande uit 78 % stikstof, 21 % zuurstof en 1% andere gassen; de 'gemiddelde molaire massa' van dit mengsel bedraagt 28,8 gram/mol = 28,8.10" kg/mol. Hoeveel kg 'bruikbare lucht' kan in de zuurstoftank opgeslagen worden, indien men deze met behulp van een compressor kan vullen met lucht bij een temperatuur van 42 °C en een overdruk van 2, lxl O7 Pa.
Oplossing:
We bepalen eerst het aantal mol lucht dat nog aanwezig is in een 'geledigde' tank. We
werken hierbij met de absolute waarden voor druk en temperatuur:
T1=21°C = 21 + 273 = 294K Pj = latm= 1,013.105 Pa V,= 1.1 liter = 11.10"3m3
R = 8,315 J
molK
5 1 1 1 A-3
*1 =
PïV, 1,013.10M1.HP ..„ ,
ülj_ =----------------------_ o 456 mol
Rij           8,315.294
We bepalen op een gelijkaardige manier het aantal mol lucht in een gevulde tank:
T2=42°C = 42 + 273 = 315K p2=2,10.107 Pa overdruk
= 2,10.107+1,013.105 Pa
= 211.105Pa
V2=llliter = ll.l<r3m:
R = 8,315
J
molK
p2V2 21U0MUQ-3 __, ,
n2 =         =--------------------= 88,6 mol
2 RT2          8,315.315
Het aantal mol lucht dat bij de vulling aan de tank wordt toegevoegd bedraagt dus: n = n2 - n, = 88,6 - 0,456 = 88,1 mol
Het aantal kg lucht dat opnieuw kan gebruikt worden bedraagt: m = 88,1.28,8.10"3 = 2,54 kg
Fysica van Fluïda 1998-1999
G.12.
2- Eigenschappen van gassen
2. 1. Dichtheid van een gas.
De ideale gaswet kan als volgt herschreven worden:
pV = nRT = —RT M
m: de totale massa van het gas in het volume V aanwezig
M: de molaire massa van het gas
inR
T = pRjT
VM
p: de dichtheid van het gas
Rii de individuele gasconstante; deze is voor elk gas verschillend; in tabel 2
werden deze waarden voor enkele gassen opgenomen.
Tabelle IJ Thermische Stoffwerte von Gasen bei 1 bar und 0 °C
Stoff
Luft
02
N2
H2
NH3
co2
Spezifische Warmekapazitat tp
1004
914,8
1038,7
14 199
2060,2
816,5
J/(kg K)
Spezifische Warmekapazitat c\
717
655
741,9
10 075
1572
627,6
J/(kg K)
Isentropenexponent x
1.4
1,4
1.4
1.41
UI
U
Individuelle Gaskonstante R-,
287
259,8
296,8
4124
488,2
188,9
J/(kgK)
Moiare Masse M-,
29
32
28
2
17
44
kg/kmol
tabel 2
De dichtheid van een ideaal gas kan dan bepaald worden uit:
p         M
p = —-— = P-----
R{T RT
De dichtheid van een reëel gas kan gevonden worden door gebruik te maken van de vroeger reeds besproken correctiefactor K met:
p             M
K.R.T K.RT
Fysica van Fluïda 1998-1999
G.13.
De dichtheid van een gasmengsel kan gevonden worden met:
m V, V,
P = — = P, —L + Po —- + ..
r V        V        V
p = P1n1+p2n2 + ...
pi, P2,...: de dichtheid van elke gascomponent
ni, ii2,...: het aandeel van elke component uitgedrukt in volumepro­centen
2.2. Specifiek volume van een gas
In plaats van de dichtheid p wordt vaak gebruik gemaakt van het specifiek volume v:
- voor een ideaal gas:
1 _ R-T _ R T p p M p
voor een reëel gas:
p         p         M p
De gaswetten kunnen hiermee herschreven worden (bemerk hierbij de overeenkomst met de vroegere formuleringen):
voor een ideaal gas:
pv = RiT
voor een reëel gas:
Fysica van Fluïda 1998-1999
G.14.
Figuur 4 geeft als alternatief voor deze formule het specifiek volume van oververhitte stoom
als functie van druk en temperatuur.
Dergelijke gegevens vindt men ook terug in tabelvorm.
Tafel 5 Spezifisches Volumen von Wasserdampf
nach VDI-Wasserdampftafeln
10
8
is
4
3
'2
" 2
c
0
- jö! i kg
É
j '-0
c
) 0,8
>
u a
) 0,5
; 0,4
0
«♦-
? 0,3
b
4
f 0,2
u
1
0,1
0,08
0,06
0,05
0,04
0,03
0,5 bar
0,02
0,01 0,008
0,006 0,005
0,004 0,003
0,002 0,001
200
300 bar
300 400 500
Temperatur t --------
Figuur 4
Fysica van Fluïda 1998-1999
' G.15.
2.3. Uitzettingscoëfficiënt- Spanningscoëfficiënt - Compressihiiiteit.
2.3.1. Uitzettingscoëfficiënt $ van een gas.
Net zoals bij vloeistoffen kan de toename van volume bij stijgende temperatuur uitgedrukt worden bij middel van de kubieke uitzettingscoëfficiënt van een gas, gedefinieerd als volgt:
P
ï av
VdT
P geeft de relatieve volumetoename per graad temperatuurstijging bij gelijk blijvende druk en wordt uitgedrukt in:
[e] 4
Bij linearisatie geldt in een beperkt temperatuursinterval: V(T + AT) = V(T) + AT = V(T)(l + p AT)
Voor een ideaal gas geldt:
Indien V =------dan geldt: —
p                     ÖT
nR
i av
J_nR V p
of:
P = ;
vaT
In het geval T = 273,15 K = 0 °C:
P0 = —ï— = 0,003661 —
0 273,15                 K
Deze waarde geldt voor alle gassen in zover ze voldoen aan de ideale gaswet. Laboratorium-metingen bevestigen dit merkwaardig resultaat.
Fysica van Fluïda 1998-1999
G.16.
2.3.2. Spanningscoëfficiënt 5 van een gas.
Houdt men het volume van een gas constant, dan varieert de druk evenredig met de tempera­tuur. Deze variatie kan uitgedrukt worden met behulp van de spanningscoëfficiënt 5, gedefi­nieerd als volgt:
5 =
1 dp
pöT
8 geeft de relatieve dniktoename per graad temperatuurstijging bij gelijk blijvend volume en wordt uitgeohukt in:
ral=—
1 J K
Voor een ideaal gas wordt dit:
nRT                dp
nR V
muien p
- uai V
pöT
1 nR v P V
6 = 1 T
dan geldt:
dT
of:
Voor een ideaal gas zijn de uitzettings- en de spanningscoëfficiënt dus identiek.
Fysica van Fluïda 1998-1999
G.17.
2.4. Thermische eigenschappen van gassen.
2.4.1. Specifieke warmtecapaciteit.
De specifieke warmtecapaciteit is de hoeveelheid warmte, die nodig is om de temperatuur van 1 kg van een bepaald product met 1 K te wijzigen. Deze grootheid wordt uitgedrukt in
kgK
In deel 1 hebben we reeds gewezen op het feit dat men een onderscheid moet maken tussen
de specifieke warmtecapaciteit cp, die gemeten wordt bij constant gehouden druk, en cy,
die gemeten wordt bij constant gehouden volume. Het verschil heeft te maken met het feit
dat met een volumewijziging ook een energie-uitwisseling via arbeid plaats heeft. Bij
vloeistoffen verschillen deze waarden niet veel en rekent men gewoonlijk met een benade­rende waarde: c « cp « cv.
Bij gassen is de volumewijziging beduidend en moet men dus wel degelijk een onder­scheid maken tussen cp en Cy: cp > cy.
2.4.2. De isentropenexponent k.
Deze wordt gedefinieerd als de verhouding van vorige gegevens:
K = -^of
cv
Cv=KCp
2.4.3. Gasconstanten en verbanden.
In het voorgaande werd gesproken over twee types gasconstanten:
-   de individuele gasconstante Ri, die verschillend is voor elk gas:
-   het is de mechanische arbeid, die door één kg gas per graad temperatuurstijging aan de omgeving kan afgegeven worden
-   eenheden zijn: ——
kgK
-   de universele gasconstante R, die voor alle gassen identiek is:
-   het is de mechanische arbeid, die door één mol gas per graad temperatuurstij­ging aan de omgeving kan afgegeven worden
-   eenheden zijn:-------
molK
Fysica van Fluïda 1998-1999
G.18.
Er bestaan volgende verbanden tussen allerlei voornoemde grootheden:
R_P_PV
1 pT T
M;
Mi is de molaire massa van stof i.
In de thermodynamica zal aangetoond worden dat:
Ri=c -cv=(k-1)cv=-—c
K
In tabel 2 vinden we een aantal van deze waarden terug.
Fysica van Fluïda 1998-1999
G.19.
2.5. Voorbeelden.
1. Bepaal voor chloorgas CI2 bij 25 °C en onder een overdruk van 5 bar volgende grootheden:
- de dichtheid
- het soortelijk gewicht
- het specifiek volume
- de individuele gasconstante
De molaire massa van chloorgas bedraagt M = 71 kg/kmol. Oplossing:
pM 6.105.71.1Q-3              kg
p = -— =--------------------= 17,2 —2-
RT 8,315.(273 + 25)           m3
y=p,g = 17,2.9,81 = 169 4
m
P           kg
R=j2315 =n7>1 K
M 71.KP             kgK
2.  Bepaal de dichtheid van lucht bij 20 °C en bij 0 °C, telkens bij een 'normale' luchtdruk en in de veronderstelling dat lucht bij deze omstandigheden kan aangezien worden als een ideaal gasmengsel met een gemiddelde molaire massa M = 28,8 . 10 "3 kg/mol. Oplossing:
= PaM = 1,013.105.28,8.1Q-3 ^12Q kg p20 RT20 8,315.(273+20) 'm3
= pa M = 1,013.105.28,8.IQ"3 = 29 kg Po RT0 8,315.(273 + 0)         ' m3
3.  Bepaal het soortelijk gewicht van lucht bij een temperatuur van 30 °C en een absolute druk van 470 kPa.
Oplossing:
= pM = 470.IQ3.28,8.IQ'3 _ kg P_RT " 8,315.(273 + 30) " ' m3
y=p.g = 5,37.9,81 = 52,7
N
m3
Fysica van Fluïda 1998-1999
G.20.
4. Figuur 5 stelt een compressor voor, die lucht onder druk levert aan de verbrandingskamer
feTo
l~ri
7-i
'out Pout
boiler
Room air •
^Fan
£ ])
Figuur
5
van een gasturbine. Aan de ingang van de compressor ontstaat een on­derdruk van 1300 Pa, waardoor lucht uit de omgeving wordt aangezogen. De temperatuur van de lucht bedraagt aan de ingang van de compressor Ti = 30,6 °C. Na compressie wordt de lucht bij een temperatuur van Tu = 35,6 °C en onder een overdruk van
1000 Pa in de verbrandingskamer ge­blazen.
Bepaal de dichtheid van de lucht aan in- en uitgang van de compressor. We rekenen met een individuele gasconstante voor lucht van 287 J/(kg K). De omgevingsdruk bedraagt 1 bar.
Oplossing:
Pi =
pf           (1-0,013).IQ5
= U3
kg m3
m3
RiTi
287.(273,15 + 30,6)
(1 + 0,01). IQ5 287.(273,15 + 35,6)
_ Pu _
1,14
Pu =
R;TU
Het verschil tussen de dichtheid van de lucht aan de in- en de uitgang van de compressor is dus erg gering. We zouden ons kunnen afvragen of dit verschil in praktijk al of niet rele­vant is en we eventueel niet kunnen blijven werken met de dichtheid aan de ingang van de compressor. Eén en ander wordt duidelijk indien we bijvoorbeeld de opgemeten druk aan de uitgang van de compressor zouden gebruiken om de temperatuur Tu te schatten:
Pi
Pi           (1-0,013).IQ5
= U3 4
Ri^
287.(273,15 + 30,6)
m
Pu _
(1 + 0,01).105
= 311,4K = 38,3°C
T
u R;Pi 287.1,13
De fout op de emdtemperatuur van (38,3 - 36,5) = 1,8 °C zou erg belangrijk zijn indien men hiermee een energiebalans zou opstellen.
Fysica van Fluïda 1998-1999
G.21.
3. Aërostatica
3.1. Krachten vanwege een gasdruk.
De evenwichtsvergelijking van Euler gaf bij vloeistoffen, die een nagenoeg constante dichtheid p vertonen, aanleiding tot het begrip 'hydrostatische druk': deze neemt lineair toe met de diepte onder de vloeistofspiegel. Vullen we een reservoir geheel of gedeeltelijk met een vloeistof dan ontstaat er door dit lineair drukverloop op de wand een ongelijkma­tig verdeelde kracht: de onderzijde van de wand wordt relatief zwaarder belast dan de bo­venzijde. We stellen de resultante van deze drukverdeling voor door de drukkracht Fd, die we in het drukpunt D moeten plaatsen (figuur 6).
o,
J
2-
i - 1
i
3
==\ F
\S> "
\ J)
\=±n
l
Rz=l
Z
F
3^
Figuur 6
Vullen we (een betrekkelijk klein) reservoir echter met een gas, dan gaan we ervan uit de dichtheid, de temperatuur en de druk in alle punten van het gas dezelfde is. De druk kan bepaald worden uit de gaswetten:
nRT p = pRiT
De kracht vanwege deze druk op een gedeelte van de wand van het reservoir is dan gelijk­matig verdeeld. De resultante ervan moet in het zwaartepunt van het oppervlak A geplaatst worden en kan berekend worden als:
Fz = p.A
Fysica van Fluïda 1998-1999
G.22.
3.2 De 'US Standard Atmosphere'.
Bekijken we de enorme luchtmassa omheen het aardoppervlak, dan liggen de zaken wel een beetje anders: de dichtheid van de lucht, de temperatuur en de druk variëren dan met de hoogte boven het aardoppervlak; in de vliegtuigbouw, de ruimtevaart en de meteorolo­gie moet met deze variatie wel degelijk rekening gehouden worden. We berekenen ze in de veronderstelling dat de veranderingen in chemische samenstelling van de lucht, de variatie van de gravitatieversnelling en de invloed van de aardrotatie verwaarloosbaar zijn.
3.2,1. De variatie van de luchttemperatuur in functie van de hoogte.
We moeten een onderscheid maken tussen verschillende gebieden in de atmosfeer, die ook nog eens van plaats tot plaats op de aarde verschillen; zo begint de stratosfeer, die aan de evenaar op ongeveer 17 km hoogte begint, aan de polen reeds vanaf 8,5 km boven zeeni­veau. In figuur 7 werden de verschillende delen van de atmosfeer voorgesteld, zoals ze ge­bruikt worden in de 'US Standard Atmosphere'.
-60 -40 -20 0 +20 (a)                   Temperature, °C
lonosphere
Stratosphere
Troposphere
VV, ."r„v ■■■-■wvTWilif.Vy.-^J^.
40 80 120 (b) Pressure, kPa
Figuur?
-   in de troposfeer, tot op ongeveer 11 km hoogte, neemt de temperatuur nagenoeg li­neair afin functie van de hoogte;
-   in de stratosfeer, van ongeveer 11 km tot ongeveer 20,1 km hoogte, heerst er een constante temperatuur van -56,6 °C;
-   in de ionosfeer neemt de temperatuur terug toe.
Met deze gegevens berekenen we nu de drukvariatie in de tropo- en in de stratosfeer. In de ionosfeer kan de 'luchtlaag' niet meer als een continuüm aangezien worden.
Fysica van Fluïda 1998-1999
G.23.
3.2.2. De variatie van de luchtdruk in functie van de hoogte.
Combinatie van de evenwichtsvergelijking van Euler (1) met de ideale gaswet (2) levert:
dp = -pgdz
(1)
P =
pM RT
(2)
dp = -g—dz
F         5RT
dp - gM dz
(3)
R T
3.2.2.a. Drukvariatie in de VS Standard Troposphere'.
In vergelijking (3) voeren we de temperatuursvariatie , T = T0 - B. z , in
To : de temperatuur op zeeniveau = 15 °C = 288,15 K B : 0,00650 K/m
dp - gM dz
p R (T0-Bz) p,dp _ -gM z, dz pJo7" R oJ(T0-Bz) -gM/ dz
RB „'(i_z)
T + gM2fd^~z)
RB o/^o
T
p +gM
In
In— =
RB
_o_ B
+gM
In— = ln
T
T B
RB
/
Bz
+gM \ RB
P(z) = Pc
(4)
V TJ
Fysica van Fluïda 1998-1999
G.24.
3.2.2.h. Drukvariatie in de VS Standard Stratosphere'.
De temperatuur is hierin constant: Tc = - 56,6 °C = 216,7 K Vergelijking (3) wordt in dit geval: dp -gM dz
jdp_-gMz,
Pc P         RTC zc
p -gM/         x
In— = ——-lz-zr)
Pc RTC v c)
-gM(z-zc)
p(z) = pce RTc                   (5)
3.2.3. De variatie van de luchtdichtheid in functie van de hoogte.
Deze wordt gevonden door substitutie van bovenstaande uitdrulddngen (4) en (5) in de
gaswet (2).
3.2.3.a. Luchtdichtheid in de VS Standard Troposphere'.
M
+gM
( Bz^ M
R(To-Bz)
V XJ
3.2.3.b. Luchtdichtheid in de VS Standard Stratosphere'.
p(z) = rFPcG                               (7)
Fysica van Fluïda 1998-1999
G.25.
3.2.4. Tabellen en grafieken.
De hierboven besproken waarden voor de 'US Standard Atmosphere' spelen een belangrij­ke rol in praktijk. Zo dienen ze onder andere als een soort referentiewaarde voor heel wat parameters, die gebruikt worden in de luchtvaart. Eerder dan ze met bovenstaande formu­les te berekenen worden ze overgenomen uit opgestelde grafieken en tabellen zoals deze van figuur 8 en van tabel 3.
Table A.I Properties of the U.S. Standard Atmosphere (SI units)
Geometrie
Alritude
z(m)
Temperature T(K)
Pressure p(Pa)
Density P (kg/m3)
Gravitational Accéleration g (m/s2)
Viscosity ]L (N-s/m2j
Kinematic
Viscosity
v«(m7s)
-5000
320.7
1.778 E5
1.931
9.822
1.942 E-5
1.006 E-5
-4000
314.2
1.596 E5
1.770
9.819
1.912 E-5
1.081 E-5
-3000
307.7
1.430 E5
1.619
9.816
1.882 E-5
1.163 E-5
-2000
301.2
1.278 E5
1.478
9.813
1.852 E-5
1.253 E-5
-1000
294.7
1.139 E5
1.347
9.810
1.821 E-5
1.352 E-5
0
288.2
1.013 E5
1.225
9.807
1.789 E-5
1.461 E-5
1000
281.7
8.988 E4
1.112
9.804
1.758 E-5
1.581 E-5
2000
275.2
7.950 E4
1.007
9.801
1.726 E-5
1.715 E-5
3000
268.7
7.012 È4
9.093 E-1
9.797
1.694 E-5
1.863 E-5
4000
262.2
6.166 E4
8.194 E-1
9.794
1.661 E-5
2.028 E-5
5000
255.7
5.405 E4
7.364 E-1
9.791
1.628 E-5
2.211 E-5
6000
249.2
4.722 E4
6.601 E-1
9.788
1.595 E-5
2.416 E-5
7000
242.7
4.111E4
5:900 E-1
9.785
1.561 E-5
2.646 E-5
8000
236.2
3.565 E4
5.258 E-1
9.782
1.527 E-5
2.904 E-5
9000
229.7
3.080 E4
4.671 E-1
9.779
1.493 E-5
3.196 E-5
10000
223.3
2.650 E4
4.135 E-1
9.776
1.458 E-5
3.525 E-5
15000
216.7
1.211 E4
1.948 E-1
9.761
1.422 È-5
7.300 E-4
20000
216.7
5.529 E3
8.891 E-2
9.745
1.422 E-5
1.599 E-4
30000
226.5
1.197 E3
1.841 E-2
.9.715
1.475 E-5
8.013 E-4
40000
250.4
2.87i E2
3.996 E-3
9.684
1.601 E-5
4.007 E-3
50000
270.7
7.978 El
1.027 E-3
9.654
1.704 E-5
1.659 E-2
60000
255.8
2.246 El
3.059 E-4
9.624
1.629 E-5
5.324 E-2
70000
219.7
5.520 EO
8.754 E-5
9.594
1.438 E-5
1.643 E-l
80000
180.7
1.037 EO
1.999 E-5
9.564
1.216 E-5
6.058 E-l
90000
180.7
1.644E-1
3.170 E-6
9.535
1.216 E-5
3.837 EO
Tabel 3
Fysica van Fluïda 1998-1999
G.26.
U kgmi3
1200T U mbar 1000+ 1.0
. 800-ï 0j8
Beispiel
»^k ^^W
9=0.715 kg/m3
^
$Z
♦ 20 °C
0
^600 Q 400
o-
|o,6
i3 0.4
-20 3
S
-40
200- 02
-60
O1
8          10
Höhe z
12          14
16
18 km 20
0          2          4          6
Bi ld 3.3 Nonn-Atmosphare
52
Figuur 8
3.3. Voorbeelden.
1. Bepaal de luchtdruk op 11 km hoogte, de grens van de stratosfeer.
Oplossing:
Formule (4) wordt:
gM 9,81.28,8.10'
5,23
RB 8,315.0,0065
+gM
e
\
Bz
RB
Pc=Pc
1-
W
f
0,0065.ÏLIO3^5,23 288,15
= l,0133.10f
= 0,228.105 Pa
Fysica van Fluïda 1998-1999
G.27.
2. Bepaal de luchtdruk op 15 km hoogte dus ergens in de stratosfeer. Vergelijk deze bere­kende waarde met deze op grafiek 8 en in tabel 3.
Oplossing:
Formule (5) wordt:
-gM(z-zc)
P = Pce RTc
-9581.28,8.10"3(15-11).103
= 0,228.105 e 8>315-216'7 = 0,122.105 Pa
3. Een luchtballon heeft een massa van 500 kg en heeft een volume van 700 m . Tot op welke hoogte kan deze ballon opstijgen?
Oplossing:
De ballon stijgt zo lang tot de opwaartse stuwkracht, die kan bepaald worden uit de wet van Archhnedes, in evenwicht is met het gewicht van de ballon; de ballon 'zweeft' dan 'vrij' door de lucht:
FA=G p.g.V = 500.g
500 5           kg
V 7          m
Uit tabel 3 lezen we af dat deze dichtheid bereikt wordt op ongeveer 5300 meter hoogte. Deze (benaderende) waarde lezen we ook af op grafiek 8 en zou kunnen berekend wor­den uit formule (6).
Fysica van Fluïda 1998-1999
Fysica van Fluïda
Oefeningen
Fysica van Fluïda 1998-1999
G.28.
4. Oefeningen
1.    Een kubieke meter lucht weegt 12 N onder een druk van 1013 hPa en bij een tempe­ratuur van 15 °C. Bepaal uit deze gegevens het specifiek volume van lucht in dezelfde condities.
m3 Oplossing: v = 0,818-—
kg
2.    Bepaal het aantal moleculen en het aantal mol in 1 m lucht bij 1013 hPa en 0°C. Oplossing: 44,63 mol
3.    Men meet voor een ijl gas een specifiek volume op van 0,65 m /kg onder een druk van 200 hPa en bij een temperatuur van 40°C. Bepaal de individuele gasconstante voor dit
gas evenals het moleculair gewicht ervan.
J                        N
Oplossing: R{ =41.53——: G = 1,964—-
kgK                    mol
4.    Een kubieke meter stikstof onder een druk van 340 kPa en bij een temperatuur van 40
°C wordt isotherm samengedrukt tot een volume van 0,2 m3. Hoe groot is de druk bij
het einde van deze compressie. Bepaal eveneens de elasticiteitsmodulus bij het begin
en bij het einde van de compressie.
Oplossing: p2 = 1700 kPa; El = 340 kPa; E2 = 1700 kPa
5.    In een cilindrische zuiger bevindt zich oorspronkelijk 0,120 m lucht onder een druk van 1 atmosfeer (=1013 hPa). Via een isotherme compressie wordt het volume gere­duceerd tot 0,05 m3. Bepaal de druk in deze eindtoestand.
Oplossing: p2 = 2,43 bar
6.    Een reservoir met een inhoud van 20 liter bevat 0,28 kg helium bij 27 °C. De molaire massa van helium bedraagt 4 g/mol.
a.  hoeveel mol helium bevat het reservoir?
b.  bepaal de druk in het reservoir. Oplossing: n = 70 mol; p = 87,3 bar
7.    In een cilindrische opslagtank bevindt zich 0,5 m stikstof bij 27 °C en onder een druk van 1,5 x 10 Pa. Bepaal de druk in het reservoir wanneer het volume 4 m bedraagt en de temperatuur 327 °C.
Oplossing: p2 = 3,75.104 Pa
8.    Bij het begin van de compressieslag bevat de cilinder van een dieselmotor 800 cm3
lucht onder een druk van 1013 hPa en bij een temperatuur van 27 °C. Op het einde van
de compressie werd de lucht gecomprimeerd tot een volume van 75 cm onder een
overdruk van 2,25x106 Pa. Bepaal de temperatuur op het einde van de compressie. Oplossing: T2 =380°C
Fysica van Fluïda 1998-1999
G.29.
9.    Een persoon vult bij het inademen zijn longen (inhoud 6 liter) volledig met lucht on­der een druk van 1013 hPa. Door het spannen van de buikspieren wordt het longen­volume gereduceerd tot 5,5 liter. Welke druk ontstaat hierdoor in de longen, in de ver­onderstelling dat de temperatuur van de lucht gelijk blijft.
Oplossing: p2 = L1.105 Pa
10.  De wand van een gasfles met een inhoud van 2,5 liter werd berekend om een druk van 100 atmosfeer (1 atmosfeer =1013 hPa) te kunnen weerstaan. Men vult de fles met 8 mol van een nagenoeg ideaal gas bij een temperatuur van 23 °C. Tot welke tempera­tuur mag het gas in deze fles opgewarmd worden?
Oplossing: Tmax = l 08 °C
11.  Hoeveel moleculen bevat een pint van 25 cc gevuld met zuiver water? De molaire
massa van water bedraagt 18 g/mol. Oplossing: 8,36.1024 moleculen
12.  Op een winterse dag, bij een temperatuur van 5°C en een druk van 1,03 atmosfeer (1 atmosfeer = 1013 hPa), meet men de bandenspanning van een autoband met een in-houd van 0,015 m : deze bedraagt 2 atmosfeer overdruk. Bepaal de bandenspanning na 30 minuten rijden, wanneer de temperatuur van de banden 47 °C bedraagt, waar­door het volume uitgezet is tot 0,016 m3.
Oplossing: p2 = 2,24 atm = 2,27 bar (overdruk)
13.  Schat het aantal mol, moleculen, atomen, waaruit uw professor bestaat, uitgaande van de veronderstelling dat hij:
•     90 kg weegt (een onderschatting)
•     voor het overgrote deel uit water (een overschatting) (H2O) bestaat bij 37 °C en 1 atmosfeer
•     de moleculaire massa van water 18 g/mol bedraagt
•     elke watermolecule uit drie atomen bestaat. Oplossing: 5000mol: 3.1027 moleculen; 9.1027 atomen
14.  Een fles van 1,2 liter wordt gevuld met zuurstof en afgesloten met een "waterslof', dat ervoor zorgt dat de druk in de fles gelijk blijft aan 1 atmosfeer (=1013 hPa). Men ver­warmt de fles tot een temperatuur van 400 K. Men sluit nu ook het "waterslot" af zo­dat geen zuurstof uit de fles meer kan ontsnappen. Men laat de fles afkoelen tot 27 °C.
a.    Hoe groot is de druk in de fles?
b.    hoeveel gram zuurstof bevat de fles?
De moleculaire massa van zuurstof bedraagt 32 g/mol. Oplossing: p2 = 0,75 atm = 0,76 bar; m = 1,17 g
Fysica van Fluïda 1998-1999
G.30.
15.  Het werkingsprincipe van een warme-lucht-ballon is gebaseerd op het feit dat de dichtheid van warme lucht bij eenzelfde omgevingsdruk lager is dan deze van de om­gevende koude lucht. Welke temperatuur moet de warme lucht in een ballon met een volume van 500 m hebben om een last van 250 kg (bovenop het gewicht van de warme lucht) te kunnen vervoeren in een luchtlaag waar de temperatuur 0 °C en de druk 1 atmosfeer bedraagt. De dichtheid van de omgevende koude lucht bedraagt dan
1,29 kg/m3. Oplossing: T = 174 °C
2
16.  Een experimentele ballon heeft een inhoud van 500 m . Hij wordt gevuld met water­stofonder atmosferische omstandigheden (1013 hPa).
a.  hoeveel reservoirs waterstof heeft men nodig om de ballon volledig te vullen? Men gebruikt reservoirs met een inhoud van 2,5 m , die de waterstof bewaren onder een druk van 2,5x106 Pa. We veronderstellen dat de temperatuur van de waterstof bij het overslaan niet wijzigt.
b.  hoeveel ballast (bovenop het gewicht van de hoeveelheid waterstof in de ballon) kan men met deze ballon vervoeren in de veronderstelling dat hij moet zweven in een luchtlaag, waar de temperatuur 0° C en de dichtheid van de omgevende lucht 1,29 kg/m3 bedraagt? De molaire massa van waterstof bedraagt 2,02 g/mol.
c.  hoeveel ballast kan men in dezelfde omstandigheden vervoeren indien men helium
zou gebruiken in plaats van waterstof? De molaire massa van helium bedraagt 4
g/mol. Oplossing: 8,1 reservoirs; 600 kg; 556 kg
Fysica van Fluïda 1998-1999
tc( i> * 2-1 üi
1.    Een theoretisch voorbeeldje van energie-opname en -verbruik bij eten en drinken...
a)   Op de verpakking van vanille-roomijs staat aangegeven dat de energetische waarde ervan 855 kJ per 100 g bedraagt. Wanneer het ijs gegeten wordt, komende uit de diepvries, bij een temperatuur van -18°C, wordt door het lichaam echter ook meteen energie verbruikt om het ijs op de lichaamstemperatuur van 37°C te brengen. Veronderstel de warmtecapaciteit van roomijs gelijk aan deze van water, in het volledige te beschouwen temperatuurgebied, dus 2 kJ/kgK bij temperaturen onder het vriespunt en 4.19 kJ/kgK bij temperaturen boven het vriespunt. Veronderstel een latente smeltwarmte van 348 kJ/kg. Bereken de netto energie-opname na het eten van een portie roomijs van 150 g. (oplossing: 1201 kJ)
b)    Bereken hoeveel energie door het lichaam wordt verbruikt om na het drinken van een glas water (20 cl) uit de ijskast (6°C) deze hoeveelheid water op te warmen tot de gemiddelde lichaamstemperatuur van 37°C? (oplossing: 26 kJ)
c)    Gebruik de resultaten gevonden onder a en b om te bepalen welke hoeveelheid water bij 6°C theoretisch moet gedronken worden om de netto energie-opname na het eten van 150 g roomijs te compenseren, (oplossing: 9,2 liter)
2.    Onderstel de verbrandingswarmte van stookolie gelijk aan 46000 kJ/kg, en onderstel dat hiervan in een verbrandingsketel 73% nuttig gebruikt wordt om het ketelwater te verwarmen.
a)   Als de dichtheid van stookolie 0.81 kg/liter bedraagt, hoeveel liter stookolie verbruik je op die manier om 500 liter ketelwater op te warmen van 20°C tot 75°C? (oplossing: 4,24 liter)
b)   Een andere manier om het ketelwater op te warmen zou zijn om stoom te laten condenseren en de condensatiewarmte die daarbij vrijkomt te gebruiken. Deze condensatiewarmte bedraagt 2256 kJ/kg. Hoeveel kg stoom is dan nodig, als het rendement van de warmte-overdracht in dit geval 94% bedraagt? (oplossing: 54,3 kg)
c)    Met een stookolieprijs van 16 BEF/liter, en een prijs voor stoom van 29 Euro/ton, wat is dan de voordeligste manier om het ketelwater op te warmen? (oplossing: stoom (63,56 BEF t.o.v. 67,78 BEF))
3.    Uit 5 kg nat wasgoed moet 2 kg water verdampt worden om het wasgoed te drogen. Hoeveel minuten moet het wasgoed in de droogkast draaien tot het droog is, als de droogkast een nuttig droogvermogen heeft van 1900 W? Het wasgoed wordt in de droogkast gestopt bij een temperatuur van 30°C. Gebruik de standaardwaarden voor warmtecapaciteit en verdampingswarmte van water, (oplossing: 44,7min)
4.    Over de noodzaak van koeling in elektronica: stel dat bepaalde onderdelen van een PC niet warmer mogen worden dan 90°C om nog gewaarborgd goed te kunnen werken. Stel
• dat deze onderdelen volledig uit koper bestaan (Cp> koper = 390 J/kgK), en tezamen 62 g
1- wegen, voor een gezamenlijk verbruikt vermogen van 8 W. Indien de onderdelen niet
gekoeld zouden worden en er bovendien geen warmte-uitwisseling met de omgeving kan
gebeuren, hoe lang (minuten) zou je met de PC kunnen werken totdat de kritische 90°C
bereikt wordt? (oplossing: slechts 3,48 min)
5.    Een vereenvoudigde manier om warmtecapaciteiten van stelsels te berekenen is door de warmtecapaciteit van het stelsel te beschouwen als een gewogen gemiddelde van de warmtecapaciteiten van de samenstellende componenten. Dit geeft:
Cp.stelsel = (CpjComp.1 • Tlcomp.1 + ■•• + CpComp.n ■ rncomp.n) / ( mCOmp.1 + ■■• + n"lCOmp.n)
Toegepast op de afwas:
a)   Als je de gootsteen vult met 5 liter water van 50°C, wat is de eindtemperatuur (evenwichtstemperatuur) als je in het water 10 borden plaatst? De massa van 1 bord is 110 g, neem de warmtecapaciteit ervan gelijk aan 879 J/kgK en onderstel de temperatuur van de borden initieel gelijk aan 20°C. Veronderstel hierbij het stelsel water + borden als gesloten; d.w.z. dat het water enkel afkoelt door warmte­overdracht naar de borden en niet door warmte-overdracht naar de lucht. Gebruik bovenstaande wegingformule om een totale warmtecapaciteit voor het stelsel borden + water te berekenen, (oplossing: 48,7°C)
b)   Bereken de globale warmtecapaciteit opnieuw na toevoeging van 1 liter water van 55°C aan het tot evenwicht gekomen eerste stelsel, (oplossing: 3,68 kJ/kgK)
Stromingsleer en Thermodynamica
Hydrodynamica
Fysica van Fluïda 1998-1999
De vloeistofstroming
Aanpak: Lagrange vs.            Euler
(punt)                                           (controlevolume)
Fundamentele Stromingsbegrippen:
loopbaan
stroomlijn
stroombuis
stationaire stroming
ideale stroming
1D-, 2D-, 3D-stroming
Stromingsgrootheden:
debiet (volume -, massa -, gewichts -)
stroomsnelheid
(stroomversnelling)
Stromingswetten:
Regel van Castelli - Continuïteitsvergelijking Wet van Bernoulli - Energievergelijking Impulswet - Veralgemeende wet van Neton
(Energie)verliesberekeningen
HOOFDSTUK L
De vloeis tof stroming
Kinematica en fundamentele begrippen.
I.I. INLEIDING. -,
In de klassieke mechanica van punten beschrijft de kinematica de beweging in termen van plaats, snelheid en versnelling zonder te speuren naar de oorzaken van de beweging, (de krachten) In dit hoofdstuk gaan we na op welke wijze en met welke parameters de beweging van een vloeistof, een stroming, kan beschreven worden
Een vloeistofstroming kan op twee manieren worden beschreven
- volgens de methode van Lagrange
volgens de methode van Euler.
Onderstaande tabel geeft het verschil tussen beide werkwijzen.
Ter vergelijking is ook de werkwijze, gebruikelijk in de kinematica
van de puntmassa's, in de eerste kolom opgenomen.
Kinematica van de puntmassa's
------------- -.....- ■■-—_______^—____________„«
Vloeistofstroming
Lagrange
Euler
Men bekijkt:
I stoffelijk punt
op ?£de plaatsen
- dus op een ^d tijdstip
Men bepaalt:
bv. de snelheid
van dat ene punt
- op diefde plaatsen
dus op een ^d tijd­stip
Men bekijkt:
I vloeistofdeeltje
op ?£de plaatsen
- dus op een ^d tijdstip
Men bepaalt:
bv. de snelheid
van dat ene vloei­stofdeeltje
- op die ^de plaatsen
- dus op een ^d tijdstip
Men bekijkt:
^de vloeistofdeeltjes
- op i^de plaatsen
- en op hetzelfde tijd­stip.
Men bepaalt: bv. de snelheid
van die ?£de vloei­stofdeeltjes •
- op j^de plaatsen
- maar op hetzelfde tijdstip.
D. 1. 2 .
De methode van Lagrange komt dus helemaal overeen met deze gebruikt
bij de kinematica van de stoffelijke punten.
Men kan aan elk vloeistofdeeltje op een bepaalde plaats en op een
bepaald tijdstip de karakteristieken verbinden, die nodig zijn om
de vloeistof en zijn stroming te beschrijven: bvb. plaats, snelheid,
versnelling, druk , dichtheid ...
Men volgt elk individueel vloeistofdeeltje en gaat de verandering
na van elke parameter in plaats en tijd.
De methode van Euler leidt in de fluïdomechanica tot een meer ele­gante methode voor de meeste praktische problemen. Hierbij wordt niet elk vloeistofdeeltje individueel gevolgd. Men vestigt de aandacht gelijktijdig op alle punten van een hoeveel­heid vloeistof, die op een bepaald ogenblik een bepaalde ruimte vu 11. (f i g.I)
Fig.I.
Aan elk van deze punten worden karakteristieken gekoppeld zoals druk en snelheid. Men gaat nu niet de hoeveelheid vloeistof volgen in zijn beweging; men blijft integendeel de oorspronkelijke ruimte be­kijken, waardoorheen de vloeistof stroomt. Men gaat nu na hoe de para­meters in deze ruimte veranderen in funktie van de tijd. Men maakt dus eigenlijk op een bepaald ogenblik een globale situatieschets van de stroming in een welbepaalde ruimte en men gaat na hoe de situatie in dezelfde ruimte van moment tot moment wijzigt, terwijl ze door de vloeistof doorstroomd wordt.
D.I.3.
1.2. DEFINITIES VAN DE FUNDAMENTELE STR0MI8GSBEGRIPPEN.
I.2.I. De_loopbaan.,
De loopbaan van een vloeistofdeeltje is de meetkundige plaats van
de posities welke op verschillende momenten door dit ene deeltje
worden ingenomen. We nemen van een gekleurd vloeistofdeeltje een
foto op verschillende ogenjalilcken. Dit vloeistofdeeltje bevindt
zich op de verschillende oqenblikken t_ ... t r                                           ^                         I n
op de plaats p ... p . (fig.2) De kromme hierdoor is de loopbaan van dit vloeistofdeeltje.
Fig.2.                                                                 Fig.3.
1^2.2. De stroomlijn.
De stroomlijn is de kurve waarvan de raaklijn in elk punt de richting heeft: van de ogenblikkelijke snelheidsvector in dit punt. De stroomlijnen zijn dus raakkrommen aan de snelheidsvectoren op een gegeven ogenblik.
In figuur 3 wordt een stroomlijn voorgesteld. Op een bepaald ogen­blik is de snelheid
-van het eerste vloeistofdeeltje dat zich bevindt in
toestand I: v . -van het tweede vloeistofdeeltje dat zich bevindt in
toestand 2: v^. -enz.
Opmerking.
Het begrip loopbaan verwijst in feite naar de aanpak van Lagrange,
waarbij een punt in de tijd wordt gevolgd doorheen de ruimte.
Het begrip stroomlijn daarentegen verwijst naar de aanpak van Euler:
men legt op een bepaald ogenblik de karakteristieken van een stelsel
van punten vast.
D.I.4.
I.2.3._De stroombuis^
Stroomlijnen kunnen elkaar niet snijden, vermits in het snijpunt
geen twee verschillende snelheden kunnen optreden.
Een stroming kan dus op elk ogenblik beschreven worden door een
bundel van stroomlijnen die elkaar niet snijden.
De omhullende van zulke bundel noemt men een stroombuis.
Het is een wiskundig theoretisch begrip. Indien de vloeistof
echter door een leiding stroomt dan vormt de wand een stroombuis
en dan heeft het begrip ook een echte fysische betekenis.
1.2.4. Stationaire_stroming.__
~lndien.de snelheid, gekoppeld aan vaste punten in de ruimte (Euler) niet wijzigt in functie van de tijd noemt men de stroming stationair
of permanent.
- Eenparig stationair^ de snelheid is bovendien gelijk op ver­schillende plaatsen, bv. bij de stroming doorheen een leiding met een konstante diameter waardoorheen een konstant debiet gaat. (fig.4) We nemen aan dat in een dwarsdoorsnede van zulke buis alle deeltjes dezelfde snelheid hebben.(ideale vloeistof) Wanneer de stroming stationair is dan verandert deze niet inde tijd. Ze is bovendien in alle doorsneden dezelfde: vIm=v2m=lc te
t
+
-*»
y1m       j----%
-1m                I---*2m
Fi>g.4.                                                    Fig.5.
— Niet eenparig stationair, (fig.5)
ëë"nëïhëden zIjn"nü"wëriconstant in de tijd, maar zijn verschil-
lend in verschillende doorsneden.
v = konstant lm
v = konstant                       vIm f v2m
Bij de Stationaire stroming blijft het beeld van de stroming steeds hetzelfde hoewel er zich steeds andere vloeistof in de ruimte bevindt de stroming wordt beschreven door steeds dezelfde bundel van stroom-lijnen. Alleen in dit geval zal een vloeistofdeeltje, dat zich op een bepaalde stroomlijn bevindt, deze stroomlijn blijven volgen.
De stroomlijn is dus ook de stroombaan van alle deeltjes die langs-
heen die stroomlijn stromen.
D.I.5.
Is de stroming niet stationair dan wijzigt het beeld van de stroming in een bepaalde ruimte ook voortdurend, terwijl er ook steeds andere vloeistof door de ruimte stroomt.
Figuur 6 stelt een niet-stationaire stroming voor; het beeld van de stroomlijnen verandert in de tijd.
-<D
Fig.6.
I 2
© ©
geeft de plaats van   het massadeeltje op het tijdstip t
geeft de plaats van   het massadeeltje op tijdstip t + At
geeft de stroomlijn   op tijdstip t
geeft de stroomlijn   op tijdstip t + At
geeft de str^oombaan   dat door het deeltje gevolgd wordt.
We zien duidelijk dat bij een niet-stationaire stroming de stroom-baan verschilt van de stroomlijnen, die wel steeds rakend zijn aan de stroombaan en dus in de tijd van vorm wijzigen. In deze tekst wordt enkel de stationaire stroming behandeld.
D.I.6.
1.2.5. Ideale vloeistofstroming.
Op bladzijde E.2. hebben we een ideale vloeistof gedefinieerd. Geven we aan deze vloeistof een stationaire stroming dan verkrijgen we een ideale vloeistofstroming.
Omwille van de wervelingen die meestal optreden bij het stromen van een vloeistof door de leiding, zal een reële stroming waar­schijnlijk niet stationair zijn.
Er is echter wel een duidelijk onderscheid te maken tussen de stroming van een vloeistof in de persleiding van een centrifugaal-pomp en in deze van een zuigerpomp zonder perswindketel.
a. In de persleiding van een centrifugaalpomp is het debiet kon-stant en dus ook de gemiddelde snelheid in een bepaalde door­snede. Deze stroming kan benaderd worden beschouwd als een stationaire stroming.
b. In de persleiding van een zuigerpomp is er wel een debiet en een snelheid tijdens de persslag; tijdens de zuigslag is de snelheid er gelijk aan nul.
Er is hier dus een grote snelheidsvariarie; de stroming kan
niet meer als stationair worden beschouwd. In deze tekst wordt enkel de stationaire stroming behandeld. In aanvang behandelen we bovendien, enkel de stroming van ideale vloeistoffen zonder weerstanden om de fundamentele wetten te situeren.
De resultaten uit zulke theoretische modelstudie zullen echter . niet helemaal met de werkelijkheid overeenstemmen. Voor de stroming van reële fluïda met weerstanden moeten de basiswetten aangepast worden met proefondervindelijk bepaalde correktiefactoren.
D.I.7 .
1.2,6. Eén-, twee- en driedimensionele stromingen.
Men spreekt van een drie-dimensionele stroming indien de veranderin van de snelheid moet bestudeerd worden
- langsheen de stroomlijnen
- en in twee richtingen dwars op de stroomlijnen.
Een volledig beeld van de stroomlijnen is slechts weef' te geven
in een ruimtelijke voorstelling of door twee voorstellingen in twee
verschillende vlakken.
Beschouwen we de overlaat van figuur 7.
Fig. 8. geeft de contractie van de stroomlijnen in het vertikale vl.
Fig.9. geeft de contractie van de stroomlijnen in het horizontale
vl ak.
Fig.7.
Fig.8
Fig.9.
D.I.8.
Men spreekt van een twee-dimensionele stroming indien de verandering van de snelheid moet bestudeerd worden
- langsheen de stroomlijn
- en in één richting dwars op de stroomlijnen.
Het beeld van de stroomlijnen kan nu voorgesteld worden in een
vlak.
Is de breedte van de drempel van de overlaat gelijk aan de totale
breedte van het kanaal (fig.IO) dan wordt'de zijdelingse contractie
uitgeschakeld. Het verloop van de stroomlijnen wordt weergegeven
door figuur II.
»ii»
Men spreekt van een één-dimensionele stroming indien de stroming enkel moet bestudeerd wprden langsheen de stroomlijnen. Dit impli­ceert dat in alle punten van een doorsnede dwars op de stroomlijnen dezelfde parameters gelden.
Over het algemeen is dit niet het geval. De stroming in buizen kan echter goed bestudeerd worden met behulp van het één-dimensionele model.
Als grootheden neemt men dan de gemiddelde waarden van de para­meters over de dwarsdoorsnede.
. D.I.9. 1.2.7. Het controle-volume.
In de mechanica van de vaste stof bekijkt men een zekere hoeveelheid materie op verschillende ogenblikken.
In figuur 12 worden 2 massa's A en B bekeken op twee verschillende ogenblikken.
A1              A2
r~
i______i
B:
Fig.I2
I"!
\B0 i____\ 2
In de fluïdomechranica zou Lagrange precies hetzelfde doen. Hij zou een aantal vloeistofdeeltjes volgen in hun stroming. Figuur 12 toont dezelfde vloeistofdeeltjes op 2 verschillende ogen­blikken.
1 2
rr--r i >? i l_f_J
i_____i
Fig.I3.
Fig.I4.
Volgens de werkwijze van Euler beschouwen we een controle-volume. Het is een bepaald volume vast in de ruimte. In figuur 14 nemen we als controle-volume bv. het volume begrepen tussen de twee normaaldoor-sneden I en 2. Doorheen de controle-oppervlakken I en 2 kan vloei­stof in- of uitstromen.
Het controle-volume kan gelijk welke vorm hebben maar verandert niet in grootte of vorm in functie van de tijd.
Bij stroming zal zich steeds andere vloeistof in dit controle volume vinden.
D.I.IO. 1.2.8. Het_de5iet.
Onder debiet verstaan we de hoeveelheid vloeistof die per tijdseen.-heid door een normaaldoorsnede stroomt.
We spreken over:
3
- het_volume-debiet als de hoeveelheid vloeistof in m wordt
uitgedrukt Symbool : Q _ Dimensies [Qj= ----
Q = Av
A = oppervlakte
v =. de normaalkomponente van de snelheid in de doorsnede
- het_massadebiet als de hoeveelheid vloeistof in kg wordt uitge­drukt.
Symbool : m Dimensies: [m] = kg/s.
- het gewichtsdebiet als de hoeveelheid vloeistof in N wordt uit­gedrukt.
Symbool : <5
Dimensies : [<3j = N/s Ö = gm = gpp = gpAv
D.I.II.
1.2.9. De stroomsnelheid en de stroomversnelling.
De stroomsnelheid is in alle punten van een dwarsdoorsnede niet overal even groot.
Bestuderen we de stroming echter als één-dimensionaal dan verstaan we onder de stroomsnelheid de gemiddelde snelheid in die doorsnede.
Q
V = V = —r—
m A Q = het debiet
A = het oppervlak van de normaaldoorsnede. Bij een stationaire stroming zijn Q en v konstant over de tijd in een bepaalde doorsnede.
Voor de versnelling verwijzen we naar de kinematica van de stoffe­lijke punten.
De versnelling in een bepaald punt van een stroomlijn kan opge­splitst worden in twee komponenten: — tangentieel, rakend aan de stroomlijn
dv dv ds dv
't dt ds dt ds -^ normaal, loodrecht op de stroomlijn 2
a
n p . "* p = de kromtestraal van de stroomlijn.
D.I.I2.
1.3. DE CONTINUÏTEITSVERGELIJKING. DE REGEL VAN CASTELLI.
In een controlevolume kan geen massa gecreëerd worden. De massa die er per tijdseenheid binnenstroomt moet er ook weer uitstromen. Indien er slechts 2 oppervlakken zijn waarlangs er massa kan passere dan volgt uit het voorgaande dat
dm.
dm.
dt dt
of iTi ss m_
PlVin " P2A2V2n
vT en v~. stelt de qemiddelde snelheidskomponente voor lood-In 2n                      ^
recht op het instroom-, respektievelijk het uitstroomvlak. In de meeste gevallen zullen we deze oppervlakken zo kiezen dat ze loodrecht staan op de werkelijke gemiddelde snelheid v , respektie-velijk v (fig.I5), zodat:
PIAIVI ■ P2A2V2
-"•»
~v2
Fig.15.
Beschouwen we nu in het controlevolume alle opeenvolgende door-stromingsoppervlakken loodrecht op de stroming, dan kunnen we het bovenstaande veralgemenen tot de regel van Castellit
dm
= pAv = kte
m ss
dt
doorheen opeenvolgende doorstromingsoppervlakken stroomt vloei' stof aan een konstant massadebiet.
D.I.I3.
Andere vormen van de continuïteitsvergelijking
I. mg = mg
Het gewichtsdebiet is konstant.
2. Indien p =p = konstant
VIAI = V2A2
Het volumedebiet is konstant.
of
Bij een stationaire stroming zijn de snelheden in de normaal-doorsnede omgekeerd evenredig met de oppervlakten van deze doorsneden.
Speciaal geval: zijn de normaaldoorsneden cirkelvormig met respectievelijk diameters d en d dan geldt:.
%d'
— v_
lid'
De snelheden zijn dus omgekeerd evenredig met het kwadraat van de diameters.
.D.I.I4.
1.4. TOEPASSINGEN.
I. Door de convergent van fig. 16 stroomt 3kN water per seconde bij een temperatuur van 20°C. Bepaal: I. het volumedebiet
2. de snelheid van het water voor en na de convergent.
Oplossing.
I. Ö = pgAv Q = Av
Dus Q =
300mm
200 mm
P9
p = 998,2 kg/m (pag.E.13)
Q =
3.10'
= 0,306m /s
Fig.16.
998,2.9,81
2. v =
Q
o 0,306
= 4,33 m/s
A.
7ü (0,3)
V2 =
Q
_ 0,306.4
= 9,74 m/s
te (0,2)
ofwel v = v (
) = 4,33 (
300 200
) = 9,74 m/s
2. Een leiding met een diameter van 300mm splitst in twee leidingen met respectievelijke diameter van 150 mm en 200 mm. (fig.17)
Q = 0,3m /s
v = 2,5 m/s
Bepaal Q en v
Oplossing^
QI ■ VQ3 Qj. =0,3 m3/s
J
300
^3=2,5%
Q.
A v . *<0.2> 3 3 4
Fig.17
. 2,5=0,0785 m /s
0,3-0,0785 = 0,2215 m /s
v^, =
CU
0,2215.4 xo c- , •—z-------r— = 12,53 m/s.
A,
7. (0,15)
D.I.I5.
3. In de dwarsdoorsnede van een cilindrische leiding met straal R
heeft het snelheidsprofiel een parabolische vorm.
Bereken de gemiddelde snelheid v in functie van de maximale
m
snelheid vc in het centrum van de leiding (fig.I8) Oplossing.
Ie methode.
v =
m
I
A vdA J A
A
V = V (I-
c
R
dA = 27ir dr
TCR I
2
A
R                     2
m
) 2 Ter dr
TCR'
I
0
R 2tc
R
Fig.18.
v (tïR -c
4
v
m
)
TCR'
R'
v = v
m c
TCR'
TCR
Vm 2^
2e methode.
I
ƒ V dA
v =
m
A
De integraal ƒ v dA is niets anders dan de inhoud van de
A snelheidsparaboloïde.
De inhoud van een parabololde is gelijk aan de helft van de
inhoud van de omschreven cilinder.
Av
ƒ v dA = A
of V
m
HOOFDSTUK 2.
De wet van Bernoulli. De energiewet.
Inleiding»
Om een goed inzicht te krijgen in de basiswetten voor stromingen
bestuderen we eerst de ideale stroming. Het is, zoals hoger reeds
vermeld, een stationaire stroming van een ideale vloeistof zonder
cohesie, adhesie, inwendige wrijving en onsamendrukbaar.
Dit betekent dat de stroming geen weerstand ondervindt, dat er geen
wrijving optreedt- noch inwendig noch aan de wanden- en dat er dus
geen rekening moet gehouden worden met wrijvingsverliezen.
Bovendien bestuderen we enkel de één-dimensionele stroming.
Hoewel in vele toepassingen de resultaten van zulk geïdealiseerd
model slecht overeenkomen met de realiteit is het toch nuttig deze
studie te maken om de betekenis van de verschillende wetten en van
de verschillende termen in deze wetten nader te verklaren.
Bij de studie van de reële stroming wordt trouwens eveneens van
deze wetten uitgegaan.
D.2.2. HOOFDSTUK II.
De wet van Bernoulli.
2.1. De wet van Bernoulli. De wet van Lagrange.                          D.2.3. 2.T.I. Geldigheidsgebied van beide wetten.                                D.2.3.
2.1.2. Onderscheid tussen Bernoulli en Lagrange.                    D.2.7.
2.1.3. Veralgemening van de wet van Bernoulli.                        D.2.8.
2.1.4. Verschillende vormen van de wet van Bernoulli.         D.2.9.
2.2. Statische druk, dynamische druk, totale druk.                    D.2.I0.
2.3. Voorstelling van de wet van Bernoulli.                                  D.2.I6.
2.4. Omzetten van dynamische druk in statische en omger
keerd.                                                                                                     D.2.I8.
2.5. Veralgemeende wet van Bernoulli.                                               D.2.23.
2.5.1. De veralgemeende wet.                                                             D.2.23.
2.5.2. De opvoerhoogte en het vermogen van een centrifu-gaalpomp.                                                                                       D.2.24.
2.6. Praktische werkwijze.                                                                      D.2.26.
D.2.3.
2.1. DE WET VAN BERNOULLI. DE WET VAN LAGRANGE.
2.I.I. Geldigheidsgebied van beide wetten.
Voor de volledige theoretische afleiding van deze beide wetten ver­wijzen we naar gespecialiseerde literatuur.
We beperken ons tot het aangeven van de manier waarop deze wetten tot stand zijn gekomen.
De bewegingsvergelijkingen van Euler. (1707-1783)
Euler beschouwt een elementair volume vloeistof waarop hij de wet
van Newton (1642-1727) toepast.
Z? = ma Hij veronderstelt hierbij dat de krachten op de zijwanden loodrecht staan op. deze wanden. Hij veronderstelt met andere woorden een ideale vloeistof.
Deze vergelijking wordt geprojecteerd óp de drie assen van een vast assenstelsel waardoor drie bewegingsvergelijkingen ontstaan.
De bewegingsvergelijkingen van Lagrange. (I736-I8I3) De drie bewegingsvergelijkingen van Euler worden door Lagrange vereenvoudigd. Daarbij maakt Lagrange de volgende veronderstel­lingen:
- de zwaartekracht is de enige massakracht
in een bepaald punt veranderen de drie komponenten van de snelheidsvector niet in functie van de tijd.
Hij veronderstelt dus een stati1onaire_stroming.
- Hij veronderstelt een stroming zonder wervelingen, die men een irrotationele stroming noemt. Met deze drie veronderstellingen herleiden de drie bewegingsverge­lijkingen van Euler zich driemaal tot dezelfde gedaante, die dan in geïntegreerde vorm kunnen geschreven worden als:
h +
2g
= konstant
pg
De som van deze drie termen heeft dus dezelfde waarde in alle punten van een ideale vloeistof in stationaire irrotationele be« weging die als enige massakracht de zwaartekracht ondervindt.
D.2.4. De wet X^2-B-r122!£lli# (i700-I782)
Hij gaat terug uit van de bewegingsvergelijking van Euler. In plaats van deze te projecteren op een vast assenstelsel, pro­jecteert hij deze vergelijking op een assenstelsel dat voor het eerst is ingevoerd door Huygens. (1629-1695). Dit assenstelsel is als volgt gekozen:
de Ie as is raaklijnig aan de stroomlijn
- de 2e as gaat door het kromtemiddelpunt van de stroomlijn
de 3e as staat loodrecht op het vlak gevormd door beide voor­gaande.
Ter vereenvoudiging van het stelsel veronderstelt Bernoulli dat in een bepaald punt de.drie komponenten van de snelheidsvector niet veranderen in functie van de tijd. Hij veronderstelt dus alleen maar een stationaire stroming.
Zo bekomt hij drie vergelijkingen van verschillende vorm. We zoeken nu, net als Bernoulli, enkel de projectie van de alge­mene bewegingsvergelijking in de richting rakend aan de stroomlijn. Hiertoe beschouwen we in figuur I een infinitesimaal klein cilin-dervormig controlevolume (Euler) gelegen langsheen de stroomlijn.
Fig.I.
Voor de hoeveelheid vloeistof, die op het beschouwde ogenblik
door dit controlevolume stroomt, stellen we de wet van Newton voor.
Er werken volgende krachten:
- vanwege de druk: 2oals bij Euler wordt, verondersteld dat de krachten loodrecht op de zijwanden staan (ideale vloeistof­stroming). We hebben dus geen krachten in de richting van de zijwanden.
D.2.5. Op de beide eindvlakljes van de cilinder werken de krachten:
pdA op het voorvlakje
(p+dp)dA op het achtervlakje beiden in de richting van de stroming maar in tegengestelde zin.
- het gewicht, vertikaal
dG = g dm Het vloeistofvolume volgt een kromlijnige
stroombaan en krijgt dus een versnelling met een tangentiële en een normale komponente. We stellen op het rechtergedeelte van de tekening de overeenkomstige vectoren voor:
-dm a in de richting rakend aan de stroomlijn
- dm a in de richtinq loodrecht erop.
n                                ^                                r
We kiezen het assenstelsel van Huygens:
- de x-as kiezen we raaklijnig aan de stroomlijn en positief in de zin van de stroming.
- de y-as kiezen we in de richting en zin van het kromtemiddelpunt van de stroomlijn.
- de z-as kiezen we loodrecht op het vlak van de tekening. We schrijven nu de wet van Newton, enkel in de x-richtingi
pdA-(p+dp)dA - dG sinoc = dm a.
Deze bewegingsvergelijking werken we verder uit.
»„ x. j juj                         dv dv ds dv
Met dm ss pdAds en a, = —tt— = —-:----n~~ = v —-:—
K t dt ds dt ds
dv
-dpdA - gpdAdssina = pdAds v —-:—
2 -dp - gpdssina= pd( —-— )
Met dssina = dn                     (fig.I.)
-dp - gpdh - pd( ——— )= O
Indien nu p = konstant (onsamendrukbare vloeistof)
_ '"? ... -d(p + pgh +■ p —-— ) ss O
2 ■
of d(h + -2— + -^— ) = o pg.           2g
D.2.6.
Deze vergelijking stelt dus het dynamisch evenwicht voor van elk punt van de onsamendrukbare vloeistof langsheen een stroomlijn van een stationaire ideale vloeistofstroming.
Deze vergelijking kan nu in geïntegreerde vorm geschreven worden als de wet van Bernoulli, nl.
h +
v
= H = kte
2g
pg
De vergelijking van Bernoulli drukt uit dat in een ideale vloeistof in een stationaire beweging de som van deze drie termen konstant is langs een gegeven stroomlijn.
We noemen:
h: de liggingshoogte; het is een maat voor de potentiële energie.
pg
: de drukhoogte; het is een maat voor de drukenergie.
v
— : de snelheidshoogte; het is een maat voor de kinetische energie.
2g
H: de totale eriergiehoogte in het punt
D.2.7.
2.1.2. Onderscheid tussen de vergelijking_van Bernoulli en de ver­gelijking van Lagrange.
Alhoewel beide vergelijkingen dezelfde vorm vertonen hebben ze nochtans niet dezelfde betekenis.
De vergelijking van Lagrange is enkel geldig voor een irrotationele beweging; de som van de drie termen is konstant in alle punten van de bewegende vloeistof.
De vergelijking van Bernoulli is ook geldig voor een stroming met wervelingen; de som van de drie termen is alleen maar konstant in alle punten van dezelfde stroomlijn.
De vergelijking van Bernoulli is dus tegelijk ruimer en tegelijk meer beperkt dan de vergelijking van Lagrange.
- ruimer aangezien ze geldt voor een willekeurige stationaire stroming en niet alleen voor een irrotationele stationaire be­weging.
- meer beperkt omdat de som van de drie termen enkel konstant blijft voor punten op dezelfde stroomlijn. Voor twee punten niet pp dezelfde stroomlijn gelegen kan deze som verschillende waarden vertonen. D\i t zal namelijk het geval zijn wanneer de beweging rotationeel is. Is de beweging daarentegen irrotationeel zo valt men terug op Lagrange en heeft de som een zelfde waarde in alle punten van de vloeistof.
D.2.8.
2.1.3._Veralgemening van de wet van Bernoulli.
We beschouwen twee punten a en b gelegen in dezelfde normaaldoor-snede van een leiding, (fig.2)
Fig.2.
Fig.3.
^a
pg
pa
pg
pa
pg
Pk
+ h
+ h. - h b a
pg
•+ h
pg a
PS
Indien v = v , zoals bij de ideale vloeistofstroming, geldt ook:
a b                                          2
P                               V                    Pt_                             VK
^a - . __a ^b , b
------■ + h +-----— = ------ + h, + —r-----
pg a 2g pg b 2g
De wet van Bernoulli zou nu ook mogen toegepast worden voor twee
punten van eenzelfde normaaldoorsnede.
Bij een reële stroming is de snelheid n£>et konstant over de ganse
doorsnede.
v
V,
I
—--en —-— niet gelijk en mogen ze er
zo maar niet aan toegevoegd worden zoals we daarjuist hebben gedaan, In dat geval werken we met de gemiddelde snelheid,die we konstant veronderstellen in de ganse doorsnede,en passen we de wet van Bernoulli toe (fig.3)
voor punten a, b ... in een normaaldoorsnede
voor punten I, 2 ... langsheen een stroomlijn en dus ook voor de twee punten b en 2.
Veralgemeend passen we dan de wet van Bernoulli toe in alle punten van de bewegende vloeistof.
D.2.9. 2.1.4. Verschillende vormen van de wet van Bernoulli.
We geven hier enkel de verschillende vormen aan. In de volgende paragraaf gaan we dieper in op de betekenis. a._Als__hoog te ver gel ijking.
_R- . _vL + h = H
pg 2g Elke term in deze vergelijking wordt uitgedrukt in meter.
Men kan dus zeggen dat bij een stationaire stroming van een ideale vloeistof in elk punt de som van de druklgoogte, de snel­heidshoogte en de liggingshoogte een konstante is. b._Als drukvergelijking.
2
pv . p + v ^ ■ + p gh = p gH •
Elke term wordt nu uitgedrukt in Pascal.
Men kan zeggen: de totale druk in een punt van een stationair stromende ideale vloeistof = de som van de hydraulische druk, de dynamische druk en de hydrostatische druk. c. Als energievergelijking.
2
m " + m —-— + mgh = m Hg.
Alle termen worden nu uitgedrukt in Joule.
Voor een stationair stromende ideale vloeistof is de totale
energie = de som van de drukenergie (m P = E,), de kinetische
energie (m —— = E, ) en de potentiële energie (mgh = E ) . -----— 2 k---------------—                   p
De som van deze drie termen is gelijk aan een konstante. Daarom
wordt de wet van Bernoulli ook de energiewet voor de stroming
genoemd.
De laatste vergelijking kan ook geschreven worden als 2
P V                uu
-£- + —— + gh = Hg Elke term stelt nu een energie voor die per eenheid van massa ■in de ^stromende vloeistof aanwezig is.
De energie in de vloeistof aanwezig verschijnt hier onder drie vormen. De som is steeds konstant maar elk van de drie vormen kan tijdens de stroming steeds omgezet worden in de twee andere •vormen zonder dat energie toegevoegd of afgevoerd wordt. Bij een reële stroming zal dat dikwijls het geval zijn.
D.2.I0. 2.2. STATISCHE DRUK, DYNAMISCHE DRUK, TOTALE DRUK.
Figuur 4 stelt een piëzometer voor. De instroomopening is even­wijdig aan de stromingsrich'ting van de vloeistof.
Het niveauverschil in de U-buis wordt niet beïnvloed door de snel heid van de vloeistof. We meten dus een statische druk. Indien we een overdruk hebben in de leiding zal het peil in het linker been het laagst staan.
Piëzometer
v,
Jp'f-
Fig.4.                                                                Fig.5.
Ook in figuur 5 wordt een statische druk gemeten.
De U-buis is echter vervangen door een vertikaal buisje waarin de stromende vloeistof zelf kan opstijgen.
Heerst er in de leiding een statische overdruk p dan zal de vloei stof opstijgen tot op een hoogte h .
Is ée spervloeistof in de U-buis kwik dan gelden volgende betrek­kingen:
p = h' mm KK =133,32 h' Pa (Pag.S.7.)
pz = pghI Pa
133,32 hj. = pghx
Eenheden: h' : mm
h.
m
p : kg/m'
, 2 g : m/s
■D.2.II. Figuur 6 stelt de Prandtl-buis voor. De instroomopening staat lood­recht op de stromingsrichting van de vloeistof. Het niveauverschil in de U-buis wordt nu beïnvloed door
- de statische druk in de leiding
- de snelheid van de vloeistof.
De gemeten druk noemen we nu de totale druk.
>
.
.
1
{
h3
r
v
,---------—*» —1
__1
-4
Prandtl- buis
Fig.6.
Fig.7.
Ook in figuur 7 wordt de totale druk gemeten.
Voor dezelfde statische druk p zal de vloeistof nu opstijgen over
een hoogte h 7> h .'
Met kwik als spervloeistof gelden volgende betrekkingen
pL L = h' mm KK = 133,32 h! Pa ^tot 3                         ■ ' 3
Ptot = pqh3 Pa 133,32 h' = pg h
Eenheden: h'
mm
m
P
g
kg/m' m/s
D.2.I2. Het niveauverschil h op figuur 6 is het gevolg van de snelheid van de vloeistof.
Dit kan ook gemeten worden bij middel van een Pitot-buis (fig.8) De druk op het linker been van de U-buis wordt bepaald door
- de statische druk in de leiding
- de vloeistofsnelheid.
De druk op het rechterbeen van de U-buis wordt enkel bepaald door de statische druk in de leiding.
Pito t-buis
Fig.8
h2
Het niveauverschil in de U-buis is dus enkel het gevolg van de snel­heid van de vloeistof. Het drukverschil over de U-buis noemen we de "dynamische" druk.
Fdyn
pdyn
= h' mm KK = 133,32 h» Pa = pgh2 Pa
133,32 h£ = pgh2
Proefondervindelijk zou men kunnen zeggen dat h0 = —-—
o<fi dat de
J                                                                 2 2g
hoogte h overeenkomt met de snelheidshoogte in de wet van
Bernoulli.
v
133,32 h» = pgh = pg
2g
= p
Eenheden: h'
mm
m kg/m' m/s m/s
P
9 v
D.2.I3.
Opmerkingen.
I. Figuur 9 geeft de kombinatie van deze drie meters
Fig.9.
Prandtl P/tot
Piëzome ter
In de piëzometer meet men de statische druk. In de Prandtl-buis meet men de totale druk. In de Pitot-buis meet men de dynamische druk.
2. Sluit men een klassieke manometer aan op een leiding dan is de instroming evenwijdig met de stroming en meet men dus de statische druk.
Wanneer men dus spreekt over "de druk" zonder meer, dan bedoelt men de statische druk.
Een logisch gevolg is dat een manometer niet in een bocht mag ge­plaatst worden omdat dan een komponent van de dynamische druk mee gemeten wordt.
D.2.I4.
Toepassing«_
3 Door de leiding van Figuur 10 stroomt lucht. p=D,2 kg/m .
De spervloeistof is water.
a. In welk been van de Pitot-buis staat het peil het laagst?
In het linkerbeen:
- links staat de totale druk
- rechts staat de statische druk
Lucht
Pi tof
Piëzometer
Prandfl
Fig.IO.
b. Wat is de luchtsnelheid als het niveauverschil in de Pitot-buis
24 mm bedraagt?
2
pdyn - Pl
= 24 mm WK = 24.9,81 Pa
2 v =
2p
dyn = 2.24.9,81
Px ■" ■ 1,2
c .
v=I9,8 m/s
In welk been van de piëzometer staat het peil het laagst?
In het linkerbeen als er in de leiding een overdruk heerst.
In het rechterbeen als er in de leiding een onderdruk heerst.
Stel dat in de piëzometer in het linkerbeen het waterpeil 40 mm
lager staat dan in het rechterbeen (fig.7) Wat is de totale druk?
d.
Pitotbuis : p
dyn
= 24 mm WK
P
st ptot = Pdyn + Pst
= 40 mm WK overdruk
= 64 mm WK overdruk.
D.2.I5.
e. Stel dat in de piëzometer in het linkerbeen het waterpeil 40 mm !22cje£ staat dan in het rechterbeen. (fig.II) Wat is dan de totale druk?
Lucht
Pi tot
Piëzometer
Prandtl
^o
Fig.II.
Pitotbuis: p, = 24 mm WK
rdyn
Piëzometer: p , ="40 mm WK onderdruk
p, . = p , + p , = -40+24=-l6mm WK (onderdruk) tot st <dyn
D.2.I6.
2.3, VOORSTELLING VAN DE WET VAN BERNOULLI.
Beschouwen we een willekeurige leiding. (fig.I2)
In drie doorsneden plaatst men een piëzometer en een Prandtl-buis. We nemen ook een horizontaal referentievlak a.
In zulke opstelling zou men konstateren dat, indien er geen weer­standen optreden, in elke Prandtl-buis het niveau even hoog komt
te
2                                       2
Pl * Vl          h          P2            V2
hi ♦ — * -5T ■ h2+ — * ~
( Bernoulli)
Theoretische ladings\lijn
Piézom lijn
3 29
efrische
J3_ 99
Geometrische
lijn
•a
Fig.I2
D.2.I7.
Verbinden we nu ook de punten van overeenkomstige hoogtes in elk van de doorsneden, dan ontstaan drie lijnen.
de geometrische lijn;
deze verbindt de zwaartepunten van elke doorsnede; ze geeft in feite de ligging aan van de leiding en bepaalt de liggingshoogte in elke doorsnede.
de piëzometrische lijn:
deze verbindt de niveaus èn elke piëzometer; deze lijn geeft t.o.v. het referentievlak de evolutie van de som van de statische druk-hoogte en de liggingshoogte in de leiding.
Gemeten t.o.v. de geometrische lijn leest men de statische druk-hoogte af.
de_theoretische ladingslijn of theoretische energielijn: deze verbindt de niveaus die optreden in de Prandtl-buizen. T.o.v. het referentievlak geeft deze horizontale ée totale hoogte; t.o.v. de piëzometrische lijn geeft ze de snelheidshoogte.
In paragraaf 3.2.3. zagen we dat de wet van Bernoulli ook kan ge­schreven worden als een energievergelijking.
Zonder energieverlies of energiewinst stelt deze horizontale even­eens de totale energie voor in de stromende vloeistof aanwezig. Omdat er bij een reële stroming altijd energieverlies zal zijn, spreken we slechts over de theoretische energielijn.
D.2.I8.
^^^^OMZETTEN^VAN^DYNAMISCHE_DRUK_IN STATISCHE_EN_OMGEKEERD.
Door de horizontale leiding van figuur 13 stroomt vloeistof van links naar rechts. De leiding vernauwt zodat de snelheid toeneemt van v tot v .
We meten de statische en de totale drukhoogte in twee doorsneden I en 2.
1
--------
-z
1
A
29
1
t
V
.
99
2
'
^2
Fig.I3
De dynamische drukhoogte is toegenomen (v^ >v ), terwijl men kan konstateren oVat de totale drukhoogte konstant blijft, wat in over­eenstemming is met de wet van Bernoulli.
Dit betekent dat de statische drukhoogte, gemeten in de piëzometer, in doorsnede 2 moet afgenomen zijn. t.o.v. deze in doorsnede I.
P-
dP2
pg 2g pg 2g Dit betekent dus dat de druk verlaagt als de snelheid verhoogt of omgekeerd dat de druk verhoogt als de snelheid verlaagt. Indien we dus de statische druk in.de vloeistof willen verlagen volstaat het de vloeistof doorheen een konvergerende leiding te sturen.
Anderzijds kunnen we de snelheid doen afnemen en de druk doen stijgen door de vloeistof door een divergerend kanaal te sturen. Toepassingen van dit principe vinden we o.a. in
de waterstraal pomp
de centrifugaalpomp
de Venturibuis.
D.2.I9.
a. De_^-i:r!£si:£rialpomp. (fig-I4)
Een waterstraalpomp bestaat in hoofdzaak uit een konvergerende
straalpijp verbonden aan een waterleiding.
Ter hoogte van de konvergent is de zuigleiding aangesloten die
leidt tot in de ruimte R waarin men een vacuüm wil bekomen.
In de konvergent stijgt de vloeistofsnelheid en daalt de druk.
De konvergent moet zo berekend worden dat de einddruk lager is
dan de gewenste einddruk in het reservoir.
In de konvergent zitten meestal torsieschoepen zodat het water
een beweging krijgt die het meevoeren van lucht bevordert.
De druk van het mengsel water en lucht wordt in de divergent
terug verhoogd tot de atmosferische druk.
Fig.I4.
D.2.20. b. De centrifugaalpomp. (fig.I5)
Een centrifugaalpomp bestaat in'hoofdzaak uit een waaier die aan het roteren wordt gebracht door een motor. Door eentrifugaal-kracht worden de vloeistofdeeltjes versneld en komen uit de waaier met een snelheid van bv. I2m/s.
Om de vloeistof op te vangen en te geleiden naar de persleiding is rond de waaier een slakkenhuis of koliektor gemonteerd.
Fiq.15.
Deze heeft een dubbel doel.
I. Het steeds toenemend debiet verwerken.
Door sectie 2 moet % van het totale debiet.
Door sectie 3 moet 2/4 van het totale debiet.
Door sectie 4 moet 3/4 van het totale debiet.
Door sectie 5 moet 4/4 van het totale debiet.
Indien dit het enige doel was zou
A3 - 2A2
A4 * 3A2
A5 = 4A2
2. De dynamische druk, overeenkomstig met 12 m/s, omzetten in statische druk.
De opeenvolgende secties nemen veel meer toe zodat de snelheid in de koliektor afneemt tot bv. 2m/s. De statische drukverhoging vindt dus plaats in de koliektor door het doen afnemen van de snelheid.
Op het slakkenhuis volgt nog een divergent (van 5 naar 6). Het doel ervan is de vloeistof die uit de waaier vliegt tussen de doorsneden 4 en 5 ook een snelheidsvermindering te geven van 12 m/s tot 2m/s.en zodoende ook de druk te verhogen.
D.2.2I. c. De Venturibuis^ (fig.16)
De venturibuis wordt gebruikt om het debiet in een leiding te meten. Zij wordt geplaatst in een horizontale leiding en bestaat uit een geleidelijk vernauwend gedeelte gevolgd door een lang­zame verwijding tot op de oorspronkelijke diameter.
Fig.I6.
In de doorsneden I en 2 zijn de oppervlakten A_ en A nauwkeurig
gekend.
We verwaarlozen de weerstand in de venturibuis. (later moet deze
wel in rekeni-ng gebracht worden.)
Het drukverschil tussen I en 2 wordt gemeten.
pg
2g
pg
2g
( Bernoulli)
Vl
= v2A2 (Castell
i)
2
VI "
A
V.
I P-
V.
pg
pg
2g
a:
2g
PI ~ P2 0           2 ,T
A
A'
D.2.22.
v.
A
2
yAp met Ap=p -p
p(I-
2
A
v2 = cJ V5p
Q = c A yAp
Q = c UAp
Tussen het debiet Q en de drukval Ap bestaat dus een kwadratisch
verband.
Veronderstel dat bij een maximaal debiet van IOm/h de maximale waarde
voor Af
0 = .
[00 mm KK
Ap (mm
KK)
Q (m3/h)
0
0
I
I
4
2
9
3
16
4
25
5
36
6
49
7
64
8
81
9
IOO
10
Figuur 17 geeft de voorstelling
74 9 16 25 36 4?
54
57
755 Ap
I i
12 3 4 5
7
5
75 a
Fig.I7.
Een venturibuis is een debietmeter en daarom wordt bv. in de kon-trolekamer alleen de schaal voor Q zichtbaar gemaakt. Staat de naald in het midden dan komt dit overeen met ongeveer 70°/o van het maxi­male debiet. Opmerking. Het kwadratisch verband kan, via elektronische weg, worden weggewerkt,
zodat er ook meters geplaatst worden waarbij het midden van de schaal­verdeling toch overeenkomt met 50°/o van het maximale debiet.
D.2.23.
2.5.VERALGEMEENDE WET VAN BERNGULLI.
2.5.1. De veralgemeende wet.
In reële installaties zijn er plaatsen waar energie wordt toege-voerd bv. door een pomp (fig.18) of plaatsen waar energie wordt onttrokken bv. door een turbine.
IKH-3BBH
3-
\ i
Fig.I8
Bovendien treden bij een reële stroming in de leiding altijd
energieverliezen op. Aan het berekenen van de leidingsverliezen
besteden we een afzonderlijk hoofdstuk.
In elk geval moet de energiewet van Berboulli aangepast worden
aan deze energieaanvoer of -afvoer.
De veralgemeende wet van Bernoulli wordt:
2                                                         2
PI VI                                         P2 ■
---- + —^--■ + hi +HV-H -H\ . = ---- +
W + h2
PG
2g I t a w pg
waarbij H = de hoogte die overeenkomt met de energietoevoer
H = de hoogte die overeenkomt met de energieafvoer.
H = de weerstandshoogte in de leidingen. Deze hoogte komt overeen met de energie die met de stroming in de leiding gepaard gaat.
D.2.24. 2.5. 2^De_opvoerhoogte en_het_vermogen y>rln_r!r!rLcen ^ri f u9aa^ pomp. a. Opvoerhoogte van een pomp.
We hebben een installatie waarin zich een eentrifugaalpomp be­vindt die energie levert aan de vloeistof. In de veralgemeende wet van Bernoulli, geschreven als een hoogtevergelijking, stel­len we H, = H t P
2                                                                 2
PI VI                                                P2 V2
--— + 0 +. h +H - H -H = --— + --
pg 2g lp a w pg
2g 2
H noemen we de opvoerhoogte van een pomp.
In de theorie over centrifugaalpompen zal men aantonen dat de op­voerhoogte afhankelijk is van het debiet.
Het verband tussen beide wordt gegeven door de pompkarakteristiek opgemeten door de pompconstructeur. (fig.19)
Fig.I9.
b. Het geleverd vermogen van een centrifugaalpomp^
Om aan een vloeistof, met een soortelijke massa p, een opvoer­hoogte H en een debiet Q te geven moet deze pomp een zeker ver­mogen ontwikkelen.
P=QpgH
Dimensies [Pj =
m
Jiq_
m
m
m
Mjl
kg m
m
Nm
J
s
= w
s s
Opmerking: het vermogen dat" de pomp zelf moet krijgen zal natuurlijk groter moeten zijn en is afhankelijk van het rendement van de pomp.
D.2.25.
Opmerking.
Een vloeistof stroomt doorheen een leiding als gevolg van een drukverschil. Het doel van een pomp is dus de druk in de vloeistof te verhogen. Gewoonlijk spreekt men echter niet over de drukver-hoging die een centrifugaalpomp geeft maar wel over haar opvoer­hoogte.
De reden ervan is de volgende: in de theorie over de centrifugaal-pompen zal worden bewezen dat de opvoerhoogte die een centrifugaal­pomp geeft onafhankelijk is van de soortelijke massa van de vloei­stof. Een centrifugaalpomp geeft dus aan twee vloeistoffen met de­zelfde viscositeit maar meteen verschillende soortelijke massa de­zelfde opvoerhoogte H .•
P De drukverhoging die de pomp in de beide gevallen geeft is echter
wel verschillend.
Men kan dus in een proefopstelling de opvoerhoogte van een centri­fugaalpomp bepalen bij middel van water en deze opvoerhoogte ook gebruiken voor andere vloeistoffen.
D.2.26. 2.6. PRAKTISCHE WERKWIJZE.
1. Het probleem wordt geschetst met aanduiding van alle gegevens (secties, drukken, snelheden...)
2. De referenties bepalen:
men bepaalt zelf het referentievlak. Meestal neemt men hiervoor het laagste punt van de installatie om negatieve tekens in de vergelijking te vermijden.
men bepaalt zelf of men werkt in
absolute druk
of relatieve druk.
3. Keuze van de twee secties waarvoor de wet van Bernoulli zal ge­schreven worden.
Let erop dat de wet van Bernoulli zoals we ze hiervoor besproken hebben uitsluitend in de zin van de stroming mag geschreven worden
4. We schrijven de termen van Bernoulli in sectie I.
5. Alle energie-equivalenten toevoegen van alle machanische werk­tuigen die energie leveren tussen de twee.gekozen secties.
6. Alle energie-equivalenten aftEekken van alle werktuigen die energie onttrekken tussen de twee gekozen secties.
7. De leidingsverliezen tussen de twee secties aftrekken.
8. De termen van Bernoulli schrijven in sectie 2.
9. Eventueel de kontinuïteitsvergelijking bijschrijven.
Deze geeft het verband tussen de snelheden in de twee secties.
Omdat de leidingsverliezen nog moeten bepaald worden in een later hoofdstuk houden we ons voorlopig aan voorbeelden zonder rekening te houden met deze leidingsverliezen ofwel waar de leidingsverliezen als gekend verondersteld zijn.
D.2.27.
2.7. TOEPASSINGEN.
I. Men verwijdert de stop uit de bodem van een vloeis tofreservoir (fig.20). Bepaal de uitstroomsnelheid op het ogenblik dat het vloeistofpeil 4m hoog staat.
Fig.20.                                                      Fig.2I.
Oplossing^ (fig.2I)
1. Secties:
Sectie I: het vrije vloeistofoppervlak
Sectie 2: de uitstroomopening waar de snelheid gevraagd wordt
2.  De referenties.
Het referentievlak: door sectie 2. De druk: we werken met overdruk.
3.  De wet van Bernoulli.
v.
pg
2g
+ hz .
pg
2g
+ h
Pl = o
h = 4m
h2=0
V =s ?
2
Alleen voor wat betreft de druk pp die in de wet van Bernoulli gebruikt worden kan enige twijfel bestaan.
D.2.28.
Om deze te verklaren bekijken we de stroombuis die ontstaat wanneer de stop uit het reservoir wordt getrokken, (fig.22) .
Fig.22.
Zoals bij de afleiding van de wet van Bernoulli (pag.D.2.4) is aan­gegeven moeten we alleen de krachten beschouwen op de beide eind-vlakken. Deze zijn afkomstig van de drukken op deze beide eind-vlakken. Op de bovenwand van deze stroombuis staat de atmosferische druk;
dus p_ = p = 0\ / I ^a
Net na de uitstroomopening is de druk ook gelijk aan de atmosfe-
rische druk; dus p,
p = 0.
v
Zodat: 4=
2g
v = 8,85 m/s
Opmerkingen
1.  v2 = V2gh
h = het niveau boven de uitstroomopening.
Deze vergelijking staat ook bekend als de regel van Toriricelli.
De uitstroomsnelheid komt overeen met de snelheid van een vrij-vai-
lend lichaam dat zonder wrijving vanaf dezelfde hoogte h zou vallen.
2. Ter hoogte van de uitstroomopening doet zich een sterke drukval voor. Dit is best te vergelijken met een groot aantal personen dat door een nauwe opening moet. Vóór de opening staan de mensen tegen elkaar te drummen (te drukken). Eenmaal de opening gepasseerd is het gedaan met drummen.
D.2.29.
2
Twee zeer grote vloeistofreservoirs zijn met elkaar verbonden
door een leiding, (fig.23)
Boven het vloeistofoppervlak heerst de atmosferische druk p .
a. Met welke snelheid v« loopt het water in het tweede reservoir,
b.  Bepaal de druk in doorsnede 3 op 2 meter boven het referentie-vlak*
Oplossing.
a. I. Secties:
Sectie I: de oppervlakte van reservoir I:' de druk is gekend. Sectie 2: de uitstroomopening waar de snelheid gevraagd wordt, maar nog in de buis gelegen. 2. De.referenties;
Het ref erentievlak: door sectie 2;, het laagste punt. De druk: we werken met overdruk.
Fig.23.
Wet van Bernoulli. 2
P,. V"
I I
v.
2g
+■ h
+ —
2g
+ hu =
pg
pg
T
= 0
pg
V2 v„
• = 4m
_ 9
= 10 m
h2 = 0
vI -er 0
V.
10,85 m/s 2
10 = 4 + PT
2c v:
b. h.
pg
2g
h3 + P3
pg
9620 Pa
pg
10,85
2g
2g
v =v2 = 10,85 m/s
10+0+0 = 2 +-
p3 = 2pg = I
D.2.30.
Opmerking.
Passen we de wet van Bernoulli nogmaals toe maar de tweede sectie
kiezen we nu ter hoogte van het vloeistofniveau in reservoir II.
2                                         2
P3 V3 h P2 V2
3 pg 2g 2 pg 2g
0 P3 IO,852 . ^ ^
2 +.---- + --—2---- - 4+0+0
Pg 2g
p = -4pg = -39240 Pa We bekomen dus een verschillende waarde. Verklaring.
We kunnen niet zo maar de wet van Bernoulli toepassen doorsnede na doorsnede. We moeten goed nagaan of de wet van Bernoulli (behoud van energie) wel kan gebruikt worden. Hiertoe moet de stroming stationair zijn.
Bekijken we daarom het stroombeeld tussen de twee reservoirs van wat naderbij.
In reservoir I zal de snelheid vanaf het oppervlak naar de uitstroom-opening geleidelijk toenemen. We kunnen ons de stroming voorstellen met een bundel stroomlijnen (fig.24). De stroming is er nagenoeg stationair. In het leidingsgedeelte tussen de twee reservoirs is de stroming eveneens stationair.
De wet van Bernoulli is dus in elk geval geldig vanaf het oppervlak in reservoir I tot aan de instroomopening van reservoir II. Hetgeen zich afspeelt bij de instroming in reservoir II ter hoogte van doorsnede 2 kunnen we vergelijken met de plastische botsing van punten in de mechanica.
Denken we hiervoor terug aan het geïdealiseerd vloeistofmodel: de vloeistof bestaat uit een aantal onvervormbare moleculen. Tussen doorsnede I en 2 bewegen de vloeistófdeeltjes met behoud van energie. Er grijpen wel energieomzettingen plaats tussen potentiële-, kine­tische en drukenergie, maar de totale som blijft gelijk. In doorsnede 2 stoten de vloeistofdeeltjes op een wand van vloeistof­deeltjes die zich in rust bevinden. Elk vloeistofdeeltje dringt in deze wand, geeft wel een minieme verplaatsing aan alle andere vloei— stofdeeltjes die te verwaarlozen is. Bij dit indringen in reservoir II gaat de kinetische energie van elk deeltje verloren in warmte die vrijkomt tijdens deze botsing.
D.2.3I.
Vergelijk dit fenomeen met een kogel die in een zak zand geschoten wordt of een bol die in mul zand valt.
Hetgeen in doorsnede 2 gebeurt, is dus volledig te vergelijken met de plastische botsing in de mechanica.
We weten daar ook dat de energiewet het botsingsverschijnsel niet kan beschrijven, tenzij uitdrukkelijk met het botsingsverlies wordt rekening gehouden.
Dit alles betekent dus dat in doorsnede 2 steeds een energieverlies optreedt, dat we stootverlies zullen noemen. Dit verlies is gelijk aan de snelheidshoogte:
2
H
v
2g
w.
In figuur 24 werd ook de energielijn voorgesteld.
Pa
Energielijn
Fig.24.
Tussen doorsneden I en 2 blijft de energie behouden op 10 meter
In doorsnede 2 daalt de energie plots met de term H
tot
w.
2g
de waarde 4 meter.
Het stootverlies bedraagt dus 6 meter.
Net na doorsnede 2 blijft de energie weer behouden op 4 meter.
Uit dit alles leren we dat zulke stootverschijnselen in stromingen
altijd gepaard gaan met energieverliezen, en dat de wet van
Bernoulli (behoud van energie) niet kan gebruikt worden over deze
D.2.32.
verschijnselen, heen tenzij uitdrukkelijk wordt rekening gehouden met deze verliesterm. We kunnen dus wel schrijven dat:
HI = H2
H2 ~ Hw2 = H4
2 V2 of H2 " 2^~ = H4
We hebben dus gedaan alsof dit verlies plots optreedt in doorsnede 2, In werkelijkheid zal ook in vat II nog vloeistof in beweging komen en treden deze verliezen geleidelijk op, of m.a.w. het energiever­lies, gelijk aan de snelheidshoogte, verspreidt zich in reservoir II door wrijving.
We hebben nu één verliesterm leren kennen. Later zullen we zien dat in stromingsproblemen nog met verschillende andere verliezen moet rekening gehouden worden.
Wi.l men de wet van Bernoulli gebruiken in de vorm zoals we ze nu ge­zien hebben (behoud van energie) dan moet men bij de keuze van de doorsneden ook nagaan of geen verliestermen optreden. We besluiten dms dat
- de wet van Bernoulli mag toegepast worden tussen
doorsnede I en 3 doorsnede 3 en 2 doorsnede I en 2
- de wet van Bernoulli niet mag worden toegepast tussen
doorsnede 3 en 4 tenzij met de verliesterm in doorsnede 2 wordt rekening gehouden. We mogen dus wel schrijven dat:
2                                                        2
P3 V3 H h P4 V4
3 pg 2g w2 4 pg 2g
2 _P3_. + ■ IO;852 _ IC^BSL u 4+0+Q pg 2g 2g
p = 2pg = I962G Pa
D.2.33.
3- Een leiding heeft een diameter van 2". De diameter neemt af tot I" en de leiding krijgt een helling naar boven zodat ze 5 meter
hoger komt te liggen, (fig.25)
3 In de leiding bevindt zich een vloeistof met p=I200 kg/m .
Manometer I geeft een druk aan van 4,8 bar.
Welke druk zal door manometer 2 aangegeven worden indien:
a. v = 0
b. de snelheid in de leiding van 2" 2m/s bedraagt.
1"
^2
♦v.
Fig.25.
Oplossing, a^ v = o
1. Secties
Sectie I: ter hoogte van manometer I. Sectie 2: ter hoogte van manometer 2.
2. Referenties
Het referentievlak: door het zwaartepunt van sectie I De druk: deze afgelezen op manometer I.
3. Wet van Bernoulli.
2                                           2
Pr vt                           Po vo
pg-
2g
+ h_ =
2g
+ h
pg
p = 4,8.10 Pa
vi = ° hi =°
4,8.10 _ P2
_ o
v2 = 0
h = 5m
+5
pg
pg
p2=4,8.I0b-5.9,8I.I200=4,2I.I0bPa = 4,21 bar.
D.2.34.
b. v = 2m/s
I en 2: zelfde secties en referenties 3. Bernoulli.
pI
pg
2
VI , " + 2g + hI "
P2
pg
+
2 V2
2g
♦ h2
pi
= 4,8.10 Pa
P2 =
9
vi
= 2m/s
V2 a
9
hi
= 0
h2 -
5m
(I)
4. Kontinuïteitsvergelijking.
(d2)2
(2)
V2 <d )2
2
v = v ( --- )
2 I v I ;
v = 2.4 = 8m/s
Zodat (I)
4,8.10 _4__ P2 64 c
----1-------+ ._-— _ ----- + —---- + 5
Pg 2g pg 2g p = 4,8.I05+ -|-- 1200-5.1200.9,81---~- . 1200
p = 3,85.10 Pa
p9 = 3,85 bar. Deae druk is lager dan in het eerste geval omdat een gedeelte van de statische drmk, wegens de vernauwing van de leiding, werd omgezet in dynamische druk.
D.2.35.
3 4, Een centrifugaalpomp geeft een debiet van 0,035 m /s in de
leiding voorgesteld in figuur 26.
De zuigleiding heeft een diameter van 200mm. De persleiding heeft een diameter van 150 mm.
De manometer in de zuigleiding geeft een onderdruk van 0,28 bar. De manometer in de persleiding geeft een overdruk van 2 bar. De manometer in de persleiding staat 0,5m boven deze in de zuig­leiding en 2,5m boven het aanzuigniveau.
3 Voor de vloeistof geldt pg = 12000 N/m .
a.  Bepaal de som van de liggingshoogte, de drukhoogte en de snelheidshoogte in elk van de drie aangegeven secties.
b. Schets de energielijn voor de installatie.
c.  Bepaal de opvoerhoogte van de pomp en het vermogen dat door
3 de pomp geleverd wordt bij q=0,035 m /s.
d. Bepaal de weerstandshoogte tussen sectie I en sectie 2.
e. Ga na hoe het pompvermogen zich verdeelt over de verschillende energetische termen.
<fi. Bepaal de statische opvoerhoogte die de pomp mènstens moet kunnen leveren.
2 —
2/7?
Fig.26
CL <
U
D.2.36
Oplossing^ a. I. Referentievlak: ter hoogte van het aanzuigniveau Referentiedruk: de absolute druk. Sectie I.
HI
:---- 2
n , Vl
PI
- n +
I 2g
pg
h = 0
v ~ 0
p = I bar = 10 Pa
u IQ5 o ^ HI = 12000 = 8'33 m
Sectie 2L
2
v2 p2
H0 = h„ 4-
2 2 2g              pg
h2 = 2m
Q             0,035.4 _ __. ,
v0 = —r-- = ---ï------- = 1,114 m/s
1 A2              710,22
p2 = 1-0,28   = 0,72 bar = 0,72.I05 Pa
o I,H42           0,72.IQ5
H
2 2.9,81 12 000
H = 8,0633 m
Sectie 3^
2. V3 P3
3 3 2g pg h _ = 2 , 5 m
Q 0,035.4 _ OOT ,
V3 * ~K~ • ---' ? " X'981 m/S
3 % 0,15
p- = 1+2=3 bar = 3.10 Pa
H - 2 5 + ^9812 + 3-iq5 3 , ' . 2.9,81 12 000
H = 27,70 m.
D.2.37
b. De energielijn: (fig.27)
9
2
\3
2m
1-------,.3rL_l
Fig.27
H 27,7
8,33 8,0 6 F
c. De opvoerhoogte van de pomp.
Tussen sectie 2 en 3 is er een hoogtewinst. Dit is het gevolg van de centrifugaalpomp die energie aan de vloeistof heeft ge­leverd.
De opvoerhoogte van de pomp bedraagt dus H = 27,7-8,0.63 = I9,637m.
Ir
Het vermogen door de pomp geleverd. P = QpgH
= O,035.I2OOO.I9,637=8250W =8,25 kW.
d
D.2.38.
Tussen sectie I en 2 heeft een hoogteverlies plaats gevonden. Dit is het gevolg van de leidingsweerstand tijdens de stroming in de zuigleiding. Het is dus de weerstandshoogte in de zuig-leiding en werd bepaald door de meting van de druk in sectie 2. In de hoofdstukken 4 en 5 zal nagegaan worden hoe deze weerstand ook kan geschat worden uit de leidings- en de stromingsgegevens. De weerstandshoogte in de zuigleiding bedraagt
H
= 8,33-8,0633 = 0,267 m.
w
1,2
Hoe verdeelt het vermogen van de pomp zich?.
De pomp moet bij een debiet q=0,035m /s de vloeistof van door­snede I naar doorsnede 3 brengen ën daarbij:
energiehoogte
vermogen=pgQH
1. de verliezen overwinnen
(energieverlies)
2. het hoogteverschil overwinnen (potentiële energie verhogen)
3. snelheidshoogte verhogen (kinetische energie verhogen)
A,
4. de druk opvoeren (drukenergie verhogen)
0,270m
2, 5m
2
I7981 o I99m 2x9,81 U'iyym
2x10 T/_ rr^ 12000 =16>667m
113,4 W 1050 W
83,5 W
7000 W
Totaal
H = I9,636m P
P =8247 W P
f.
De statische opvoerhoogte van de pomp is de opvoerhoogte bij een
snelheid nul. Dan zijn ook de verliezen in de leiding gelijk aan
nul.
H . = 19,636-0,27-0,199 = 19,167m pst » . ' ' '
Het is' dus de energiehoogte die vereist is om de vloeistof in rust te houden tegen de zwaartekracht en de bedrij fsdrukken in. Anders gezegd: het is de énergiehoogte om het hoogteverschil en het drukverschil te overwinnen.
H , = 2,5+16,667 = I9,I67m. pst                     7 '
D.2.39.
Opmerking.
In figuur 28 zijn de pompkarakteristieken voorgesteld van twee
3 centrifugaalpompen die bij een debiet van 0,035 m /s de vereiste
opvoerhoogte leveren.
De' statische opvoerhoogte van pomp I is te klein. Bij het starten
van deze pomp zal deze geen debiet leveren; pomp 2 daarentegen wel
0,035
Fig.28.
D.2.40.
5. In het systeem   van fig. 29 stroomt olie met een relatieve dicht­heid 6 = 0,761   van tank A naar tank E. In de leiding treden ver­liezen op, die   we voorlopig nog als volgt aannemen.
2
H w = 0,6 ab 7
bc
(intreeverlies)
2g
v
bc
(1 eidingsverlies)
H, = 9 bc
2g
v
H , = 0,4 —^L
cd                     2g
(verlies in de konvergent)
Vdf
H, =9 ----— (leidinqsverlies, inclusief het stootverlies ter
de 2g                                         .
hoogte van doorsnede f)
Bereken:
1. het debiet Q
2. de druk in C.
Fig.29.
*Fl2m
Oplossing.
I. Secties: a en e
Referentievlak: e
Referentiedruk: relatieve druk.
Ver
gelijkin
g van
Bernoulli.
Pa
2
V
a
• +
h a
-
H = -w
pe
pg
+ •
2
V
e
pg
+ . 29
2g
Pa * °
pe =
0
■ v ~ 0
a
V ~
e
0
h = 12 a
'
h = e
0
' H w
V
= 0,6 —
2
'bc
2g
- +
9
2 Vbc
2g
+ 0
,4
2 Vdf
2g
+ h
v
df
2g
+ 9
D.2.4I
Kontinuïteitsvergelijking:
Vbe _ , 0,15 2
v
df
~ 0,3 ;
j
v.r = 4v, df bc
v,_
'16 v
bc
= 0
DC
zodat 12 - 9,6
- 9,4
2g
2g
v, =1,21 m/s
bc '
Q = vv. ti (0,3) ^ _.__ 3. bc -------2---- = 0,0855 m /s
2. Secties a en c.
Referentievlak : a Vergelijking van Bernoulli:
pa
V
a
2g
+•
h -a
- H w
=
P v Hc c
...... -1-
pg
Pg + 2g
Pa = °
Pc
=
v r^ 0 a
V
c
=
1,21 m/s
h =0
h
=
0,6 m
+ h
H = 9,6
V
bc
2g
w
H
w
P = pe
pg
761 kg/m3
= -°'7164 - 2^81 -°'6
p =-10384 Pa ^c
p = -0,108 3 bar
pc = 0,1038 bar onderdruk.
D.2.42.
3 De pomp van figuur 30 levert een debiet van 0,25m /s.
3 De vloeistof heeft een soortelijke massa van 762 kg/m .
De weerstandshoogte in de zuigleiding bedraagt 2,5 m.
De weerstandshoogte in de persleiding, inclusief het stootverlies
dat optreedt in de intreedoorsnede, bedraagt 6,5m.
a. Bepaal het vermogen dat door de pomp moet geleverd worden.
b. Schets de energielijn?
c. Hoe verdeelt het pompverlies zich over de verschillende energetische termen.
d. Bepaal de statische opvoerhoogte van de pomp.
63,5
i
T—2
i
i
i
12
i
57
T
-j
9,5
12
dj--*
Fig.30
D.2.43.
Oplossing.
a. Secties: de niveaus in beide reservoirs.
Referentievlak; door de aslijn van de pomp.
Referentiedruk: relatieve druk.
Bernoulli.
v.
v.
hI +
pg
2g
- H + H -H = h0 + wz p wp 2
pg
<^g
b.
12+0+0-2,5+H -6,5=57+0+0
P H = 54m P
P = QpgH
= 0,25.762.9,81.54
= 100 915 W
= 100,915 kW De energielijn: zie fig.30
c.
Energiehoogte
Vermogen=pgQH
1. De verliezen
2. Het hoogteverschil
A
3. Het drukverschil
4. Het snelheidsverschil
9m 45m 0 0
16 819 W 84 086 W
Hp = 54m
P =100 905W P
HYDRODYNAMICA.                                              T.7.I
DE WET VAN BERNOULLI.
De kontinuïteitsvergelijking.
PlVl=P2A2V2 Indien p=konstant
AIVI=A2V2
f V2            AI
VI            A2
Met een_cirkelvormige normaaldoorsnede^
De wet van_3ernoulli.
Een ideale stroming langsheen een stroomlijn.
a. Als_hoogtevergelijking.
2
P v
.c— + —._--- +h=konstant = H
pg 2g
b. Als_drukvergeli jking._
2
pv . p+ —*~z— + pgh=pgH
c. Als snelheidsvergelijking.
2
d. Als energievergelijking.
2
p v m —c— + m —-— + rnqh = mg H P .2
Veralgemeende wet van Bernoulli.
2                                                                 2
Pi - VI                                             P2 V2
pg 2g I t a w pg 2g 2
Geleverd vermogen van een centrifugaalpomp. P=pgHQ
HOEVEELHEID BEWEGING EN IMPULS.
?.=(p A +m v )-(p A +m v )+ G*
D.4.I..
HOOFDSTUK 4. Stroming en weerstanden in enkelvoudige leidingen.
I. Probleemstelling.
Over het algemeen bestaat een installatie uit een aantal machines (pompen, kompressoren ...) waarin aan het fluïdum energie wordt toegevoegd en een aantal machines (turbines ...) waarin energie aan' het fluïdum wordt onttrokken.
De machines zijn verbonden via leidingen waardoor het fluïdum stroomt. De leidingen bestaan uit rechte stukken, bochten, ver-nauwers ...
De stroming van het fluïdum doorheen zulke installatie kan be­schreven worden met behulp van de veralgemeende wet van Bernoulli.
2                                                             2
+ —-— + hT+H -H -H = ---- + --~--- +h^
pg 2g I t a w pg 2g c
p ,p = de druk in doorsnede I respectievelijk 2.
v ,v„ = de gemiddelde snelheid van het fluïdum in beide
12 ^
doorsneden, h ,h = de ligging van de doorsneden.
H komt overeen met de totale hoeveelheid energie die via machines, opgesteld tussen' beide doorsneden, aan het fluïdum wordt toegevoegd.
H komt overeen met de totale hoeveelheid energie die door a .
de machines tussen doorsnede I en 2 wordt afgevoerd.
H komt overeen met de totale hoeveelheid energie die ver-w                                                                                                     '
loren gaat in de leiding en in de machines.
De wet van 3ernoulli kan aangevuld worden met de kontinuïteitsver-gelijking.
Q=Av = konstant.
D.4.2.
Om een installatie te dimensioneren of na te rekenen moet elk van deze termen naar behoren kunnen bepaald worden.
- De druk en het debiet vormen meestal de dimensioneringscriteria.
- H en H zijn bepaald door de toepassing of moeten bepaald
a t
worden.
- Moeilijker is het de totale weerstandshoogte H te bepalen. Praktische problemen herleiden zich dan ook in grote mate 'tot een zo exact mogelijk bepalen van allerlei stromingsweerstanden in de installatie. In dit hoofdstuk wijden we dan ook aandacht aan de theorieën die ten grondslag liggen van deze berekeningen. We behandelen afzonderlijk de weerstanden van rechte cilin-drische leidingen (paragraaf 3), rechte leidingen van andere
vorm (paragraaf 4) en plaatselijke weerstanden (bochten, kleppen..) (hoofdstuk 5)
De energieverliezen zijn echter niet alleen afhankelijk van de aard en de vorm van de leidingen maar ook van de aard van de stroming. Daarom wijden we eerst een afzonderlijke paragraaf aan de begrippen "laminaire en turbulente stroming" en hoe deze ver­band houden met de optredende stromingsweerstanden, (paragraaf 2)
D.4.3. 2. Laminaire en turbulente stroming.
2.1.  Definities.
- Is de stroomsnelheid relatief laag dan bewegen de vloeistof­deeltjes in evenwijdige lagen zonder zich te vermengen. Deze stroming noemt men laminair. Zou men de vloeistof door­heen een glazen buis laten stromen en brengt men hierin een kleurstof, dan zou men de kleurstof een dunne rechte draad zien trekken in de laminaire stroming.
- Is de stroomsnelheid relatief hoog dan bewegen de vloeistof­deeltjes onregelmatig door elkaar. Men noemt de stroming turbulent. De kleurstof zal een onregelmatige gebroken' lijn vormen.
2.2. Het_getal van Reynolds.
Of een stroming laminair is of turbulent hangt niet alleen af
- van de stroomsnelheid, maar ook
- van de aard van de vloeistof, meer bepaald van de viscosi­teit.
- van de diameter van de leiding.
Hoe lager de snelheid, hoe regelmatiger de stroming.
Hoe groter de viscositeit (dik vloeibaar), hoe regelmatiger
de strorqing. (de weerstand tegen wervelingen is groter).
Hoe kleiner de diameter, hoe regelmatiger de stroming. De
vloeistofdeeltjes, dicht bij de buiswand, zijn immers veel
meer beperkt in hun zijdelingse uitwijking.
Deze drie invloedsf aktoren worden verenigd in het getal van
Reynolds.
Met behulp van dit dimensieloos getal kon Reynolds voor alle vloeistoffen op een éénvormige manier de stroomtoestand be­palen.
R < 2000. De stroming is zeker laminair. e                                           ^
R > 3000. De stroming is zeker turbulent.
2000<R < 3000. Men heeft de overgang van laminaire naar e
turbulente stroming.
D.4.4.
Proefondervindelijk heeft men dan bepaald dat voor de overgrote meerderheid van de vloeistoffen en voor een stroming in relatief gladde rechte cilindrische leidingen, deze overgang plaatsgrijpt bij een waarde van ongeveer 2320. Deze waarde noemt men het kritische getal van Reynolds.
R . =2320 ekr
Met deze waarde komt ook een kritische snelheid overeen
v
kr
Rekr V                       v-
-—E---- =2320 —7
Bereikt in een bepaalde cilindrische leiding (diameter d) een be­paalde vloeistof (viscositeit v* ) de kritische snelheid (v, ) dan ^                                                                                                                             kr
gaat de stroming van de laminaire stroomtoestand over naar de tur­bulente. In feite gebeurt deze overgang niet plots exact bij deze
waarde van v. maar erqens in de buurt van deze waarde en min of.
kr ^
meer geleidelijk. Opmerkingen:
1. Om te evalueren of een stroming laminair is of turbulent zal men:
- ofwel het -getal van Reynolds berekenen
- ofwel de kritische snelheid.
v< v, . De stroming is laminair.
vD>v, . De stroming is turbulent, kr.                           ^
2. Over de exacte waarde van het kritisch getal van Reynolds be­staat onenigheid. Dit heeft natuurlijk te maken met het feit dat de overgang van laminaire naar turbulente stroming niet zo plots gebeurt en dus niet zo duidelijk bepaald is, zodat de kritische waarde ook niet exact experimenteel vast te leggen is. Bovendien wordt hetzelfde kritische getal gebruikt voor alle cilindrische leidingen onafhankelijk van de ruwheid van het materiaal. Het kritisch getal van Reynolds moet dus bekeken worden als een ge­middelde waarde bekomen uit experimenten in al deze gevallen.
D.4.5.
3.  Het 9e-al_Xr.Q_^XQE-'-Ëri R = --j— ^s en]<:el geldig voor rechte
cilindrische leidingen, die volledig gevuld zijn met vloeistof. Ook voor andere stromingen, bv. langs een vlakke plaat, kunnen op gelijkaardige wijze getallen van Reynolds bepaald worden.
4.  Het kritische getal van Reynolds, R , = 2320, is geldig voor alle vloeistoffen maar principieel ook alleen voor rechte volledig gevulde cilindrische leidingen.
Voor andere stromingen kan ook een kritisch getal van Reynolds
worden bepaald.
bv. voor een stroming tussen evenwijdige platen.
R . = 1000 ekr
5. Omdat turbulente stromingen de grootste weerstand geven kan men
veilig spelen door R gelijk te stellen aan 2000.
eic r
6.  Het aanwenden van dimengieloze karakteristieke getallen is alge­meen gebruikelijk in de stromingsleer bv. gebruikt men ook het Machgetal dat aangeeft of de stroming van een gas subsonisch is, supersonisch of hypersonisch.
7.  De grafiek op de volgende pagina geeft de kritische snelheid in functie van de diameter en de viscositeit.
D.4.6.
KRI TISCHE SNELHEID
V. (TH ) kr s
20
30 40 50
100
1000
300 400 500
d(mm)
D.4.7.
2.3. Voo£5££iS!c:Ql
T
Een waterleiding heeft een diameter van 4 cm.
Bepaal de kritische snelheid. V" =1 cSt bij 20CC.
Oplossing.
23.20 V- 2320.10~6 v.
kr d                    0,04
=0,0575 m/s De kritische snelheid is dus zeer gering, zodat mag aange­nomen worden dat de stroming van water in leidingen bijna steeds turbulent is.
2. Een olieleiding met een diameter.van 100 mm.
/
i,                              Hierdoor stroomt olie met een viscositeit van 20°E en een
3 debiet van 30m /h.
Is de. stroming laminair of turbulent?
Oplossing.
Tabel pagina E 29.
20°E=I50cSt = I50.IO"6m2/s.
Q 4Q
V - -
A "
A2
Ttd
R = . e
vd
9
4Qd 4Q
- s ,2 " v d 71 v d
R = e
4
30 I
I
3600 150. KT6
0,1
=
707,
4
Re is kleiner dan 2320
De stroming is dus laminair.
D.4.8.
3. Weerstand in rechte volledig gevulde_cilindrische leidingen.
3.1. Wet van Darcy.
Proefondervindelijk werd door Darcy bepaald dat de weerstandshoogte
H in een rechte cilindrische leiding w
- evenredig is met
- de snelheidshoogte (3) l- het bevochtigde oppervlak (I)
- omgekeerd evenredig met het oppervlak van de natte doorsnede
(2)
- afhankelijk is van
- de toestand van de buiswand
- de. viscositeit van de vloeistof l- de aard van de stroming.
Samengevat:
2
H = ©itdl w
V
2g
(3)
(I) (2)
H = 4© w
v
Met 4© = X
2g
Hierin is X de weerstandscoëfficiënt van de leiding. Deze is dus afhankelijk van
- de toestand van de buiswand, uitgedrukt bij middel van de absolute ruwheid k, of de relatieve ruwheid k/d.
- de viscositeit van de vloeistof.
- de aard van de stroming.
Deze laatste twee faktoren zitten vervat in het getal van Reynolds zodat algemeen kan gesteld worden dat:
•-Re: karakteriseert de stroming
k
)
.-k/d: aard van de wand. Deze functie is niet .analytisch af te leiden en steunt op empi­rische gegevens.
Voor het bepalen van de weerstandscoëfficiënt X maakt men onder­scheid tussen
- laminaire stroming
- turbulente stroming
(
- hydraulische gladde wand
- hydraulische ruwe wand.
D.4.9. 3.2. 2f_weerstand in een leiding bij laminaire stroming.
Bij een laminaire stroming in een cilindervormige leiding kan de weerstand volledig langs theoretische weg berekend worden, a. 2£t_snelheids]D£of iel_en 22 ^22£ÉËeIË2 snelheid bij een lami-. naire stroming. Met behulp van de viscositeitswet van Newton kunnen we nu, voor het geval van laminaire stroming, het snelheidsprofiel in een doorsnede van een cilindrische leiding bepalen.
Men konstateert dat de snelheid aan de wanden nul is en maximaal in het centrum van de leiding.
Bekijken we nu de krachten die werkzaam zijn op een cilinder fluïdumj met straal, r, lengte 1 en concen tri.sch met de aslijn van de leiding. (fig.I)
-—- — -^ — ^-—*-^~----^'-
l .cv.
'P2
Fig.I
V s 'ssssssss>*/sssj s / s s/s
Fi = Pi Wr'
2 '
F2 = P2A2 = P27ir
F = I 2tc r 1         -—
Bij evenwicht (konstante snelheid)
FT-F^-F_ = 0 1^3
2
(p_-Pp).7cr = T 27crl
T =
PI-p2 21
De schuifspanning verloopt dus lineair in.functie van de straal.(fig.2)
D.4.I0.
De viscositeitswet van Newton:
I = - 7|
dv
dr
Het minteken wijst op de snelheidsafname bij toename van de straal, zodat
PI"P2
r=-Tl
dv
21
dr
av=-
pI-p2 2111
rdr
v dv - -ƒ -
r
PI-p2 27] 1
rdr
Pl"P2          2 2
v =
47] 1
* ■ (R -r )
v=
PI~P2       
JT (I-
47] 1
R'
Dit is de vergelijking van een parabool (fig.2)
■«•■*->■»' —
r" r r * /" *• r f *£ «• «• <•"
■^ -» ** ■» --
V/W
V/V
Fig.2
V/V > / ; s / s / s >V j s s > s / * > t f
/»>'/' / / / y / <*
Voor een laminaire stroming is dus het snelheidsprofiel in een doorsnede een paraboloïde. De snelheid is maximaal in het cen­trum.
PI-p2
R
2
max             47] 1
De gemiddelde snelheid in de doorsnede is: v
max
v =
m
Het debiet bedraagt:
2 Q = v TXR
m
D.4.II.
De weerstand H en de weerstandscoëfficiënt X bij een laminaire
w
stroming.
We noemen Ap= p -p„, de drukval die, omwille van de wrijving in de stromende vloeistof ontstaat in de stroming doorheen een . leidingsgedeelte met lengte 1. Met deze drukval komt een energie­hoogte overeen, die we de weerstandshoogte over het leidingsge­deelte 1 noemen:
H
Pl~p2
w pg pg Voor een laminaire stroming hebben we net gevonden dat:
v
Pl"P2 1
R
2
v =
m
max
l
87]
We kunnen dus de drukval en ook de weerstandshooqte H uitdruk
^ w
ken in functie van de gemiddelde snelheid:
8 7] v 1 1 m
327] v 1 1 m
PI"P2=
R' 2
327] v 1 1 m
gd2
H
PT-P
w
"H
met: V =
H = 32.2. w
.V
v
m
vd d 2g
Denken we eraan dat de snelheid die we in de vergelijking van Bernoulli, in de snelheidshoogte en in het getal van Reynolds hebben gebruikt ook steeds de gemiddelde snelheid van de vloei-stof was in een leidingsdoorsnede.
met Re =
v d m
is H
64
m
V ""■" 'V Re d 2g Vergelijken we deze uitdrukking met de hoger besproken wet van
Darcy, dan hebben we dus volledig langs theoretische weg de
weerstandscoëfficiënt X kunnen berekenen:
We bemerken dus dat bij een laminaire stroming de weerstands­coëfficiënt enkel afhankelijk is van het getal van Reynolds en niet van de ruwheidsfaktor k. Het verloop van X in functie van Re is voorgesteld op de volgende
bladzi jde.
D.4.I2.
WAARDE VA
N A
S/J LA Ml NAi RE STROMING
\ =
64
\
0t9 08
07
06
i
05
\
^
X
^
V
\
I
Of
0.3
0.2
0,1 0,09
0,08
0,07
0,06 0,0 5
0.04
0.03
0,02 l
300 400 500
1000
2000
8090100
200
D.4.I3.
3.3. 5e_weËEbcr!!2^ in_een leiding bij turbulente stroming.
Zowel het snelheidsprofiel als de weerstandscoëfficiënt kunnen nu niet meer zuiver theoretisch berekend worden. Wel zal men vanuit de theoretische vaststellingen bij een larninaire stroming vertrek­ken en deze langs empirische weg aanpassen aan de opgemeten re­aliteit bij de turbulente stroming. a. Stroomsnel.heid bij een turbulente stroming.
Het snelheidsprofiel langs theoretische weg bepalen voor een turbulente stroming is zeer omslachtig en berust trouwens steeds op enkele empirische benaderingen. We vermelden daarom slechts enkele resultaten.
Extrapolerend vanuit de berekeningsresultaten voor de larninaire stroming, waar als snelheidsprofiel een parabool werd gevonden van tweede orde, benadert met de meetgegevens voor een turbu­lente stroming met een parabool van hogere orde.
5
- Prandtl vond voor stromingen met R <10
e 1/7
v = v (I- -§- ) max R
- Nikuradse vond voor stromingen met R = 3,24.10
I/I2
v=v (I- -~ ) max R
Deze vergelijkingen worden kwalitatief voorgesteld in fig.3.
Fig.3
777
%r vm
m
D.4.I4.
Men kan stellen dat naarmate de stroming van een bepaalde vloei­stof in een bepaalde leiding turbulenter.wordt (R stijgt) de ge­middelde snelheid v toeneemt en de snelheid over de qanse door-
■■ m
snede gelijkmatiger wordt.
Uit het snelheidsprofiel kan men ook afleiden dat in een bepaald grenslaagje de snelheid lager blijft dan de kritische snelheid zodat de stroming in dat laagje laminair blijft. Men noemt dit het grenslaagje van Prandtl. Het laagje heeft een dikte 6; het wordt smaller naarmate de snelheid, en dus ook het getal van Reynolds, toeneemt. Buiten dit grenslaagje is de snelheid hoger dan de kritische snelheid en verloopt de stroming turbulent. Kwalitatief kan het snelheidsprofiel als volgt verklaard worden: bij een hoge snelheid (groot getal van Reynolds) gaat de tur­bulente beweging zich instellen over het grootste gedeelte van de doorsnede. In het middengedeelte van de buisleiding wisselen de vloeistofdeeltjes gemakkelijk van plaats zodat daar de snel­heden veel gelijkmatiger verdeeld worden dan in het geval van de laminaire stroming. Door de aanwezigheid van de wand wordt de vrijheid van zijdelingse uitwijking van een vloeistofdeeltje sterk gehinderd. Er vormt zich dus een grenslaagje waar een zeer belangrijkeA snelheidsvariatie plaats vindt.
D.4.I5.
b. Wee£££andscoëfficiënt X bij een turbulente_stroming.
Wij grijpen, zoals bij de laminaire stroming, eveneens terug naar het snelheidsprofiel (fig.3). We maakten hier het onderscheid tussen het grenslaagje van Prandtl (dikte 6), waar de stroming iaminair verloopt en de rest van de doorsnede waar de stroming turbulent is. Het is dan ook logisch dat de weerstand tegen stroming eveneens verband houdt met dit grenslaagje. Men maakt hierbij onderscheid tussen: - een hydraulisch gladde wand (fig.4)
:£. Fig.4
HYDRAULISCH GLAD
wanneer de grootte van de ruwheid van de wand (k) veel kleiner is dan de dikte van het grenslaagje (6)
- een hydraulisch ruwe wand (fig.5)
Fig.5.
HYDRAULISCH RUW
wanneer de grootte van de ruwheid van de wand (k) veel groter is dan de dikte 5 van het grenslaagje. De oneffenheden van de wand steken dan ver buiten het grenslaagje uit en komen dus in het turbulente gedeelte. De weerstand wordt dan voornamelijk veroor­zaakt door stootwerking tegen de uitspringende gedeelten van de wand.
Kriterium R
>560
D.4.I6
- een technisch ruwe wand (fig.6)
Fig.6
TECHNISCH RUW
wanneer de oneffenheden van de wand van de orde van grootte zijn van de dikte van de grenslaag.
Kriterium 23 < R
e d
< 560
In de tabel worden een aantal ruwheden k van gebruikelijke materi alen gegeven.
Absolute ruwheid k voor enkele materialen
k (mm)
Glas, lood, koper messing
0-0,0015
PVC ,polye.theen
0,01^0,15
Stalen buis (getrokken) ^
nieuw
na gebruik gereinigd matig verroest zwaar verroest
0,02-0,1 • 0,15-0,20 tot 0,40 tot 3,0
Stalen buis (gelast)
nieuw
nieuw (gecoat)
gebruikt, gereinigd
licht verroest
matig tot zwaar verroest
0,05-0,1
0,05
0,10-0,20
0,20-0,40
1,0-4,0
Betonnen buis
glad ruw
0,3-0,8 1,2-3,0
Gietijzeren buis
nieuw
nieuw (gecoat) matig verroest sterk verroest
0,25-1,0 0,10-0,15 1,0-1,5 1,5-4,0
Asbest-cement buis
Eternit
0,05-0,1
D.4.I7-.
Om X te bepalen in functie van deze factoren heeft men zijn toe­vlucht gezocht tot.experimenten. De voornaamste onderzoekingen op dit gebied werden verricht door Prandtl-Nikuradse-von Karman en door Colebrook.
I. P£a£d£l-Nid<ura^se-von Karman.
Door Nikuradse werden een massaal aantal proeven uitgevoerd waar­bij de ruwheid van de buiswand kunstmatig werd verwezenlijkt door zandkorrels. Op die manier konden systematisch verschillende re­latieve ruwheden (k/d) onder kontrole worden verwezenlijkt. Deze hoeveelheid experimentele gegevens werden dan door von Karman wiskundig benaderd met een verschillende functie voor de hydrau­lisch gladde en de hydraulisch ruwe wand. Dit is ook logisch, vermits in die twee gebieden ook andere fenomenen de weerstand bepalen.
- Voor de hydraulisch gladde wand.
----- = 2 log (R vT ) -0,8
VT                         e
- Voor een hydraulisch ruwe wand. —-— = 2 log ~r— + 1,14
vtT k.
We merken hierbij op dat in het geval van de hydraulisch gladde wand X opnieuw onafhankelijk is van de ruwheid k van de wand. Dit is logisch vermits alle ruwheden binnen' het laminair stro­mingsgebied blijven. De ruwheden spelen dan geen rol omdat de weerstand bij een laminaire stroming onafhankelijk is van k. De weerstand tegen stroming wordt dan in hoofdzaak bepaald door inwendige wrijving in de vloeistof, deels in het gebied met laminaire stroming, deels in het turbulente gebied. Voor een hydraulisch ruwe wand daarentegen is X wel functie van k/d, echter niet meer van het getal van Reynolds. De weerstand van de' stroming wordt hier in hoofdzaak bepaald door de ruwheden van de wand.
Voor het tussenliggende gebied, de technisch ruwe wand, waar de verschillende fenomenen zich niet zo duidelijk onderscheiden, werd geen goede benaderende analytische functie gevonden. Men heeft dit dan opgelost op de volgende manier.
D.4.I8.
De twee hoger aangegeven betrekkingen werden uitgezet in een diagram. (pag.D.4.I9) Dit diagram geeft X in functie van R en k/d. Het gebied tussen hydraulisch glad en hydraulisch ruw werd aange­vuld met vloeiende kurven die deze beide andere gebieden raak-lijnig verbinden.
Op het diagram van Prandtl-Nikuradse onderscheiden we dan ook vier gebieden
- de laminaire stroming:lineair
- de hydraulisch gladde wand
- de technisch ruwe wand.
-.de hydraulisch ruwe wand 2. c°l£"£22_
Door Colebrook wordt geen onderscheid meer gemaakt tussen de verschillende gebieden. Alle experimentele gegevens werden be­naderd door één analytische functie geldig voor het ganse gebied.
I or , k/d 2,51 , -—- = -21og ( 3 7 + ----2—" )
v/T                           J'/L           r v/T
e Ook deze functie werd uitgezet in een diagram, ('pag . D. 4. 20)
- Voor een hydraulisch gladde wand.
De oneffenheden zitten in het grenslaagje en worden verwaarloosd.
: , 2,51 , . Re^~ ,__ = -2 log ---' __ = 2 log —
VT                     r v/TT 2,dI
e = 2 log R V/V-2 log 2,51
= 2 log R V/\ - 0,8 (zie Prandtl) ^ e '
- Voor een hydraulisch ruwe wand.
R speelt geen rol; enkel de relatieve ruwheden.
I 0 , k/d
-----
v/T                           3'71
= - 2 log k/d + 2 log 3,71
= 2 log d/k + 1,138 (zie Prandtl)
o
CD
O O
JS  CD  .O _CD    CD
o   o    C5 O    cj
O   O    <=» CD    0
O   O    O —    Kj
-*   fo    «^
o e» UI
*CD CD
o
"ei
„CD CD Nd
Cd
"o
O
"cd
„CD
CD
Nd
UI
Co CO
•6I'l7-G
D.4.20.
:::
_: . jlv.
t-=f
.....
..
"""cxft-ti
rA
> -Cs -Cs -ol tó\ V
s o^.q cbi^
, 7
r /
_\
1 er
1 *"*~ e*;
< /
j
% $
>7
J
■— . ii T
S CS y <bs\
ƒ
n
ii
"7,r "
A
J
^
" 7 1 ÏJ
i
___l-----------------------1------------1-----------------
--/\' V f
i
ji r ,__£
i
/ \ 1 /■/
Dr} c
Cs"* c ii
- - -W
**» ' ' Cs 1
13 ~è^.
en <N
-,- V4 f .
M
Cs Csi
■\ \ t /
S
II
fe>| cT
-o"Jlr/
-ïtpr
C^
j=4
i f ...
-±_ -l-W
«-cf
'S
4—4-
] Af
1—_E-----
^ 2p-ï
zz-zA/%cz-----
1
< I
4X7*9 31
'" ''".....
t'
\ Af
i
.±/\ \
■ï&t-u-
&t-X--
M
,4
/ \ \
)wn~ -l
. ... ___
--------------------
-4^
h \-y
É=t
1
a,__________._____
slÊsfe
,_TS5t
4 4aX£ ..
A
\ /
t -
......
|\
i- 4.
i
1 \
l\
\
^Jr ......\
-----J-.--------1----------
x 1
\ ' s
|
s* v
1
y
y ^v
-^-U^i^-
es Cs
oo £>
^ 1 xo t[
xj-
<s-|
«XI
tx. Cs oT~
«CS fx.
XO
LT| xt
Oo «Ni
xs
On oo Cx.
xo
o
I
s
«N LO
Cs
JIX
On oo
tx, VO
uo
<n
1 —I
O.
«N
x*
Cs
Ox~^
00 tx.
xo
uo
OO «XI
o, Cs
y<
<X| Cs"
On CS ^x XO «O         xt
**- Cs Cs Cs Cs Cs_ ' Cs Cs" <^T Cs" Cs" Cs" Cs" Cs"
"0 Cs Cs"
tX| Cs
Cs"
Cs
Cs
uo
Cs Cs
Cs"
D.4.2I.
Opmerkingen.
1.  In de Amerikaanse literatuur spreekt men over het Moody-diagram. Dit werd opgesteld op basis van de formule van Colebrook.
Met Moody-diagram werd gepubliceerd an aangenomen door A.S.M.E. ( American Society of Mechanical Engineers).
2. A.S.M.E. beveelt twee types aan van het Moody-diagram. Type I: A=f (k/d, R ) cfr Colebrook.(pag. D.4.22)
Dit type is geschikt voor gebruik wanneer het gebiet Q gekend is. Type 2: \=f (f/d,R V/T") (pag.D.4.23)
Dit type wordt gebruikt als Q te bepalen is. 3.Vergelijking tussen de formules van Prandtl-Nikuradse en van Colebrook.
- hydraulisch glad:de invloed van k/d is klein. De eerste term in de formule van Colebrook is te verwaarlozen waardoor deze over­gaat in de overeenkomstige .formule van Prandtl-Nikuradse.
De resultaten van beide formules komen goed overeen.
- hydraulisch ruw: de invloed van R wordt nu klein zodat de
e
tweede term van de formule van Colebrook verwaarloosbaar wordt. Opnieuw verschijnt de overeenkomstige formule van Prandtl-Nikuradse. De resultaten van beide formules komen terug goed overeen.
- technisch ruwe wand. De formule van Colebrook geeft iets betere resultaten.
4.  Dat A onafhankelijk wordt van het getal van Reynolfs bij stij­gende waarden van R blijkt ook uit de grafieken waarbij de kurven asymtotisch horizontaal worden.
5. Andere formules voor het bepalen van A.
Voorgaande formules en diagrammas zijn algemeen toepasbaar voor cilindrische leidingen. Soms kan gebruik gemaakt worden van een­voudiger formules, echter met een beperkt toepassingsgebied. Voorbeeld: de formules van Blasius.
A=0,3I6 R "0'^5 VOor f -R < IO57 e                                 J e
l - een hydraulisch gladde wand. Op het diagram pagina D.4.24 is de overeenkomst met de formule van Prandtl goed merkbaar in het aangegeven toepassingsgebied.
Q
o o
5
o> co CS * Co
*-. o ca o co o o" co* co" o'
*-_ °> CO CS <© *©
oo.o o P, P o co" cT p p
D.4.22
D.4.23.
0)Q) N (o *..CCj <D CD CD CD" O" CD" cd"
CD
cd"
§•
'^            CD                10
<v>           <N              ^                  „^
cd cd,        cd             cd
cd" cd"        cd"           cd"
Sj
*-^
CD CD"
CD CD"
N
Dw
Q O O
°O.C5 o CD CD CD CD" CD* CD" CD
CD, CD
<5 VI         c
CD <N         "N
<=>" S-      ^-
O          CD
CD CD"
CD O"
§-
D.4.24.
Vergelijking tussen de formules van Blasius en Prandtl-Nikuradze von Karman voor een hydraulisch gladde wand.
X
1 0.07 0,06
0,05 0,OU
0,03 0,02
K
\ V
s
^
V
■^1
s.
------------
»
turb
ulem
.
*>
«0
X
^ ^>.
^
i
Re>
3000
-\
^J
%v
S
V
^
n
s
'V.
0,01
0,005
103 Z 3 C 5 70* 2 3 4 5       705 2 3 i 5 70ö 2 3 4 5
Re
D.4.25.
6. De diagramma's van Nikuradse, Colebrook en Moody stellen allen
op een grafische manier de relatie voor die bestaat tussen X. R ,
e
k/d. De diagramma's werden vooral opgesteld en gebruikt om de omslachtige berekeningen in de ingewikkelde formules te omzeilen, een manier van doen die algemeen verspreid was toen men niet be­schikte over snelle rekenapparatuur. De diagramma's hebben nu echter meer een illustratieve waarde dan een reken-waarde. Men kan immers met een eenvoudige programmeerbare zakrekenmachine op een iteratieve wijze X snel berekenen uit de formule van Colebrook:
X =
64
indien R < 2100
R
i
k/d
2,51
)
R vT~ e
Vx~                      ' 3'71
Als startwaarde voor de iteratie neemt men meestal \=0,05. In de meeste gevallen vindt men vrij snel, in enkele iteratie-stappen de juiste waarde ,\. Soms treedt echter divergentie op. Daarom hebben verschillende auteurs getracht de formule van Colebrook (gebaseerd op metingen) te benaderen door een andere wiskundige formule die dit divergentieprobleem niet vertoont, en. die toelaat t\ rechtstreeks, dus zonder iteratie te berekenen uit
k/d en R'. e
Een goede benadering werd gevonden door Zigrang en Sylvester:
X =
(B-A)
2 i -2
A
C-23+A met A = -2 log (
. B = -2 log (
C = -2 log (
k/d
3,71
k/d
3,71
k/d
12
,R
2,51 A
R
2,51. 3 R
3,71
D.4.26.
9 Deze formules laten toe om voor waardes 2100 <C R < 10 X te beoalen
e
binnen een afwijking kleiner dan 0,2°/o in vergelijking met de waarde X gevonden uit de formule van Colebrook. Vergeten we echter niet dat de formule van Colebrook ook niet exact de realiteit weer­geeft, vermits het een formule is die gebaseerd is op extrapolaties en getoetst aan empirische gegevens. Een benadering tot op 0,2°/o zal dan in praktijk ruimschoots volstaan.
De formules van Zigrang en Sylvester kunnen eenvoudig op een zak-rekenmachine geprogrammeerd worden.
D.4.36. Toepassingen.
We gaan nu enkele stromingsproblemen oplossen door gebruik te maken van
de wet van Bernoulli
de continuïteitsvergelijking
de wet van Darcy
H = \ ~~---¥— \ = f (R , k/d)
w d zq                        e
We veronderstellen in deze toepassingen dat er enkel een stromings­weerstand optreedt in de rechte gedeelten van de leiding. We . houden dus voorlopig geen rekening met alle mogelijke verliezen in bochtgedeelten, kleppen, e.d.
Om de weerstandscoëfficiënt K in deze rechte gedeeltes te be­palen
kan men gebruik maken van de vroeger besproken diagramma's en heeft men de keuze tussen:
Prandtl-Nikuradse-Von Karman diagram Colebrook diagram Moody-diagram type I Moody-diagram type II
met de huidige rekenapparatuur kunnen echter .even vlot de formules aangewend worden. De formules van Prandtl zijn iets minder geschikt omdat ze het overgangsgebied van de technisch ruwe wand niet omvatten.
De impliciete veranderlijken die in deze formules voorkomen worden op iteratieve wijze numeriek bepaald, of men gebruikt een benaderende formule zoals deze van Zigrang en Sylvester.
D.4.37. We onderscheiden voornamelijk drie types van problemen.
lengte van de leiding 1
diameter d
debiet Q .
X
type I type II type III
i
#
1
■ *
1
1
«
->
I
c
9
1
?
9
Om deze problemen op te lossen kan gebruik gemaakt worden van de berekeningsschemas op de volgende bladzijden.
- Enkel het probleem van type I is rechtstreeks analytisch op te lossen: de leiding en de stromingsgegevens zijn volledig gekend.
- X en dus ook de leidingsweerstand kan dan bepaald' worden.
De andere problemen moeten iteratief opgelost worden.
In de problemen van type II wordt.gevraagd het debiet te berekenen in een gekende installatie.
Het moeilijkste probleem is dit van type III, waarin gevraagd wordt een installatie te ontwerpen in gekende omstandigheden om aan een gevraagd debiet te voldoen.
De oplossingsmethodes voor de vraagstukken van type I, II en III zijn aangegeven op pagina D.4.38, D.4.39 en D.4.40.
Type I.
D.4.38.
neen
—»—
Turbulent Berekenen van k/d .
ja v
A bepalen
grafisch
numerisch
Nikuradse Moody I Moody II Colebrook
x x
X X
Type II
D.4.39
Wet van Bernoulli Wet van Darcy v = f(\)
Startwaarde X
Bereken v R
x=x
neen
Turbulent k/d
X' bepalen
Colebrook Nikuradse Moody I
grafi sch
numerisch
x x
X
x
x
R \T~X berekenen en e
A.' bepalen uit Yioody II
Type III
D.4.40.
Wet van Bernoulli Wet van Darcy Continuïteitsvgl .
d ^ f(X)
v ^ f(d,X)
Startwaarde A
Berek enen
van
v
R
A=A
neen
----»—
turbulent k/d
ja
A
i _
64
a' bepalen
R
grafisch
numerisch
Colebrook Nikuradse Moody I (Moody II)
x x
X X
x
X
D.4.4I. I. Een vloeistof met een viscositeit van 100 cSt stroomt doorheen een buis met een diameter van 5cm met een snelheid van 2m/s. De lengte van de leiding is I40m.
a.  3epaal de weerstandshoogte en de drukval in de leiding als het
3 soortelijk gewicht va.n de vloeistof 9 kN/m bedraagt.
b.  Hoe groot wordt de weerstandshoogte indien de viscositeit dubbel zo groot was, dus V=200 cSt?
c. Hoe groot wordt de weerstandshoogte indien de snelheid slechts de helft bedraagt, dus v=Im/s en de viscositeit gelijk is ge­bleven aan 100 cSt.
d.  Hoe groot wordt de weerstandshoogte als de diameter gehal­veerd wordt? v=2m/s. v- =I00cSt.
e. Wat wordt de weerstandshoogte indien de diameter gehalveerd wordt bij gelijkblijvend debiet?
Oplossing. Geg: 1; d; v-*q. Dus type I.
a. We onderzoeken eerst of de stroming laminair is of turbulent
4= 1 n vd 2.0,05 ^^
- ofwel R = —r— = -------2t~"=-1000
v 100.10 De stroming is laminair
-   ofwel v, = 23 20 /d
kr
on-,^     100. IQ"             at/
- = 232°-----5Tol----- = 4'6m/s
v is kleiner dan v. . De stroming is laminair.
kr                           r
De stroming is laminair:
\ =
64 64
R 1000 e
64 140
H =
w 1000 0,05 2.9,81
H = 36,53. m w '
De overeenkomstige drukval. Ap = pgH
= 8000.36,53
= 3,29.I05Pa =3,29 bar.
(
V
D.4.42.
b. We kontroleren terug of de stroming laminair is of turbulent'
•2.0,05 „ , R =---------gr-- = b00. Dus laminair.
e 200.10
54 A. = — ■ dus dubbel zo groot.
H = 36,53.2=73,06m w                              '
Ap = 6,58 bar.
1.0,05 _^
c.   R = ------z----r- = 500. Dus laminair.
e                       —6
100.10
De weerstandshoogte valt nu op de helft omdat de snelheid niet
alléén voorkomt in de snelheidshoogte , v N
( —=-- ) maar ook
~ 2g \              z ■
in het getal van Reynolds. ( --n-- . —r— )
^                         2                       vd 2g
64 140 I2 TQ ^rc Hw = -500- " -cöTöb- 2.9,81 = 18>265m'
Ap = 9000.18,265=1,64.I05Pa
Ap = I,64 bar.
, _ 2.0,025 ___ ,
d.   R = -----z---r— = 500. Dus laminair.
e                     —6
100.10
64 140________22 TAC
n = "—_■ _— —~—^ _ _---- ----r———r~rr— = 14b m.
w 500 0,025 2.9,81
Ap = 9000.I46.I0"5=I3,I5 bar.
e.  De diameter wordt gehalveerd bij gelijkblijvend debiet. De snelheid wordt dus vier maal groter.
8.0,025 ^^                     • ' •
R _ .-----1--- _ 2000. Dus laminair.
e                        —6
100.10
64               140               82               CQ, c.
Hw = 1Ó55--------ÖT025- 2.9,81 = 584'54 m
D.4.43.
Opmerking.
In zover de stroming laminair blijft in alle voorgaande gevallen, kunnen we schrijven:
2
64
z
H = X w
d 64
v
v
^g i
d v 1
2g
Z
H = w
V
vd v
2g i
v
H
64
2g
2
w
Indien de stroming laminair is, is de weerstandshoogte:
- recht evenredig met de viscositeit v (zie.b)
- recht evenredig met de snelheid (zie c)
- omgekeerd evenredig met het kwadraat van de diameter, m.a.w. de weerstandshoogte wordt verviervoudigd als de diameter op de helft valt en de snelheid konstant blijft (zie d)
- 16 x groter als de diameter wordt gehalveerd bij gelijkblijvend debiet (zie e)
Immers
met q =
7Cd
2
H
64
v 1
liL
128
v 1
2g
w
z
lid
g.TC
D.-4.44.
2. Bepaal, de weers.tandshoogte in een rechte betonnen buis met een
diameter van 300mm, een lengte van 2000m en een ruwheid k=2mm.
3 Het debiet bedraagt 360m water per uur.
Stel V = IcSt.
Oplossing^ Type I.
a. Aard van de stroming.
Q 360.4                       t /!tc /
v = —T- =-------------------------- = 1,415 m/s
3600.71.0,3^
R =
I74I5.Q^3 = 424 40Q^ Dus turbulent
e 1.10"°
b. Type van de wand.
k 0,00 2 ^ ^.„ rg-g--- = 0,0066
d 0,3
R -H— = 424 40O.0,0066 = 283O>56O e a                              '
De wand is hydraulisch ruw.
c. Bepaling van de weerstandscoëfficiënt X.
- Volgens het diagram van Colebrook: \=0,033
- Volgens het diagram van Prandtl: \=0,033
- Met de formule van Prandtl :
t                           d
= 2 log —- + 1,14
vT~
X= 0,0332 d. De weerstandshoogte.
H . 0,033. -2222__|aï|l
w ' 0,3 2.9,8i
= 22,45m.
D.4.45. 3. Een rechte gehelde olieleiding is aan een reservoir aangesloten en mondt uit in de vrije atmosfeer. De diameter is 30 mm en de lengte 6m. Het niveauverschil tussen de uitstroomopening en het konstant niveau is 3 meter. (fig.II) De viscositeit van de olie bedraagt 75 cSt. Bepaal het debiet.
Oplossing. Gegeven d en 1.
Het is een vraagstuk van type II.
Wet van Bernoulli.
5/7?
PI VI
—— + -7T~ + h-H : pg 2g I w
v
2 2
+ h
pg
^g
Fig.II
PI = P2 v ^0
h_ = 3m
v2 = v
h2 = 0
1
v
hi^ —
v
H = X , w d
2g
2g
2g
of v =
2^
(I)
I+X
1
De continuïteitsvergelijking
Q=VA=V
iid'
Het debiet kan bepaald worden indien v gekend is.
De snelheid zullen.we moeten bepalen uit (I). Dus om de snelheid
te bepalen moeten we X kennen. Maar X is functie van het getal
van Reynolds, dus van v.
Het probleem moet dan verder iteratief worden opgelost:
- keuze van X
We kunnen het getal van Reynolds niet uitrekenen omdat we de snelheid niet kennen. We weten wel dat het getal van Reynolds daalt als. de viscositeit vergroot. Gezien we hier een tamelijk grote viscositeit hebben veronderstel1 en we een laminaire stroming.
Voor R = 80 is X=
64
= 0,8
80
64
= 0,032
Voor Re = 2000 is X= ■ 2Q00
We kiezen voor X een waarde die tussen deze twee waarden ligt
bv.k=0,05.
D.4.46.
— v berekenen uit v =
2qh
I+X
1
v =
58,86
I+200R
- R
vd
Q)Q3v
= 400 v
-6
75.10
\* uit het diagram van Colebrook, of \' laminair is.
64
als de stroming
R
\
R =400 v e
e
1/ 58,86 V I+200A
0,05
2,313
925
0,069
■ 0,069
1,994
798
0,080
0,080
1,858
743
0,086
0,086
1,797
719
0,089
0,089
1,769
708
0,090
0,090
1,756
702
0,091
0,091
I ,750
700
0,092
0,09 2
1,746
699
0,09 2
De oplossing van het probleem wordt dus: \=0,092 v=I,74 m/s
Q=vA=I,74
Ti(0,03)
3
=0,00123 m /s Q=I,23 l/s=74 l/min. De weerstandshoogte bedraagt:
Hw= °'092 -^ÖT • lllfsi = 2'84 ra"
Van de drie meter verval is dus 2,84m nodig om de leidingsweerstand te overwinnen. Het nuttig verval, dat de snelheid levert, bedraagt dan nog' slechts 3-2,84=0,I6m.
D.4.47.
Opmerking.
We kunnen het probleem ook met behulp van het tweede diagram van Moody oplossen.
v =
1 / 2qh
V-
^ d
vd
d
V
V
— _
d •
vT~
lohd
1
R =
29hd
vtT"
ghd
v
R vT"=
e
0,03
-6
2.9,81.3.0,03 __
-----2—_-----.—i----- _ ^jy
O
75.10 Ui t h_ex diagramma Moody II lezen we dan af
0,09 < X < 0,1 We kunnen dan de iteratie beginnen met als eerste benaderende waarde \=0,09.
D.4.48.
Een rechte leiding werd opgesteld met een verval van 0,008 m
(fig.12) per lopende meter zodat de druk konstant blijft. De
diameter van de leiding bedraagt 200 mm, de ruwheid k=0,05mm,
De viscositeit van de vloeistof bedraagt 1,15 cSt.
Bepaal het debiet.
Oplossing: Geg l=Im en d. Type II.
Wet van Bern'oulli 2
—1
z
V
pg
2g
+ h -H = I w
+
2g
+ h
pg
PI = P2
V = V = V
I 2
h = h h2 = 0 Wet van Darcy.
H = X w
1
2
Fig.I2
2g
Ingevuld:
0,008.- X
0,2
2.9,81
= 0
* 2 0/008.0,2.9,81.2
Of V = ---z------r-2-----2------
A.
2 v =
0,0314 X
R = e
V
v =
0,2
0,22.0,0314 _n6 1,15 X
1,15
°ï°
X
314 .io6=
0,0009 5
.10
X
üjlL
.10
\
r vM
e
=3,1.10
4
1#- =0'00025
D.4.49.
X kan nu bepaald worden
- ofwel uit het diagram type Moody II
- ofwel uit de formule van Colebrook
vT~
= -2 log (
k/d
lilL
3,71
3,1.10
vT"
=-2 log (
0,00025 3,71
2,51
3,1.10
vT"
= 6,11
X = 0,017
v
0,0314 0,017
= I,36m/s
Q = 2,56 m /s
D.4.50.
5. Een gietijzeren leiding (k=I,6 mm) met een lengte van 300m is aangesloten aan een open reservoir. De uitstroomopening ligt
20 m onder het niveau van het reservoir. (fig.I3)
3 Het debiet moet minstens 3m /min bedragen.
Bepaal de diameter van de leiding.
De stromende vloeistof is water met een viscositeit = I cSt.
Oplossing.
Geg. 1 en Q. Type III.
Vergelijking van Bernoulli.
2                                                2
Pr vt.                              P2 v2
+ —
tj— + h-H = 2g ■ I w
---- + —t--- + h«
pg
P9
^g
px = p2 = o
v = 0
h2 . o
Darcy.
H = X w
Ingevuld: h - \ -
1
V
20m
1
2g
V
v
2g
2g
of v =
2qh
I+X
1
Fig.I3.
Wanneer in de vergelijking van Bernoulli de snelheidshoogte wordt verwaarloosd t.o.v. de weerstandshoogte, wat altijd mag als het gaat om lange leidingen, wordt vorige vergelijking
v =
2ghd XI
D.4.5I
Q = vA=V
71 d
4
2
Q is nu gekend = 3m"Vmin.
zodat
3 \/ 2.9,81.20.d 60 V 300\
71
4.
d2
: V 0,0031 X
of d =
We houden dus nog I vergelijking over met twee onbekenden d en \. Bovendien is X afhankelijk van d via het getal van Reynolds en de relatieve ruwheid (cf de formule van Colebrook). Het probleem moet dus verder iteratief opgelost worden.
a. Bij middel van het diagram, van Colebrook..
Vertrekkend van een startwaarde voor \(0,I) kunnen we uit vorige vei gelijking de diameter d berekenen die het vereiste debiet zal ver­zekeren, (zie onderstaande tabel) Kennen we de diameter dan kan de snelheid worden bepaald
v
\J 2.9,81.20
300
X
.vT
308
X
Het getal van Reynolds wordt
R
vd.IO
6
De relatieve ruwheid
1^6
10
-3
d d
In het Colebrook diagramma kan een gecorrigeerde waarde van X worden afgelezen.
X
5 d= V0,003I X
R e
k . d
A'
v=VI,308 -~-
0,1
0,035
0,038
0,199
0,161
. 0,164
1,612 2,145 2,076
0,32I.I06 0,345.I06 0,340.I06
8,04.IO-3 9,94.IO~3 9 ,76.IO-3
0,035 0,038 0,038
D.4.52.
b. De gecorrigeerde waarde van X kan ook berekend worden met de
formule van Colebrook. We veronderstellen R groot genoeg zodat
X onafhankelijk is van R .
e
I 0 . k/d
----- = -2 log
vaT
3,71
1,6
= -2 log 2^ + 2 log 3,71
= 5,3282 X = 0,035
De diameter zal dus ongeveer 0,164 m moeten bedragen om een de-
3 biet van ongeveer 3m /min te verwezenlijken.
Men zal dus een genormaliseerde diameter nemen in de buurt van d<
gevonden waarde en hiermee het gevraagde debiet exact narekenen,
zonder verwaarlozing van de snelheidshoogte.
Is het debiet te klein dan neemt men een grotere diameter.
Is het debiet te groot dan moet het geregeld worden door een
regelventiel in de leiding te plaatsen.
Nemen we bv. de genormaliseerde diameter die het dichtst 0,I64m
benaderd nl. d=l50mm.
2.981.20
1+0,038 30°
0,150
2
Q = 2,2575 % ?I5-- = 0,0399 m3/s
3 Q = 2,39m /min. Dus te klein.
De volgende genormaliseerde diameter is 200 mm.
v = 2,6 m/s
Q = 2,6 K °'2" .60
3 = 4,9 m /min.
Rekenen we nog eens na of de stroming inderdaad turbulent was.
R = 2,6.0,2.IOD=0,52.IO°
De stroming is dus inderdaad turbulent.
D.4.53. .
Dit' soort problemen kan ook op een andere manier opgelost worden
- we kiezen een leidingsdiameter en stellen het debiet onbekend.
- het vraagstuk wordt dan van type II.
- we gaan dan na of met de gekozen leidingsdiameter een voldoend debiet bereikt wordt.
- we passen eventueel de leidingsdiameter aan en herrekenen het vraagstuk.
Schematisch: Alternatief voor problemen type III.
Startwaarde d
Oplossen probleem type II
X
v H bij d w
q
y
aangepaste
d
_ "V
»
nee
Oplossing:
d q
X
V H w
D.4.54
Oplossing:
v =
2qh
2qh
2qhd
I+X l/d
\ l/d
Vx~
1
R = e
vd
2qhd
v
voT
\)
1
R '/X e
2qhd
V"         1/         1
a. Kies een genormaliseerde diameter; bv. d=50 mm
R VX
o
0,05
2,9,81.20.0,05 _
300                      "" l£:/ö/
10
—o
k
ii6
= 0,032
d 50 De waarde van A. volgt
-ofwel door aflezing op het Moody II diagram: X=0,06 - ofwel door berekening met Colebrook
I
= -2 log (
k/d
+
2,51
R vt7~
e
)
vt:
3,71
= -2 log (
0,032 3,71
2,51 12787
= 4,1089 V/7~ = 0, 2434 X = 0,059
v =
0,2434
2.9,81.20.0,05 300
= 1,050 m/s
D.4.55.
2
Q
•50
=1,05 ^^r05 = 0,0021 m3/s
Qgewenst = "fcT = °>05 m3/s d0 gewenst
We nemen een grotere diameter b. Kies d=I00 mm.
o .77 _ Otl W 2.9,81.20.0,1
Re A - iq16 y ^----- = 3616c
Ji_ . _idi_ = 0,0I6
100
o i • / 0,016 2,51 -2 log ( *T-- + ----*---
^                     ^ 3,71 36166
= 4,7166 7X = 0,212 X = 0,045
I ■         W 2.9,81.20.0,1          _ nr.r .
V = . 0,212       V---------^30—-----       = 1>7°° m/S
2
QTr = 1,706 7t"^1---- = 0,013 m3/s <Q
100                   A 4                    '                             gewenst
c. Kies d = 150 mm.
R & _ -0x1           W 2.9,81 20.0,15 _ 4
I0-6         y              300
-4- . -4j§- .0,0107
- i / 0,0107 2,51 = -^ log ( ------2------------- -«- --------2------
^                      ^          3,71                 66442
= 5,0687 V7\~ = 0,1973 X = 0,039
v =
2.9,81.20.0,15          . „._ .
0,1973 y             300
2
2----- =2,^45 m/s
7t.O,I52          ^ _ 3
q =2,245 ---------*--------- = 0,04 m /s < Q
150                                4                    7                             gewenst
D.4.56
d. Kies d= 200 mm
R VOT = e
2jlL
2.9,81.20.0,2 300
= 102 994
10
-6
_ I>6 200
= 0,008
voC
= -2 log (
= 5,3228
= 0,1879 = 0,0353
I 0,1879
= 2,722 •
0,008 3,71
+
2,51
102 994
2.9,81*20.0,2 300
2,722 m/s
v =
Q,
----*--- = 0,085 m /s
'200 -7--- 4 Deze diameter voldoet dus. We kunnen dit debiet aanpassen aan het gevraagde debiet door het plaatsen van een regelklep in de leiding.
6. Door de betonnen buis met ellipsvormige doorsnede (k=0,5 mm)
3 stroomt een -debiet van 1000 m /u water van I5°C. (fig.I4)
Bepaal de drukval per km lengte van deze buis.
Fig.I4
Oplossing.
De hydraulische straal van de doorsnede bedraagt: A
rh ■
n
met A =- TC.a.b=7i;.0 , 25.0, 5=0,I257t m
n                                             7                7 7
^
n
0 =ti. (a + b)= TC. (0, 25+0 , 5 ) =0 , 7571 m n
r. =
h
0 ,1 2 5 % 0,7571
m
D.4.57.
De equivalente diameter bedraagt dan
d = 4r, = —|- m = 0,667 m
De stroomsnelheid bedraagt:
v =
Q__ IO
A %
.0,25.0,5 = 0,71 m/o
Het getal van Reynolds wordt:
■ , _Vd . 0,71.0 667 , 4>74.I05 N) IQ-6
De stroming is dus turbulent.
V:                   O 3
-*--- = rln = 0,00075
d oo /
eq
We zoeken de waarde van X uit het diagram van Colebrook X ^ 0,019
Per kilometer leiding wordt de weerstandshoogte dus:
•^ 1 v2            ^ ^To 1000 0,7I2 ^ „_r
H = X —----■ —---   = 0,019 . rrn        ' o q QT = 0,736 m
w d 2q               ' 0,667 2.9,81 ' eq ^
De overeenkomstige drukval: Ap = pgH = 1000.9,81.0,736 = 7217 Pa = 0,07 bar.
D.5.I.
HOOFDSTUK 5.
Plaatselijke weerstanden.
Inleiding:
In vorig hoofdstuk hebben we besproken hoe de weerstand tegen stroming werd bepaald in rechte volledig gevulde leidingsge­deelten. In een stromingsinstallatie bevinden zich nog heel veel andere onderdelen zoals bochten, vernauwingen, compensatoren, afsluiters, filters....
In al deze onderdelen ondervindt de stromende vloeistof eveneens een weerstand. De "plaatselijke" weerstanden kunnen niet altijd even gemakkelijk berekend worden. Daarom gaat men deze dikwijls bepalen langs experimentele weg in een proefinstallatie. Hiertoe meet men de drukval die over een bepaald element ontstaat bij een bepaald debiet.
Meet men tevens het bijhorend debiet dan kan een kenmerkend ge­tal berekend worden dat in een kataloog kan opgenomen worden en waaruit nadien bij een toepassing de weerstand over het element kan bepaald worden. In praktijk maakt men gebruik van twee soorten kenmerken-.
I; de equivalente lenqte 1
eq
2. de weerstandscoëfficiënt £.
We bespreken deze gegevens in detail in de volgende paragrafen in
het geval van de turbulente stroming.
Is de stroming laminair dan moeten deze gegevens nog aangepast
worden. Dat bespreken we in paragraaf 5.
In paragraaf 6 geven we een aantal toepassingen.
D.5.2
2. De equivalente lengte.
Men bepaalt hiertoe langs experimentele weg hoeveel meter rechte
leiding dezelfde weerstand geeft als bijvoorbeeld een bocht
van 90°.
Men vervangt vervolgens elke bocht van 90° die werkelijk in een
leidingsinstallatie aanwezig is door een fiktieve equivalente
lengte rechte leiding.
Dergelijke meetgegevens werden bijvoorbeeld door STORK voorgesteld
in de grafiek op pagina D.5.3. Hierbij wordt volgende werkwijze
gevolgd.
- —_ ^ wordt afqelezen in functie van R en ——— .
D                           ^                                                    e D
1
- 1 wordt bekomen door --rr1— te vermenigvuldigen met de
eq                                                 D                           .
diameter D (in meter)
- bij bochten van meer of minder dan 90° wordt de equivalente lengte evenredig met de bochthoek aangepast.
Een ander voorbeeld vinden .we bij SIHI.
De equivalente lengte kan, in eerste instantie,worden bepaald door de hieronderstaande coëfficiënten te vermenigvuldigen met de diameter (D in centimeter.)
Hulpstukken
Coëfficiënt
Schuifafsluiter open
Schuifafsluiter half open
Klepafsluiter
Terugslagklep
1
eq ■ „
D(cm) ~ '"
4
3,5
0,7
Men kan ook de equivalente lengte bepalen van toestellen o.p hun ge­heel. Zo kan men bv. in de grafiek van pagina D.5.4. de equivalente lengte bepalen van een verwarmingsbatterij of een koelbatterij. Bestaat de batterij uit 4 buizen met een lengte van 1,5 meter dan is de equivalente lengte van deze batterij = 9m.
D.5.3.
EQUIVALENTE LENGTE WATERKRING m LONGEUR EQUIVALENTE DU CIRCUIT D'EAU m EQUIVALENT LENGTH WATER CIRCUIT m GLEICHWERTIGE LANGE WASSERKREISLAUF m
D.5A
LE
so
LE.0.3 +
pas.(L
+ 0,7} m
I PAS
i i i i
:aantal buizen per kring nombre de tubes oar circui
/
/
/
/
/
numi Anzz
ser of tubes hl Röhre pre
per circuit ) kreisiauf
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
A
/
/
/
/
/
/
40
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
f
/
/
/
/
/
/
s
Y
<
/
/
/
/
/
/
/
A
/
/
/
/
A
/
y
/
30
/
/
f
é
/
A
/
/
/
.a
/
A
/
/■
y
/
/
/
/
y
/
/
/
y
/
y
/
/
/
/
/
s
s
20
7
' /
+.
/
/
/
<c
s
A
/
/
/
/
/
/
/
/
V
7
/
/
/
/
s
_
7
/
/
10
//
'/
/
m (W>»*
/,'
V
/ t
\y
y
/
/ y
-
2.___
*
k.
4 m
L gevinde lengte longeur ailettée finned length beripte Lange
D.5.5.
3. De weerstandscoëfficiënt.
Het is meer gebruikelijk de weerstand over een element uit te
drukken in funktie van de snelheidshoogte
v
met
2g
waarin £ = de weerstandscoëfficiënt
v = de snelheid na de plaatselijke weerstand De weerstandscoëfficiënt£ kan:
- in sommige gevallen langs theoretische weg worden afgeleid
- in andere gevallen alleen langs experimentele weg worden bepaald Hiertoe wordt de drukval Ap over het element gemeten, zodat
H
_ -Es.
2
V
pg
2g
w
en
£ =
2Ap_
2
v p
In deze nota's geven we enkel de resultaten van deze berekeningen of experimenten. Op volgende bladzijden vinden we enkele £ waarden
D.5.6.
I. Plotselinge verwijding
A
£ = (
A.
-I)
2 v!
■~Vi
~v2
H = (
A.
■I)
2g
w
2- Plotselinge vernauwing.
Aj
V.
H
£
2g
w
A2
//■•/■■,■■•■ ,■?''.',■.■, /.-/ ■,
.'■-.- // ■■ ■■•/ //, ■• /■- /•■- ,■ , ,■ ,
$
0,8          0,9           1
D.5.7.
3. Geleidelijke verwijding (diffusor).
E
1
_!£.
p
/
— oJ1 -
i
1
°2
f
/o
A / /\ /
/O
7*v
^
^
^
v.
H
E
^g
w
1,2 1,4 1,6 1,8 2-0 efe/d,
o -
1 1
1
k
------------
------
EE»-
.,
1 f
——A,
D
\
^
(
%
o*
J
"->•
L
r-
Toelaatbare verwijdings-hoek voor een diffusor met een cirkelvormige doorsnede.
L 6 8 105 2 4 6 8lOf
/?,
D.5.8.
4. Geleidelijke vernauwing.
A&
/
I.
2
—-_^^___^
0,08
*
i
f
d, -
a'2
K7
v2
1
!'
D OS
P DL
/
/
/
Q,02
^ "r'
0
«*=£•
w            2g
8'
20*
1,0
16
1,8
2J0
d}/d2
5. Kniestuk.
£
Hw= S.-5Ï-
1
.kj»
D.5.9.
6. Intreeverliezen.
m
■ / /
Scherpkantige intree: £=0,5 Gebroken hoeken: £=0,25
F
O'
SSI33SS5S233
VA
Scherpkantige intree: £ =3 Gebroken hoeken: £=0,6...I
K'n'-V'nx\
:Ax\\W.
£>
t
iNV^^Y^YWxX
I
s
^<cczzzzzzzzzz;
i
e
d~>V
■ ' ' ' /■■''■ *
£=0,5+0,3cosö+0,2cos 6
£ =0,01---0,05
d ^x^/
(V2
1
1,25
2
5
10
K
0,5
1,17
5,45
54
245
d.
//
/ /
'■•'A
•■■/,,
U
D. 5 .10 .
7. Bochten.
4 _ r -JL_ Hw~ ^ 2g
£ = f n £■ ^           R b u
e ,
0.5
.-
-
„^hydr. ruw <£ 30°
h
ydr.g/acU90o
^^
>%
•U.3'
I ..
-h
<30^ "
k
<15°|
£      = f (-
^ u
R
1
0,4
0.3
3
0.2
0,1
1 2345578910
_R_ _____
Cf
100
50
k 20
10
e
\
f/
'f*
—:—
« 5
2
.
1 0.5
. -
fR = f(R ) R                e
e
101 2 5 X)2 2 5 103 2 5 10' 2 5 105 2 5 tl6
Re ------*~
D.5.II.
8. Aftakkingen. T-stukken. Broekstukken.
o
■"O
0 0.2 0,4 0.6 0.8 1.0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
w b a,d
2g
2
2^ZJ
7
2
9 2
9 2
£
2
£ 2
Met scherpe
Kogelvormig
Kogelvormig
tffJhgRTTCJiittl bh ba
kanten
Af geronde hals Vlakke bodem
? =U
t =5
? =0.9
X =07
f
10*
30°
£5°
60*
90°
?
0.1
0.3
0.7
1,0
1.4
R/d
0,5
0.75
1
1.5 2.0
X
1.1
0.6
0.4
035 0,2
H = w
2g
D. 5.12. Gebruikelijke ^-waarden voor het leidingsnet van centrale verwarming
Stroomspiitsing
Samenvloeien van stromen
T- stukken met rechte aftakking
0
I
0
2,
I,5t 2                       2
-lUtf-
o
0
T-stukken met ge­bogen aftakking
0
0,5
Pi 5
0
0,75
Kruisstukken met rechte aftakkingen
1,5
1
'3
2
0
.
> 3
0
1,5
0,75
0
Kruisstukken met gebogen aftakkingen
0,75
o,a 3
Broek stukk en T—stukken met 2 gebogen aftakkingen
0
HOOFDSTUK 3.                   D'3'Z'
Hoeveelheid beweging en impuls.
I. Inleiding.
In de dynamica van de stoffelijke punten worden drie wetten ge­bruikt, namelijk:
de wet van Newton
de energiewet
het theorema van hoeveelheid beweging en impuls.
In vorig hoofdstuk hebben wé de wet van Bernoulli besproken en ..toegepast. We hebben ook gezien dat de wet van Bernoulli in feite de energiewet is in een vorm die bruikbaar is om stationair stromende vloeistoffen te beschrijven.
In dit hoofdstuk bespreken we het theorema van hoeveelheid beweginc en impuls en we gaan na hoe dit theorema op een stromende vloei­stof kan toegepast worden.
We behandelen enkel de stationaire stroming.
In de mecharTica wordt aangetoond dat de wet van Newton toegepast op een stelsel van stoffelijke punten veralgemeend kan geschreven worden onder de vorm:
2 ? = -TT- ( 2 m. v. )                    (I)
u dt .il u                                  1
waarbij: Z'T = de som van alle uitwendige krachten
u u
Z (m.v.) = de totale hoeveelheid bewegina van het stelsel il.
van stoffelijke punten.
D.3.2..
2. Het theorema van hoeveelheid beweging en impuls, toegepast op een stationair stromende vloeistof.
We passen voorgaande vergelijking toe op de hoeveelheid vloeistof die zich op een bepaald ogenblik t bevindt in het controlevolume tussen de doorsneden I en 2. (fig.I)
t + At
Fig.I
De hoeveelheid vloeistof is omgeven door de wand van de buis
waarin de vloeistof stroomt en door de vloeistof die zich nog
buiten het controlevolume bevindt.
We bekijken, voor deze hoeveelheid vloeistof, beide leden van de
vergelijking-*^
Het linkerlid.
Op de vloeistof in het controlevolume werken volgende uitwendige
krachten:
1. Het gewicht van de vloeistof (3-.
2. De kracht die door de binnenwand van het kanaal op de vloei­stof wordt uitgeoefend door druk, wrijving en botsing.
Al deze krachtjes samen vormen een ruimtelijk< krachtenstelsel dat kan herleid worden in een willekeurig punt 0 tot een re­sulterende kracht T en een resulterende koppelvector Ü . Gaat het om een vlakke stroming dan kan dit krachtenstelsel herleid worden tot een resulterende kracht zonder koppel.
D.3.3.
3. De krachten uitgeoefend door de omgevende vloeistof op de twee grensdoorsneden van het controlevolume. Deze krachten kunnen geschreven worden als:
p A : loodrecht op doorsnede I en in de zin van de stroming.
p
2 2
: loodrecht op doorsnede 2 en in een zin tegengesteld aan
de stroming.
Het linkerlid wordt dus:
2 f = r =s +p +^T+?DT
u u
Het rechterlid.
Vermits vergelijking Cl) slechts mag geschreven worden voor een welbepaald stelsel van stoffelijke punten, gaan we dezelfde vloei­stofdeeltjes blijven bekijken.
Op het ogenblik (t+At) bevindt de oorspronkelijke hoeveelheid vloeistof zich tussen de doorsneden I' en 2'. Er geldt:
dt
(Z m.v.)= lim i 1 1 At-O
(Sm.v.) - (Sm.v.)
1 1 U Ai-                          X 1 4.
t+At                       t
_
lim At-O
(H.B), A, - (H.B), t + At t
At
waarbij
(H.B) A, = de hoeveelheid beweging van de oorspronkelijke
hoeveelheid vloeistof op het ogenblik (t+At).
Deze vloeistof bevindt zich dan in gebied B en C, zoda-
= (h7b)_ , A, +(h7b)' , A, B,t+At C ,t+At
(H.B)
= de hoeveelheid beweging van de oorspronkelijke hoeveelheid vloeistof op het ogenblik t. Deze vloeistof bevindt zich dan in gebied A en B,
zodat
—■
= (H.B)A;t + CH.B)
D.3.4
Wanneer de stroming stationair is , dan geldt:
(H.B)_ = (H.B) , A, B, t B,t + At
Het rechter lid van vergelijking (I) wordt dus:
(hTb)
C,t+At " (H-B)A,t _
dt
(lm.v.) = lim 1 At-O
Verder is nu:
(H.B) = het produkt van de massa van de hoeveelheid vloeistof
in het gebied A, met de gemiddelde snelheid v" van alle
lm
vloeistofdeeltjes in het gebied A
= (p_A v At) vT
rI I lm lm
(H.8)^ , A, = het produkt van de massa van de hoeveelheid vloeistof L,t+At
in het gebied C, met de gemiddelde snelheid v^ van
2m
alle vloeistofdeeltjes in het gebied C.
= (p A v At)v_ 2 2 2m 2m
In de limiet At—0 worden deze gemiddelde snelheden vV en v„ de qe-
■ lm 2m ^
middelde snelheden v en vA die in de doorsneden I en 2 optreden. Het rechter lid van vergelijking (I) wordt nu:
d
(S m.v.) = P2A2v v - PIAIvlvl i
dt
Bovendien blijft de kontinuïteitsvergelijking geldig:
PIAIVI - P2A2V2 - * zodat:
dt
(lm.v.) = m (v?-v ) i
In het geval van een stationaire vloeistofstroming wordt verge­lijking (I) :
m
v+3 +F +pTA +p A = m v
D.3.5.
3. Het_berekenen van de krachten vanwege de stromende vloeistof op zijn omgeving.
In vorige afleiding hebben wij de resultante van alle krachten die door de buiswand op de vloeistof wordt uitgeoefend voorgesteld in een willekeurig punt 0 door de vector f .
Weaens
actie en reactie is de resultante van alle krachten
(F. ) die inwendig door de vloeistof op de buiswand wordt uit-10                                  ^
geoefend:
F. = -F
0
10
waarui t:
?io ■ pIAI + p2A2 + * Vj - ft v
Om deze kracht te berekenen moet dus gekend zijn:
- het massadebiet m
- de snelheid in begin- en einddoorsnede
- de druk in begin- en einddoorsnede.
D.3.6. 4. Opmerkingen.
I. De kracht inwendig op een kanaal uitgeoefend door een stromende vloeistof, is dus de som van vier vectoren (fig.2)
m v
2
P2A2 Fig-2"
p A (aangrijpend in het zwaartepunt van doorsnede I. De zin is
mv (deze van de stroming.
p A (aangrijpend, in het zwaartepunt van doorsnede 2. De zin is
mv,., (tegengesteld aan de stromingszin.
Voor een stroming in een plat vlak snijden de werklijnen van de vier
krachten elkaar in één punt. De krachten kunnen dus herleid worden
tot een resultante zonder koppel.
Voor een stroming in de ruimte zullen de werklijnen elkaar niet
snijden in I punt. De volledige krachtwerking geven we aan
ofwel door de vier hoger aangegeven komponenten.
ofwel herleiden we deze vier krachten naar I punt en bekomen we een resultante en een resulterend koppel.
2. De__snelheden in de vergelijkingen en.de getekende snelheidsvec­toren zijn de absolute snelheden van de stromende vloeistof.
3. De drukken.
Hierbij heeft men de twee mogelijkheden.
ofwel werkt men inwendig met de absolute druk. Wenst men dan alle krachten te tekenen die werkzaam zijn op bv. een bochtstuk, dan moet ook nog een kracht vanwege de alzijdige atmosferische druk in rekening gebracht worden.
ofwel werkt men inwendig met de relatieve druk (overdruk).
De uitwendige atmosferische druk is dan meteen gekompenseerd.
D.3.7.
Voorbeeld.
Beschouw het bochtstuk van figuur 3.
2 A = 0,2m
p = 2 bar overdruk
A2 = 0,lm2
p = 1,5 bar overdruk.
Bepaal de krachten die dit bochtstuk ondervindt vanwege de druk
alleen.
PaAZ
PaA1
Fig.3.
Ie oplossing: we werken met absolute drukken, a. De inwendige druk veroorzaakt door de vloeistof.
Fig.4.
p A = 3.10 .0,2=0,6.10 N vertikaal naar boven.
p A = 2,5.10 .0,1=0,25.10 N horizontaal naar links.
b. De uitwendige atmosferische druk.
Deze werkt op het ganse manteloppervlak van het bochtstuk. We.
wensen de resulterende kracht, veroorzaakt door deze alzijdige
atmosferische druk, voor te stellen door een vector.
Hiertoe beelden we ons hetzelfde bochtstuk in, echter eveneens
afgesloten aan de begin- en einddoorsnede. (fig.4) Leggen we
zulk een bochtstuk bv. op een tafel, dan zal het natuurlijk in
rust blijven, onafhankelijk van de druk binnen in de buis.
Dit betekent dat het krachteffect vanwege de atmosferische druk
op de mantel (F , F ) in evenwicht is met de krachten vanwege de
x y
atmosferische druk op de oppervlakten van begin- en einddoor­snede (p A en p A ). Daaruit volgt dus: a J. a 2
5                         5
F = p AT = I.IO .0,2=0,2.10 N vertikaal naar beneden
Y a I 5                              5
F = p A = I.IO .0,1 = 0,1.10 N horizontaal naar rechts x a 2
c. De resultante van alle drukkrachten wordt: p A -F =0,4.10 N vertikaal naar boven
P2A2~FX= °'15,10 N horizontaal naar links.
D.3.8. 22_2El2£2r_E2i we werken met relatieve drukken.
Met de uitwendige atmosferische druk kan onmiddellijk rekening ge­houden worden door de relatieve druk te gebruiken.
PjA = 2.ICT.0,2=0,4.I0"N vertikaal naar boven
—*•                      5                              5
P2A2 = 1,5.10 .0,1 = 0,15.10 N horizontaal naar links.
De vectoren PTA en p?A stellen nu de resultante voor van alle druk-krachten op het bochtstuk, afkomstig van zowel de inwendige druk als de uitwendige druk. We werken dus bij voorkeur met de overdruk.
4. De irapulswet geeft aanleiding tot een vectoriële vergelijking. Dit betekent bv. dat ook voor een eenvoudige ombuiging van een stromende vloeistof, zonder dat de grootte van de snelheid van de vloeistof wijzigt, er toch wandkrachten zullen optreden omdat de richting van de snelheid is gewijzigd.
5. Hoewel de krachten die door een stromende vloeistof op de punten . van een wand uitgeoefend worden zeer komplex kunnen zijn, blijkt
het mogelijk de resultante ervan op eenvoudige wijze te bepalen in functie van de stromingstoestand die bestaat in de begin- en einddoorsnede. Bovendien speelt het ook geen enkele rol wat er precies tussen de beide doorsneden gebeurt met de vloeistof. De vloeistof mag gelijk welke beweging uitvoeren, indien de toestand in intree- en üittreedoorsnede dezelfde is, zal ook dezelfde re­sultante optreden.
6. In de afleiding van de wet werd nergens gebruik gemaakt van het feit of het fluïdum al dan niet samendrukbaar is. De wet is dus, zonder aanpassing, ook geldig voor samendrukbare fluïda.
7. Wel werd aangenomen dat de snelheid in alle punten van een dwars­doorsnede dezelfde is. Bij een reële stroming is dit biet het geval en moet dus weer gerekend worden met de gemiddelde snelheid. Rekent men echter met de gemiddelde snelheid van vorige hoofd­stukken nl.
v =
I
/a vdA
m A J A dan maakt men een fout.
D.3.9.
De hoeveelheid beweging, berekend met deze gemiddelde snelheid,
komt niet overeen met de reële.
2 2
ifi v = pAv ^ f. pv dA m r m JAr
In feite moet dan een korrektiefaktor ingevoerd worden afhankelijk
van de aard van de reële snelheidsverdeling
p = —-— rAv2dA
A A
Av m
We verwaarlozen echter deze korrectiefaktor samen met het gewicht van de vloeistof.
8. Overigens is dit de enige benadering die ingevoerd wordt.
In tegenstelling tot de wet van Bernoulli, waarbij de wrijvings-verliezen in de reële stroming een hoofdrol spelen, is de wet hier zonder aanpassingen zeer goed toepasbaar op reële stromin­gen. De berekende resultaten komen dus goed overeen met de realiteit.
D.3.I0.
5.Toepassingen
I. Het bochtstuk van figuur 5 wordt doorstroomd met water.
2
A = IOOcm .
2
A = 25 cm .
p = 3 bar overdruk
v = 2m/s.
De vloeistof stroomt uit in de atmosfeer.
Bepaal de kracht die het water op het bochtstuk uitoefent.
30^0
P2A2
Fig.5
Oplossing^
v = 2.4=8m/s.
3 Q = v A = 2.0,01 = 0,02 m /s
m
= 1000.0,02 = 20kg/s.
mv = 20.2=40N vertikaal naar boven
--*• 5
p A = 3.10 .0,01 = 3000N vertikaal naar boven.
p.t2 = ö '
mv = 20.8=I60N horizontaal naar rechts
-V:
3O402+I6O2=3O44N. De resulterende kracht is voorgesteld in het punt O. Het gaat om een vlakke stroming. De invloed van de stromende vloeistof kan dus voorgesteld worden door
- ofwel de vier aangegeven vectoren
- ofwel de resulterende krachtvector in het punt O, zonder resulterend koppel.
D.3.II.
2. Een waterstraal met een diameter van 0,03 meter en een snelheid van 20m/s wordt raaklijnig gericht op een plaat die 30° is om­gebogen (fig.6). Welke kracht ondervindt de plaat.
a. indien de plaat een snelheid nul heeft.
b. indien de plaat een snelheid v=I0m/s naar rechts heeft.
^
\//////7ó^----—
a
Fig.6.                                               Fig.7.
Oplossing.
a. De snelheid van de plaat is nul.
De druk in de vloeistof is de atmosferische druk en wordt ge-kompenseerd door de atmosferische druk aan de andere zijde van
-v.
de plaat.
We behouden dus slechts 2 krachten op de plaat (fig.7).
2
m = pAv.= I000. %-°i03---- .20=14,14 kg/s.
0          0 x 0 y
=(mvT-mv^cos30°)e - mvvsin30°e 12                 x           2               y
= (14,14.20-14,14.20. ^|—) e -14,14.20. -i- e 7                     7                    3          x                             2 y
? = 37,9e -141,4e N 0             7 x           7 y
De kracht is voorgesteld in het punt 0.
b. De snelheid_van de plaat is iOm/s^
Er stroomt een kleiner debiet water over de plaat, vermits de plaat wegloopt van de stroming. Het water treedt met een rela­tieve snelheid op de plaat in a.
D.3.I2.
v .=v -v = 20e -IOe = IOe m/s. rel a s x x x
2
m=pv .AsIOOO.IO. --K-0*!03-- = 7 07kg/s
r rel                                    4
De relatieve snelheid van de waterstraal behoudt dezelfde grootte
maar wordt wel afgebogen. Op het einde van de plaat (in bl is de
relatieve snelheid
v =IOcos30°e +I0sin30°e rel                       x                       y
De absolute snelheid in b:
(v ), = V +v
a b s rel
=I0e +I0cos30°e + 5e x                       x y
=18,66e + 5e x y
De kracht op de bewegende plaat wordt:
r*=m(v ) -m(v ), a a a b
=7,07.20=e -7007(18,66e + 5e ) 7 x T 7 x y
=9,47e -35,35e N
x y
We kunnen dit probleem ook eenvoudiger op een andere manier oplossen.
De vergelijkingen die we vroeger vonden werden afgeleid van de wet
van Newton. Deze is geldig in elk assenstelsel dat met konstante
snelheid beweegt. Verbinden we nu een assenstelsel aan de bewegende
plaat, dus met konstante snelheid v =I0e m/s dan blijven ook alle
vorige vergelijkingen en methodes geldig.
In dit referentiesysteem is
■""■''": ■ .J 2 m = 1000.10. --Tt°^3 7,07 kg/s
v =I0e m/s lx
-. V7? - I -
v = 10----- e +10 —r— e m/s
2 2 x 2 y
Zodat
= 7,07(IOe - 10 -~-- e -10 --^- e )N
■ ' x 2 x 2 y
F* =9,47e -35,35e N 0 ' x . y
3.
D.3.I3. Een wagentje met schoep beweegt over een horizontaal vlak met wrijvingscoëfficiënt f=0,2.(fig.S) Op het aangegeven ogenblik bedraagt de snelheid van het wagentje v=20m/s.
Het wagentje wordt voortgestuwd door een waterstraal met diameter van 30 mm. Het water verlaat de spuitkop aan een debiet van 100 liter/seconde. Het wagentje heeft een massa van 100 kg. Met welke versnelling beweegt het wagentje op het aangegeven ogenblik.
Fig.8
V/////// tt/r/rrti *tr**/*r
Oplossing.
Om de versnelling te bepalen stellen we de wet van Newton voor in een tekening.a(fig„9)
v=20%f
100a
W= 0,2 N]
Fig.9.
N
1
In het linker gedeelte van figuur 9 stellen we alle krachten voor
- het gewicht
- de normaalkracht vanwege het horizontaal vlak: N
- de wrijvingskracht: maximaal en naar links gericht: fN
D.3.I4. - de kracht vanwege de stromende vloeistof. Om deze gemakkelijk te kunnen voorstellen laten we het assenstelsel meebewegen met de snelheid van het wagentje v=20 m/s.
De snelheid waarmee het water dan op de schoep komt:
-■ 3 . TC 0,03 q=0,I m /s = vIa ----1---
v = ---°?4 ^ = 141,5 m/s
ia tc.0,03^
v_ = v_ -v = 121,5 m/s = v0 .. Irel Ia s '                    2rel
2                                               2
m = p vT . % °l03-- = 1000.121,5 % °l°3-- = 85,88 kg/s
r Irel 4                              ■ ' ■ 4                    ' y/
m v_ . = m v_ . = 10 435N Irel 2rel
In het rechter gedeelte stellen we het effekt van al.deze krachten
voor op het wagentje, de vector 100a.
Wet van Newton.
\/3 x: I0435-I0435 —~---0,2N = 100a
ty:-I0 435.^ -I000+N = 0
N =6217,5N
2 a =1,545 m/s
Opmerking.
We hebben alles voorgesteld op één welbepaald ogenblik. We hebben
dus de krachten en de versnelling berekend op datzelfde ogenblik.
Op een ander ogenblik is de situatie gewijzigd omdat het wagentje
een andere snelheid zal gekregen hebben.
We kunnen op dat andere ogenblik echter weer dezelfde methode
toepassen om de krachten en de versnellingen te zoeken. Deze zullen
gewijzigd zijn omdat het stromende water een gewijzigde invloed
op het wagentje zal hebben.
.Hoe sneller het wagentje beweegt hoe geringer de invloed van het
stromende water.
D.3.I5. 4. Op het uiteinde van een vertikale waterleiding is een paddestoel
gemonteerd.
3 Het debiet door de leiding bedraagt 0,03 m /s. De uitstroomsnel-
heid = 1,77 m/s.
De diameter van de leiding bedraagt 0,I0m. De waterdruk in de
leiding is 3 bar overdruk. Bepaal de kracht die het water uit-=?
oefent op de paddestoel. (fig.IO)
177 HL fig.io.
q=0,Ö3-
Oplossing^
De snelheid van het water in de leiding bedraagt:
VI =
0,03.4 _ __ . z----r~ = 3,8 2 m/s
TC.0,1 Het massadebiet bedraagt :
m = pq=IOOO.O,03=30 kg/s We vervangen de stromende vloeistof door volgende krachten. — doorsnede I is een cirkelvormige doorsnede m v = 30.3,82 = 114,6N f ,                    '
5 tu 0,1'
= 2356,2 » |
p A = 3.10 .
- doorsnede. 2 loodrecht op de uittredesnelheld is in. feite een deel van een kegeloppervlak. De kracht vanwege de stromende vloeistof verdeelt zich over die kegelmantel.(fig.II)
Fig.II
2a
D.3.I6.
Wanneer we de resultante bepalen van al deze krachtjes, dan merken we dat alle radiale komponenten diametraal tegenover elkaar ge­legen elkaar twee aan twee kompenseren. Er blijft telkens enkel een axiale komponente over. Al deze axiale
komponenten kunnen, samengesteld worden tot een axiale resultante
i
R_ = m v cos45°=30.I,77. \ = 37,5N ka                                                     z
De totale kracht op de paddestoelkop is de resultante van vorige
3 vectoren:
F = 2508 N |
D.3.I7.
De schroeven van een helikopter zuigen boven lucht aan en sturen deze naar beneden.(fig.12)
In doorsnede I, voldoende ver boven de schroeven, heerst nog de atmosferische druk en heeft de lucht een snelheid nul. Juist boven de schroeven heeft de lucht een zekere snelheid en een zekere onderdruk. De schroeven verhogen de snelheid en de druk. In doorsnede 2, met een diameter van IOm, bedraagt de snel­heid 20m/s en is de druk terug gelijk aan de atmosferische druk. Bepaal de hefkracht die door de schroeven op de helikopter wordt uitgeoefend als de soortelijke massa van de lucht gelijk is aan Ikg/m .
Fig.I2
Oplossing
F=m (v -v ) =PAv2(v2-Vl) = 1.71.5 .20(20-0)
=71 .10 N.
D.3.I8.
6. De pomp van figuur 13 heeft een gewicht van 3000N.
Ze verpompt water over een totale hoogte van 8 meter aan een
3 debiet van 0,I25m /s. De aanzuigzijde bevindt zich 2 meter onder
het wateroppervlak.
Bepaal de kracht die door'de pomp in bedrijf zal worden uitge­oefend op het steunvlak m n; bereken deze kracht, als een equi­valent kracht-koppelstelsel in het punt a.
Opmerking: we stellen ter vereenvoudiging de watermassa gelijk aan deze van een kolom water met een diameter van 200 mm en een hoogte van 8 meter.
,0,75 tm
Oplossing. G = 3000 N
Fig.I3
G„ = 1000
Tl 0,2'
. 8=251 N
m = IOOO.O,I25=I25kg/s
Q
0,125.4           x_ no ,
ï----------r— = 15,92 m/s
V2 = ~
2                TC.0,1
Q 0,125.4           - c.c ,
. _ -----2----------__ _ 2,546m/s
VI = A
I             TC.0,25
2
PT              VI             H              P3             V3
hi++ ""2?- = h3+7T + l?
0 +
1000.9,81
2,546
2+0+0
2.9,81
p = 16 3 79 Pa
D.3.I9.
We noemen de krachten die door het steunvlak op de pomp in-a worden
uitgeoefend X en Y ; het moment M (fig.I4)
a a                                a
Fig.I4
Evenwichtsvoorwaarden.
X -m v_ cos 45°=0 a 2
X -I25.I5,92.cos45°=0 a
X = 1407 N a
Y -G -Gn+p A -m v^ sin45°-+m vT = 0 a I 2 I I 2                         I
Y = 3000+251+125.15,92 sin45°-l6379. % °'25-- -125.2,546
a                        ^                                                                4 ■• '
= 3535,75 N
M -r(Gx+Go)0,I + (p.A )0,I+m vT-O,I+mv cos45°.I , 5 a I 2 ' *± I 7 I ^
-m v sin45°.0,85=0
2'
M =(3000 + 251)0,1-CI6379. %'°i25—40,1-125.2,546.0,1 a                                                            4
- I25.I5,9 2.cos45°.I,5+I25.I5,9 2sin45°.0,85
=-701,8Nm
= 701,8Nm in de wijzerzin. De pomp oefent dus op het steunvlak een kracht uit X = 1407 N naar links
Y = 3535,75 N naar beneden a
en een moment M = 701,8 Nm in de tegenwijzerzin.
D.3.20.
7.
Gegeven: een tuinsproeier met een waterdebiet van 700 liter per uur. (fig.15) De snelheid van het water t.o.v. de rotor is I2m/s Bepaal: a. het aanloopkoppel.
b. het nominaal toerental.
300
Fig.16.
Fig.15.
Oplossing^
a. Het aanloopkoppel._
Bij de aanvang heeft het molentje nog geen snelheid. Het water stroomt dus naar buiten met een absolute snelheid van I2m/s onder een hoek van 15° met de vertikale. Het massadebiet door elke arm=350/3600 kg/s.
Op figuur Iö^werden de krachten vanwege de stromende vloeistof in de uittreedoorsneden voorgesteld. Het water treedt in het molentje langsheen een buis in het centrum van het molentje. De krachten vanwege de vloeistof in de intreedoorsnede staan lood­recht op het blad in het centrum van het molentje. Ze hebben geen moment t.o.v. de rotatieas.
De krachten van het stromende water in de uittree vormen dus een koppel U: U=2m v cos!5°.r
350
I2.cosl5°.0,I5
=
3600 =0,338 Nm
D.3.2I.' b. Het nominaal toerental.
Onder invloed van dit koppel gaat het molentje beginnen draaien Het water krijgt dus een sleepsnelheid en de absolute snelheid verandert van richting. (fig.I7)
Fig.I7.
Het nominaal toerental wordt bereikt op het moment dat er geen
koppel meer is m.a.w. wanneer de beide krachten invelkaars verlengde
liggen en dus door het rotatiepunt wijzen. Er is dus geen koppel
als de drager van de absolute snelheid door de draaias gaat.
Figuur 17 stelt het molentje voor op dit ogenblik.
Om de overeenkomstige hoeksnelheid te kunnen bepalen moet de
sleepsnelheid worden bepaald.
v = v sinoc s r
= 12 sina Bepalen van sina.
De afstand a = (I502+302+2;I50.30.cos75° )^
160,4 sin 105°
a = 160,4 mm 150
sina
sina = 0,90
v = I2.0,9=I0,84m/s
üj =
10,84 0,1604
= 67,58 rad/s.
n
60cü
= 645 tr/min
271
D.3.22.
8. Een waaier van een centrifugaalpomp heeft een breedte van 50mm. Het water komt met een radiale absolute snelheid tussen de schoepen aan de ingang.(fig.18 ) De diameter aan de ingang = 75 mm. De diameter aan de uitgang = 300 mm. De waaier draait aan 500tr/min in de wijzerzin.
De raaklijn aan de schoep maakt aan de ingang een hoek van 45° met de radiale richting; aan de uitgang een hoek van 60°. De relatieve snelheid, dus de snelheid van het water t.o.v. de bewegende schoep, wordt raaklijnig aan de schoep verondersteld
zodat er geen stootverliezen optreden.
3 De soortelijke massa van de vloeistof = 1000 kg/m "
g = 9,81 m/s2.
Bepaal: - het debiet
- het motorkoppel dat moet uitgeoefend worden
- het vermogen dat de motor moet leveren
- de totale opvoerhoogte die de pomp geeft
- het. statisch drukverschil aan in-en uitgang van de waaier.
Fig.I8
50
D.3.23
Oplossing^
De ingang van de waaier noemen we doorsnede I.
De uitgang van de waaier noemen we doorsnede 2.
a. De snelheden aan de ingang van de waaier. (fig.I9)
(v )_
s I
271.500 60
0,075
= 1,9635 m/s
(v )T = {v L=I,9635 m/s al si
(Vr)
(v<)
(v ) = V(v )2+(v )2
r I al si
=VI,96352+I,96352
(v ) = 2,7768 m/s
• r I
SJ1
Fig.I9.
b. De snelheden aan de uitgang van de waaier.(fig.20)
(v ) =0,150. 2%£°° =7,854 m/s s 2                         60
(v ) ronbepaald in grootte en a z
richting.
(v )^:-bepaald in richting: de
r 2 r
richting van de schoepvorm -onbepaald in grootte Er geldt:
(v K=(v )9+(v )
a z s 2 r 2
zodat
i
(v )0 cosa=(v )0cos60° (I) a 2 r 2
(v Ksincc=(v ) -(v )osin60°(2)
a 2 s 2 r 2
Fig.20
D.3.24.
c- Continuïteitsvergelijking- Het debiet.
Om de snelheden in de einddoorsnede te bepalen moeten we de continuïteitsvergelijking toepassen:
qi - q2 qz = 7CdI.b.(va)I
= %.0,075.0,05.1,9635=0,02313 m /s
q_ = 7id_ b.(v ) cösa = 0,02313 c.               <L               ad
(3)
(I) en (3): (v )ocos60°= Z^^l, nc-
r2                    7ï.0,3.0-,05
(v )_ = 0,9817 m/s r 2 1
(I): (v ) cosa = 0,491 m/s a c.
(2) (v )_ sina = 7,0038 m/s a 2                     7
(v )^ = 49,2946 (m/s)2
a 2 '
(v ). = 7,0209 m/s a 2 '
D.3.25
d. Het motorkoppel.
Fig.2I.
Op de waaier werken volgende krachten.(fig.21)
het motorkoppel in de draaizin U
^^                                        m
de kracht vanwege de stromende vloeistof
aan de ingang van de waaier:
A.
de krachtvectoren vanwege de druk en de krachtvectoren die
overeenkomen met m (v )T staan loodrecht op de cilinder-
a I                                      r
vormige intreedoorsnede. Deze krachten hebben geen moment t.o.v. de rotatieas.
aan de uitgang van de waaier:
de krachten vanwege de druk staan loodrecht op de cilinder-
vormige uittreedoorsnede en hebben geen moment t.o.v. de
rotatieas.
de krachten die overeenkomen met de komponente m (v )„ hebben
3. z
de richting van de absolute snelheid aan de uittree. Enkel de tangentiële komponenten hebben een moment t.o.v. de rotatieas,
Het resulterend moment vanwege de vloeistofkrachten t.o.v. de rotatieas.
M= [m(v ) sina] R =23,13.7,0038.0,15=24,30 Nm. Vermits de rotor met konstante hoeksnelheid draait, geldt:
U =M=24,30 Nm. "}
D.3.26
e. Het vermogen
P=U .w m
24,30 -2% 50°
60 = 1272,42 W
f. De opvoerhoogte van de pomp.
P=pgQHp
127 2,4 2=1000.9,81.0,02313.H
P
H = 5,60m P
Het drukverschil aan in-en uitgang van de waaier
Bernoulli:
2                                             2
pi+ ---_---. +pgHp = p2+'
o O O
Ap=p2-pi = pgH + -|- (v - Vj) Ap=I000.9,8I.5,6+ I°°° (7,02I2-I,96352)
= 36 216 Pa
D.3.27* Opmerkingen.
a.  De pomp levert in de waaier een opvoerhoogte H =5,6m Deze bestaat uit twee komponenten:
- een statische drukhoogte (om de druk te verhogen)
Ap 32 216 _ _Q= 7?" = 1000.9,81 = 3'284 m
- een dynamische drukhoogte (om de snelheid te verhogen)
2 2 V2 VI 7,0209 1,9635 _. ___ 2g 2g ~ 2.9,81 2.9,81 ^>^-o
Een centrifugaalpomp geeft dus in de waaier aan de vloeistof zo­wel een statische drukverhoging als een dynamische drukverhoging
b.  Deze dynamische druk wordt in het slakkenhuis gereduceerd en om­gezet in statische druk.
Indien de snelheid in het slakkenhuis wordt gereduceerd tot bv. 2m/s dan wordt de statische drukverhoging: De totale drukhoogte = 5,60m
2*
De dynamische drukhoogte = -— Q Q — = 0,20m
<_ . y , ö 1
De statische drukhoogte- 5,6-0,2=5,4m
De statische drukverhoging: 5,4.1000.9,81=52974 Pa =0,5 3 bar.
D.3.28. c. De opvoerhoogte van een pomp.
Bekijken we de uitdrukking die H geeft van naderbij:
P u -w p. _ m _ M.o)
p ~ Qpg ~ Qpg " Qpg m [ (v ) sina ] R?co
Qpg
Qpg [(v ) -(v ) sin60° ] R w
Qpg
= f (v ) „-(v ) _ sin60° 1 Rna) L s <l r 2 J 2
De opvoerhoogte is dus onafhankelijk van p.
Het pompvermogen is dat wel.
De opvoerhooqte H is echter wel afhankelijk van Q omdat zowel
P
(v )_ als (v )_ afhankelijk zijn van het debiet, s 2 r 2
Uitgaande van de stelling van hoeveelheid beweging en impuls zal in de cursus over centrifugaalpompen worden aangetoond dat de totale opvoerhoogte kan berekend worden met volgende uit­drukking:
(v )l-(v )l            (v )l-(v )l              (v )*-(v>)l
a2al                s2sl                   rlr2
H
'P 2g                                2g                                  2g
_ 7,02O.92-I,96352 7 , 8542-1,96352 2 , 77682-0 ,98I72 2.9,81 + 2.9,81 + 2.9,81
=5,6m.
Stromingsleer en Thermodynamica
Propellertheorie
Fysica van Fluïda 1998-1999
Pr.l.
Propellerwerking: theorie van Froude
Model- en werkingscondities
'V
fc
Actuating disk
*—r
ff vi
Pi = Patm= O
® vu = vi+Av
Pu=Patm=0
vu = % + Av
Pu=Patm
Pi = P
atm
1
Fysica van Fluïda 1998-1999
Pr.2.
-    de stroming wordt bekeken door een waarnemer die meebeweegt met de constante snelheid vv van het voertuig, waaraan de propeller verbonden is
-    het gaat om een verliesvrije stationaire stroming (ideale fluïdumstroming)
-    de schroeven worden beschouwd als een mfinitesimaal dunne schijfvormige actuator (actuating disk), die energie aan het fluïdum toevoegt onder de vorm van een drukverho-ging
-    in een doorsnede i 'ver' vóór de actuator bedraagt de druk pi = patm = 0, de snelheid van het fluïdum t.o.v. de bewegende waarnemer bedraagt vi; in doorsnede u 'ver' achter de actuator bedraagt de druk pu = patm = 0, de snelheid t.o.v. de bewegende waarnemer bedraagt er vu = Vj + Av;
-    ter hoogte van de actuator bedraagt de snelheid van het fluïdum vi = vi = vs en de druk be­draagt er pi > p2
Modelvergelijkingen
Wet van Bernoulli:
Pi , V? _ Pi , Vs
(1)
pg 2g pg 2g
"      f' .TT      P2 . tl
9 Hp=- + ^ (2) pg 2g             pg 2g
2l. + A = K + A        (3)
Pg 2g pg 2g
Pi'.■xL+H=Jk+i (4)
Pg 2g             pg 2g
Continuïteitsvergelijking:
nd2 m = pq = pvsAs = pvs —^            (5)
Impulswet:
De kracht vanwege het stromend fluïdum op de propeller bedraagt
F.=A1(p2-p1) = ^(p2-p1)-                       (6)
Fs = m(vu - Vj) = pq(vu - Vj) = pvsAs(vu - v{) (7)
Fysica van Fluïda 1998-1999
Pr.3.
Fysica van Fluïda 1998-1999
Pr.4.
Uitwerking
De snelheid van Froude:
uit (2) en (4) volgt:
Hp=ML = lLzi (A)
Pg           2g
uit (6) en (7) volgt:
Fs = As(P2 -Pi) = PvsAs(vu -Vj) (P2-Pi) = PV8(vu-Vi)                             (B)
- uit (A) en (B) volgt:
P2-P1 =vu~vf Pg           2g
Pg               2g
Vs(Vu-Vi) = (Vu+Vi)(Vu-Vi)
g                      2g
V + V-
vs = ------              (de snelheid van Froude)
of ook:
v„ + v- v- + Av + v- 2v- + Av           Av
V =—------— — ------------------ =----------------= V-H-------
2                 2                  2            ' 2
De snelheid van de fluïdumstroom ter hoogte van de actuator, die vanuit de bewegende waar­nemer geobserveerdw wordt, is gelijk aan het rekenkundig gemiddelde van de intrede- en de uittredesnelheid.
of nog:
Av de snemeidstoename vóór de actuator is gelijk aan de snemeidstoename na de actuator: —
Fysica van Fluïda 1998-1999
Pr.5.
Het geïnduceerd vermogen en het theoretisch propulsierendement (het rende­ment van Froude)
De energiehoogte, die door de actuator aan het stromend fluïdum wordt toegevoegd wordt ge­geven door vergelijking (A). Vanuit deze energiehoogte kan het geïnduceerd vermogen be­paald worden, dat is het vermogen dat door de actuator (de propellerschroeven) aan het stro­mend fluïdum toegevoegd wordt:
2         2                 2        2               2        2
V — V                V — V             V — V-
Pp-qpgHp-qpg-V-^^qp-V'-^^-V^ (D)
zg                 z                z
Het vermogen dat nuttig aangewend wordt om de propeller te verplaatsen bedraagt:
Pn = Fs-vv = Pq(vu-vi)vv=m(vu-v.)vv (E)
Vergelijken we deze twee waarden met elkaar dan vinden we het theoretisch propulsierende­ment of het rendement van Froude:
= T1 = ^ Vu - Vi) Vv = 2( Vu - Vi) Vv = 2<X - Vi) Vv
^th % . v2-v2            v2-v2         (v +v.)(v -v.)
2
r, = 2Vy = Vv = 2Vy F K+v) vs (2^+Av)
Het werkelijk rendement:
In het voorgaande werd de stroming verlies- en wervelvrij verondersteld. In werkelijkheid moet men rekening houden met de hydraulische verliezen via het hydraulisch rendement t|h en met de verliezen in het mechanisme dat de energie (of het vermogen) overdraagt van de motor via de schroeven naar het stromende fluïdum via het mechanisch rendement r)mech-
Het werkelijk rendement wordt:
^werk = U'f -"Hh ,Tlmech
Fysica van Fluïda 1998-1999
Pr.6.
Toepassing: propellerpropulsie in stilstaand fluïdum
We nemen aan dat een voertuig zich met constante snelheid vv in het stilstaande fluïdum voortbeweegt. De stuwkracht van de propeller is dan gelijk aan de weerstandskracht vanwege het omgevende fluïdum op het bewegende voertuig.
Bij stilstaande lucht krijgen we: Vi = vv
De voornaamste formules worden:
v + v
de snelheid van Froude : v
s
- —------
2
1
het rendement van Froude: r) - —
vs (vu+vv) (2vv + Av) (1+*L)
2v/
F ~'
nd2 de stuwkracht:                      Fs = rh(vu - vv) = pvsAs(vu - vv) = pvs -y-(vu - vv)
7ld                                           Tixf 2       2
Fs = P-^(vu + vv)(vu - vv) = p-^(v2u - v2v)
het stuwvermogen:                Pn = Fs. vv - pq(vu - vv)vv = rh(vu - vv)vv
Y2 _ Y2            V2 — V2
het geïnduceerd vermogen: Pp=qpgHp=qp —------- = ril—-------
het vermogenverlies:
2          2
V -v
Pverlies = Pp " Pn = hl-^ - hl(Vu - Vy )Vy
"verlies ~ m
(Vu ~ VvXVu +Vv)-2(VU - VvK
2
Pverlies = y [(Vu ~ VVXVU + Vy - 2Vy)]
Pv«üo.=y[(v«-vvXvu--vv)]
p =È(V _v)2
verlies « V * u         v /
Fysica van Fluïda 1998-1999
Pr.7.
Toepassing: helikopter - hangende vlucht in stilstaande lucht: _vv = vi = O
© Vj = 0
Pi = Patm= °
© v1 = vs=v2
feu
-x-----
(2
Pi > p2
® vu = vs + Av
Pu=Patm=0
< r i '
t
U' V
de snelheid van Froude
s 2
v 2v het rendement van Froude: nF = —- =-------— = 0
vs (vu+vv)
het heeft echter geen zin om over propulsierendement te spreken; de propeller zorgt immers alleen maar voor een hefkracht, zonder verplaatsing.
Fysica van Fluïda 1998-1999
Pr.8.
de hefkracht:               Fh = mvu = 2mvs = 2pAsvs
waaruit:
het 'hefvermogen': komt nu in de plaats van het nuttig stuwvermogen uit vorige toe­passingen; het gaat om een schijnbaar vermogen dat gevonden wordt uit het product van de hefkracht en de luchtsnelheid ter hoogte van de propeller
F              F
P
n h' s hl'2pAs ^[2pAs
rhv2u
dit hefvermogen kan ook berekend worden als: Pn = Fh. vs = mvu. vs =
z
het geïnduceerd vermogen:
Pp=qpgHp=qp^ = riA
zoals verwacht blijkt dat alle vermogen dat aan het stromende fluïdum wordt toegevoegd inderdaad gebruikt wordt om de hefkracht te realiseren; er is dus ook geen Verlies' in de strikte zin.
het werkelijk rendement: we moeten uiteraard ook bij een helikopter nog wel rekening
houden met de hydraulische verliezen (aanpassingen aan het gebruikte hydraulische model) en de mechanische overbrengingsverliezen: r)werk = t)h .r|mech
Voorbeelden:
1.  Een schip vaart met een constante snelheid vv = 10 km/uur. De propellerschroeven hebben een diameter ds = l meter en leveren een stuwkracht Fs = 10 kN.
Bepaal: a. het waterdebiet
«
b.  het motorvermogen
c.  het (nuttig) vaarvermogen
d.  het propulsierendement
2.  Welk motorvermogen moet er geïnstalleerd worden om een helikopter met een massa van 1000 kg op te tillen en in hangende vlucht te houden indien de diameter van de propeller 2 meter bedraagt? We rekenen met g = 10 m/s . De hydraulische verliezen worden geschat op f|H = 0,9; de mechanische verliezen op r)mech = 0,8. Wat wordt dit vereist vermogen in­dien men met een propellerdiameter van 3 meter werkt?
Fysica van Fluïda 1998-1999
Pr.9.
De windturbine: model van Froude
Model- en werkingscondities
"777771------X
generator J—»>
P|
® Vj
= Patm= °
©      ®
v1 = vs=v2
Pi > p2
®
vu = Vj - Av
PU=Patm=0
Av/2
—}
vu = Vj-Av
Pu=Patm
I__
Fysica van Fluïda 1998-1999
Pr. 10.
Door de propeller in omgekeerde zin aan te wenden kan uit een stromend fluïdum (bvb wind) energie gewonnen worden.
-    het gaat om een verliesvrije stationaire stroming (ideale fluïdumstroming)
-    de schroeven worden vervangen door een infrnitesimaal dunne schijfvormige receptor {actuated disk), die energie aan het fluïdum onttrekt onder de vorm van een drukverlaging
-    in een doorsnede i 'ver' voor de receptor bedraagt de druk pi = patm = 0, de snelheid van het fluïdum bedraagt er vï; in doorsnede u 'ver' achter de receptor bedraagt de druk pu = patm = 0, de snelheid bedraagt er vu = vi - Av;
-   ter hoogte van de receptor bedraagt de snelheid vi = \2 = vs en de druk bedraagt: pi < p2
Modelvergelijkingen Wet van Bernoulli:
Pi
,vf.
Pg
v?
2g
pg
2g
Pr
| 's
-Hr =
.P2
f2
1
Pg
2g
Pg
2g
P2
2g
_P« ,
^
Pg
Pg
2g
Pi
,V-
-H =
P»H
v2
h u
(1)
(2)
(3)
(4)
Pg 2g r pg 2g
Continuïteitsvergelijking:
m = pq = PvsAs = pvs —^           (5)
Impulswet:
F.=Ai(p1-p2) = ^-(p1-p2)                         (6)
Fa = m(vi " vu) = P.q(Vi - vu) = pvsAs(Vi - vu) (7)
Fysica van Fluïda 1998-1999
Pr.ll.
Fysica van Fluïda 1998-1999
Pr.12.
Uitwerking
De snelheid van Froude
uit (2) en (4) volgt:
.2          2
Ut=2lZ2± = ?iZ^ (A) pg           2g
- uit (6) en (7) volgt:
Fs = As(Pi -P2) = PvsAs(vi - Vu) (Pi-p2) = Pvs(vi-vu)                             (B)
- uit (A) en (B) volgt:
P1-P2 _v?-vu
Pg           2g
PVs(Vi-Vu)^Vf-Vu
Pg               2g
g                      2g
V- +v v„ = —------              de snelheid van Froude
of ook:
_ vi + vu _ Vj + Vj - Av _ 2vj - Av _ Av
s                                                                                      ■'
2                2                 2           ' 2
De snelheid van de fluïdumstroom geobserveerd ter hoogte van de receptor is gelijk aan het rekenkundig gemiddelde van de intree- en de uittreesnelheid.
of nog:
Av de snelheidsafhame vóór de receptor is gelijk aan de snelheidsafhame na de actuator: —
Fysica van Fluïda 1998-1999
Pr.13.
Het turbinevermogen
De energiehoogte, die door het stromend fluïdum aan de receptor wordt afgestaan wordt ge­geven door vergelijking (A). Vanuit deze energiehoogte kan het vermogen bepaald worden, dat door de turbine uit het stromend fluïdum kan gehaald worden:
v2_v2              v2_ 2               2        2
Pr=qpgHr=qpg^—^- = qp-i—-i = m-^—*■ (D)
2g                 2                2
Het turbinerendement
Om het turbinerendement te bepalen wordt het bovenstaande vermogen vergeleken met het totale vermogen dat in het stromend fluïdum aanwezig is. Dit wordt berekend met:
Pfl=pViA8^- .
Merk op dat wordt gerekend met As > Ai; het is immers enkel uit het gedeelte As dat energie kan gewonnen worden door de turbine.
Vergelijken we deze twee waarden met elkaar dan vinden we het turbinerendement:
nAv(vf-v2„) _Pr_pAsvs^^_V5(vf_va)
'Ith t>                                       2                                 3
Pfl        pAsvA
V s i 2 f M V 2     2, (l + %l-(^)2)
- =(vi+vu)(v, -v«)= Vj               Vj
^th                  2vf                                  2
Het maximaai turbinerendement
Door voorgaande uitdrukking af te leiden en nul te stellen kan het maximaal turbinerendement gevonden worden samen met de bijbehorende snelheids verhouding:
rith,m!«=0!593 = 59,3% bij vu=2l
Men kan dus met een windturbine maximaal 59,3 % van de totale energie die in de wind zit recupereren. Omwille van turbulenties en het niet verliesvrij zijn van de stroming ligt het ren­dement nog lager. De oude windmolens halen een rendement van om en bij de 15 %. Moderne windturbines voor de opwekking van elektriciteit bereiken een rendement van 48 %.
Fysica van Fluïda 1998-1999
Pr.14.
Voorbeeld:
De bladen van een windturbine hebben een diameter ds = 5,5 meter. De windsnelheid bedraagt 9 m/s.
a.  Welk elektrisch vermogen mag men met deze installatie maximaal verwachten indien men de hydraulische verliezen op 20 % schat en de mechanische overbrengingsverliezen op 16 %.
b.  Bepaal de axiale belasting die de windturbine bij deze windsterkte ondervindt.
Oplossing:
a. We berekenen eerst het vermogen dat met de installatie maximaal uit de windsnelheid kan
gehaald worden. Het maximaal rendement wordt bereikt bij: v 9
v, =—------ = — = 6m/s
2         2
In dat geval vinden we:
v2-v2 Tid2 v2-v2 Pr=m-^-----^ = pvs-^vs-^-----s-
2                4           2 .
7i5,52 92 - 32 P = 1,22.6.—2— .6.-—— = 6260W
4           2
Dit is het vermogen dat men maximaal uit de wind kan halen; het komt overeen met 59,3 % van het vermogen dat in de wind aanwezig is.
Om het verwachte elektrisch vermogen te bepalen moeten we dit maximaal vermogen nog vermenigvuldigen met het hydraulisch en met het mechanisch rendement:
Pd = Mhydr-M.ech.Pr = 0,8.0,84.6260 = 4207 W
b. De axiale turbinebelasting bedraagt:
red2
Fa=PVsAs(Vi-Vu) = PVs^(VI-Vu)
tu.5,52 Fa = 1,22.6.——(9-6) = 1043N
Fysica van Fluïda 1998-1999
E.31. 3.Een vloeistoflaag heeft een dikte van 0,6m en een viscositeit van I p. De snelheid van het bovenste vloeistoflaagje=IO m/s.
(fig.I7) Bereken de snelheidsgradiënt —-- en de schuifspanning
in de punten y=0 y=0,2 y=0,4 en y=0,6m.
in de drie volgende gevallen
a.voor een Newtoniaanse vloeistof
b.indien een parabolische snelheidsverdeling verondersteld wordt
c.indien een cirkelvormige snelheidsverdeling verondersteld wordt
Oplossing.'
De snelheid in functie van y Voor het rechtlijnig verloop
v=I0-
10
(0,6-y)
Ca)
0,6
0,6m
Voor een parabolisch verloop
v=I0-
10
(b)
0,36 Voor een cirkelvormig verloop
100 (rs c ,2 (0,6-y)
(c)
Eig.17.
V =I0°- 0,36 De snelheidsgradiënten
(a) (b)
dv
10
dy dv
0,6 20
(0,6-y)
dy
0,36
Mv
200
(0,6-y)
(c)
dy O,36 dv _ 100 0,6-y
dy
IP=I0"IPas
0,36
Y
i Rechte (a)
Parabool (b)
Cirkel
(c)
V
dv
dy
dv
1 " ^ dy
V
dv dy
dv
t=^ dy
V
dv dy
dv dy
O
0
16,66
1,666
0
33,33
3,33
0
oo
c*=>
O,2
3,333
16,66
1,666
5,555
22,22
2,22
O,4
6,663
16,66
1,666
8,888
II,II
1,11
0,6
10
16,66
1,666
10
0
0
Opmerking.
Zoals in opmerking 4 (pag.23) reeds vermeld kan het snelheids­profiel niet rakend zijn aan een vaste wand omdat x dan on­eindig zou zijn. De veronderstelling dat het snelheidsprofiel cirkelvormig was is dus fout.
Oefeningen 5.1.
Wet van Bernoulli
De werking van een waterkrachtcentrale is gebaseerd op het feit dat het water aan de hoogpeilzijde onderaan de waterdam een hogere energie-inhoud heeft dan het water op dezelfde plaats van de dam aan de laagpeilzijde.
a.  Maak een principeschets van zulke installatie.
b.  Bepaal het vermogen dat per meter peilverschil en per eenheidsdebiet onder aan de dam beschikbaar is om een waterturbine aan te drijven, die op zijn beurt via een gene­rator de elektrische energie opwekt. Reken met p = 1000 kg/m3 en g = 10 m/s2.
c.   Stel dat een waterdam voor een peilverschil van 30 meter zorgt. Welk debiet moet mi­nimaal (indien men zonder verliezen rekent) over de waterturbines geleid worden om een krachtcentrale van 300 MW (300 Megawatt) te kunnen realiseren?
Oplossing:
b.  10 kW
c.   1000 m3/s
Uit een open reservoir, waarin het peil constant gehouden wordt, stroomt water door een aangeslo­ten leiding. Het water mondt aan het einde van de leiding uit in de vrije atmosfeer. Reken met p = 1000 kg/m3 en g = 10 m/s2. Schets het stroombeeld en bere­ken:
a.  de snelheid waarmee het water uit de leiding stroomt
b.  de statische overdruk in het wijde gedeelte van de leiding
c.  het debiet
d.  het vermogen waarover men beschikt aan de uittreedoor-snede.
Oplossing:
a.  v = 4 m/s
b.  p = 7,5 kPa
c.  q = 0,002827 m3/s
d.  P = 23 W
Fysica van Fluïda 1998-1999
Oefeningen 5.2.
3. Twee zeer grote open reservoirs zijn met elkaar verbonden door de aangegeven leiding. De verliezen in de leiding wor­den verwaarloosd. Bepaal:
a.  de snelheid v en het debiet waarmee de vloeistof het laagste reservoir binnenstroomt.
b.  de overdruk in de punten a en b van de leiding.
c.  teken de theoretische energielijn.
d.  Welk pompvermogen zou men in het punt a van de leiding moeten instal­leren om het debiet te verdubbelen? Schets de nieuwe energielijn
Reken met p = 1000 kg/m3 en g = 10 m/s2. Oplossing:
a.  v = 10 m/s en q = 19,6 l/s
b.  pa = 0,47 bar pb = 0,2 bar
d. P = 5,9 kW
4. Een pomp is aangesloten op een zuiglei-ding met een diameter van 0,2 m. Het pompdebiet bedraagt 0,08 m /s. De vloei­stof heeft een soortelijke massa p = 800
q                                                              9
kg/m . Reken met g = 10 m/s . Schets het stroombeeld in deze installatie. Bepaal de absolute druk in de punten b en d van de zuigleiding indien
a.  de weerstandshoogte in de zuigleiding wordt verwaarloosd.
b.  de weerstandshoogte in de zuigleiding 1 meter bedraagt.
De atmosferische druk bedraagt 1,013 bar. Bepaal in beide gevallen eveneens het minimaal te installeren pompvermogen (dat is het vermogen van een pomp die uitsluitend het debiet zou leveren en geen bijkomende drukverhoging, wat betekent dat de druk in het punt c van de installatie terug de atmosferische druk zou zijn). Teken telkens de energielijn. Oplossing:
a.  pb = 0,872 bar; pd = 1,027 bar; P = 1488 W
b.  pb = 0,747 bar; pd = 1,027 bar; P = 2128 W
Fysica van Fluïda 1998-1999
Oefeningen 5.3.
5.  Een centrifugaalpomp verpompt een vloei­stof met een soortelijke massa p = 1100 kg/m . De toestroomhoogte bedraagt 2 meter, de pershoogte 20 meter. Op het aanzuigoppervlak staat de atmosferische druk, die 1 bar bedraagt. Het persvat staat onder een overdruk van 5 bar. Pers- en zuigleiding hebben een diameter van 60 mm. Bij een debiet q = 0,00425 m /s meet men volgende drukken:
- net voor de pomp 0,2 bar overdruk.
- net na de pomp 8 bar overdruk. Reken met g = 10 m/s .
a.  Bepaal alle weerstandsverliezen bij dit debiet.
b.  Schets de energielijn voor deze installatie en geef alle relevante numerieke waarden aan.
c.  Bepaal de opvoerhoogte van de pomp bij dit debiet.
d.  Bepaal het pompvermogen bij dit debiet.
e.  Geef numeriek en overzichtelijk aan hoe dit vermogen aangewend wordt.
f.   Bepaal de statische opvoerhoogte, die de pomp minstens moet kunnen realiseren.
g.  Schets op één grafiek:
* de pompkarakteristiek van de centrifugaalpomp
* de leidingskarakteristiek
* het werkingspunt van de pomp
* de belangrijkste berekende getalwaarden en bespreek kort.
Oplossing:
a. Hwz = 0,07 m; Hwp = 7,39 m; b. (2 m; 1,931 m; 72,840 m; 65,455 m); c. Hp = 70,91 m d. Pp = 3315 W; e. drukverhoging: 2125 W; hoogteverschil: 842 W; verliezen: 349 W f. Hpst> 63,45 m
6.  We beschouwen dezelfde installatie van deze in opgave 5; de diameter van de zuigleiding blijft 60 mm; de diameter Van de persleiding bedraagt nu echter 50 mm.
a.  Bepaal de vereiste opvoerhoogte en het vereiste vermogen van de pomp om hetzelfde debiet te leveren; er mag aangenomen worden dat de verliezen in de persleiding evenre­dig zijn met het kwadraat van de vloeistofsnelheid in de persleiding.
b.  Bepaal in dat geval de druk aan de uitgang van de pomp. Oplossing:
a. ongeveer 78,84 meter; b. ongeveer 8,89 bar overdruk
Fysica van Fluïda 1998-1999
Oefeningen 5.4.
7. Doorheen een verticaal geplaatste straal-pijp wenst men benzeen te laten stromen aan een debiet q = 0,3 m /s bij constante druk in de gehele leiding, namelijk de at­mosferische druk. De diameter van de lei­ding in doorsnede A bedraagt 300 mm. Reken met g = 9,81 m/s2.
a.  Bepaal de diameter d die in doorsnede b vereist wordt opdat de druk er ook ge­lijk zou zijn aan de atmosferische druk.
b.  Bepaal de snelheid in doorsnede B.
Oplossing:
a. d= 181 mm
b.  v= 11,65
300
i
L
"
= A
6m \
1
\
1 d
r
8. Doorheen het verticaal geplaatste con­vergent van de figuur stroomt water. In doorsnede 1 bedraagt de vloeistofsnel­heid vi = 3 m/s. Het soortelijk gewicht vanCCl4 bedraagt y=15600 N/m3.
a.  Toon aan dat door de meting in de U-buis, voorgesteld in de figuur, de weerstandshoogte over doorsnede 1 en 2 kan bepaald worden.
b.  Bepaal Hw indien y = 0,2 meter be-draagt; reken met g = 8,91 m/s .
Oplossing:
v? '                Pcci
a.   Hw=h1+ —+ (y-h1)------4-y
2g                  Ph2o
b.   Hw = 0,34m
200
r-
hi=0,8m
CCI
4
Fysica van Fluïda 1998-1999
Oefeningen 5.5.
9.  Doorheen een leiding met een diameter di = 200 mm stroomt water aan een debiet qi = 50 l/s. De overdruk in doorsnede 1 bedraagt pi = 4 bar. Op de leiding wordt een aftakkraan met een diameter d2 = 20 mm aangesloten. De uit-stroomopening ervan bevindt zich 2 meter boven de hoofdleiding. Het water stroomt er
qp
20 mm—*■
2-
3 JL
ji_2m
1
JL
------ 200 mm
______L_
ir
i
in de vrije atmosfeer. Er wordt geen rekening gehouden met wrijvingsweerstanden. Reken met p = 1000 kg/m3 en g = 10 m/s2. Teken het stroombeeld en bepaal het debiet in door­snede 2 en het debiet en de druk in doorsnede 3.
Oplossing: q2 = 8,7 l/s; q3 = 41,3 l/s; p3 = 4,004 bar
10.  De tekening stelt schematisch een afvulin-stallatie voor. De installatie bestaat uit een verticaal opgesteld cilindrisch reservoir B met een diameter de = 2 meter dat tot een hoogte hè = 3 meter gevuld is met een vloeistof p = 1250 kg/m . Het vloeistofni­veau in reservoir B wordt op constant peil gehouden door een gepaste aanvoer van vloeistof via de pompinstallatie. Om zui­verheidsredenen worden de ruimte boven
de vloeistof in het reservoir B en de vul-ruimte C onder een lichte overdruk gehouden van respectievelijk pB = 0,125 bar en pc = 0,1 bar. De vloeistof stroomt onderaan het reservoir B doorheen een opening met een di­ameter de = 10 cm in tonnetjes, die zich in ruimte C bevinden. De vloeistof wordt vanuit een reservoir A onder atmosferische druk aangevoerd bij middel van een pomp. Het ni­veau van de vloeistof in het reservoir A bevindt zich 0,3 meter boven de uitstroomope-ning C; de pomp brengt de vloeistof in het afvulreservoir binnen via een leiding die zich 0,5 meter onder het vloeistofniveau in reservoir B bevindt. Reken met g = 10 m/s . Teken het stroombeeld in deze installatie en bepaal:
a.  het afvuldebiet
b.  de tijd die nodig is om 2000 liter vloeistof in tonnetjes te brengen
c.  het te installeren pompvermogen om het vloeistofniveau in reservoir B constant te houden.
d.  Teken de energielijn. Oplossing:
a. q = 62,8 l/s; b. t = 31,8 seconden; c. P = 2906 Watt.
Fysica van Fluïda 1998-1999
Oefeningen 6.1.
Wet van Bernoulli: leidingsweerstanden
1.  Water van 80 °C stroomt door een nieuw gecoate stalen buis met bmnendiameter d = 100 mm. Het debiet bedraagt 80 l/s; de absolute ruwheid bedraagt k = 0,05 mm. Bepaal de weerstandshoogte per 100 m leiding.
Oplossing: Hw = 89,37 m.
2.  Door een horizontaal geplaatste buis met een diameter d = 200 mm en een ruwheid k = 2 mm stroomt ruwe petroleum van 40 °C aan een debiet van 10 l/s. De petroleum heeft bij 40 °C een dichtheid p4o °c = 860 kg/m3 en eén viscositeit v40 °c = 4.10"6 m2/s. Bepaal de druk-daling over 100 m leiding bij deze stroming.
Oplossing: Ap = 901 Pa
3. Een vloeistof met een viscositeit v = 50 cSt stroomt uit een reservoir door een leiding met een lengte 1 = 100 m, een dia­meter d = 40 mm en een ruwheid k = 0,1 mm. Bepaal het debiet bij uitstroming in de atmosfeer. Oplossing: q = 0,74 l/s
4. Door een rechte leiding een verval te geven van 8 mm per lopende meter blijft de druk in de leiding constant. De viscositeit van de vloeistof bedraagt v = 1,8 cSt.De buisdiameter is 200 mm; de ruwheid bedraagt k = 0,5 mm. Bepaal het debiet. Oplossing: q = 34,7 l/s
Voor het leidingsysteem van bijgaande figuur kunnen de opvoerhoogte Hp en de weerstandshoogtes Hwi,2 tussen doorsne­den 1 en 2 uitgedrukt worden in functie van het debiet: HP = 50-2q2 HWi,2 = 4q2
a.  Bepaal via het (H,q)-diagram van de-
©
h =
= 10m
©
Sn
liyy,fi.ië'\smm
G
p
ze installatie het debiet waaraan vloei­stof verpompt wordt.
b.  Bepaal de opvoerhoogte van de pomp bij dit debiet.
c.  Bepaal het vereiste pompvermogen indien er water verpompt wordt Oplossing: a. q = 2,58 m3/s; b. Hp = 36,67 m; c. P = 947 kW
Fysica van Fluïda 1998-1999
Oefeningen 6.2.
6. Een watertoren moet met behulp van een nieuwe gecoate stalen buis van 2 km lang een debiet kunnen leveren van 2 m /s bij uitstroming in de vrije atmosfeer. Bepaal de vereiste buisdiameter. Oplossing: d = 800 mm >763 mm
7. De ruwheid van de leiding van een pom-pinstallatie bedraagt k = 0,08 mm. De verpompte vloeistof is water. De lengte van de leiding aan de aanzuigzijde van de pomp bedraagt lz = 10 m, deze aan de perszijde van de pomp lp = 350 m. De di­amaters zijn respectievelijk dz = 100 mm en dp = 75 mm. Boven de vloeistof in het persreservoir heerst een overdruk van 20 bar. Het onderste reservoir is open De pomp levert een debiet q = 10 l/s. Reken met p = 1000 kg/m3, v = 1.10"6 m2/s en g = 10 m/s . Alle plaatselijke verliezen worden verwaarloosd.
a.  Bepaal alle weerstandsverliezen bij dit debiet.
b.  Bepaal de opvoerhoogte van de pomp bij dit debiet.
c.  Schets de energielijn voor deze installatie en geef alle relevante numerieke waarden aan.
d.  Bepaal het pompvermogen bij dit debiet.
e.  Geef numeriek en overzichtelijk aan hoe dit vermogen aangewend wordt.
f.   Bepaal de statische opvoerhoogte, die de pomp minstens moet kunnen realiseren.
g.  Schets op één grafiek:
* de pompkarakteristiek van de centrimgaalpomp
* de leidingskarakteristiek
* het werkingspunt van de pomp
* de belangrijkste berekende getalwaarden en bespreek kort.
h. Bepaal de piëzometrische druk aan de in- en de uitgang van de pomp (deze liggen beiden
2 meter boven de laagste vloeistofspiegel) Oplossing:
a. Hwz = 0,17 m; Hwp = 26,2 m; b. Hp = 248,4 m; c. (0 m; - 0,17 m; + 248,20 m; 222 m) d. Pp = 24,84 kW; e. drukverhoging: 20 kW; hoogteverschil: 2,2 kW; verliezen: 2,64 kW f. HPst > 222 m; g.; h. p^ = 0,225 bar onderdruk; pUit = 24,594 bar overdruk
Fysica van Fluïda 1998-1999
Oefeningen 7.1,
Impulswet: krachten vanwege stromende vloeistof
1. Door een horizontaal geplaatst bochtstuk met een constante diameter d = 900 mm stroomt water (p = 1000 kg/m3) aan een debiet q = 2,83 m /s. Aan de ingang van het bochtstuk meet men een piëzometri-sche overdruk pi = 34500 Pa. Bepaal de krachtcomponenten vanwege de stromende vloeistof op dit bochtstuk (zonder rekening te houden met het gewicht van de vloei­stof), indien:
a.  de stromingsverliezen in het bochtstuk verwaarloosd worden.
b.  rekening gehouden wordt met de weerstandscoëfficiënt £ = 0,3 in het bochtstuk. Reken met g = 10 m/s . Teken alle krachten op het bochtstuk: maak het dus vrij. Oplossing:
a.  bochtstuk: F = -(21948 + 12589)ex + (21948 +12589)ey N
b.  bochtstuk: F = -(20060 +12589) ex+(21948+ 12589) eyN
2. In het systeem van vraagstuk .1 werd achter het bochtstuk nog een vemauwer geplaatst, die de diamater van de leiding reduceert tot 750 mm. Bepaal de krachtcomponenten vanwege de stromende vloeistof op het bochtstuk en de vemauwer (zonder reke­ning te houden met het gewicht van de vloeistof), indien:
a.  de stromingsverliezen verwaarloosd
worden.
b.  rekening gehouden wordt met de weerstandscoëfficiënt C\ = 0,3 in het bochtstuk en C^ = 0,2 in de vemauwer.
c.  de vemauwer de leidingsdiameter reduceert tot 600 mm en met dezelfde weerstands­coëfficiënten gerekend wordt.
Reken met g = 10 m/s2. Teken alle krachten op het bochtstuk en op de vemauwer.
Oplossing:
a. bochtstuk: zie La; vemauwer: F = [(21948 +12589) +(-10537- 18140)]ex N
b.  bochtstuk: zie 1 .b; vemauwer: F =
c.  bochtstuk: zie l.b; vemauwer: F =
(20060 +12589) + (-7424 -1-8140) (20060 +12589) + (+5282 - 28325)
ëxN
êxN
Fysica van Fluïda 1998-1999
Oefeningen 7.2.
3. De tekening stelt een leidingsplitsing voor dat volledig in een horizontaal vlak gelegen is. Er stroomt water door met een
2
soortelijke massa p = 1000 kg/m . Het water stroomt in doorsnedes 2 en 3 vrij in de atmosfeer. De stroomsnelheid in door­snede 2 bedraagt V2 = 12 m/s. Er wordt geen rekening gehouden met de stro-
y
©
11
^\^t®
o'
11
X
mingsverliezen en met het eigen gewicht van de vloeistof. Reken met g = 10 m/s . Be­paal:
a.  de snelheden vi en V3 in doorsnedes 1 en 3, evenals de druk pi in doorsnede 1.
b.  de krachten vanwege de stromende vloeistof op dit leidingsgedeelte. Oplossing:
a.  vi = 8,33 m/s; v2 =' 12 m/s; v3 = 12 m/s; pi = 37278 Pa overdruk.
b.   F = 243e„+25e„N
3.b. Los het vraagstuk 3 opnieuw op, maar houd nu rekening met de stromingsweerstanden. Tussen doorsnede 1 en 2 wordt de weerstandscoëfficiënt geschat op £122 = 0,2 en tussen doorsnede 1 en 3 op d©3 = 0,3. Bepaal eveneens de weerstandshoogte Hwi,2 tussen door­snede 1 en 2 en Hwi)3 tussen doorsnede 1 en 3. Oplossing: a. vi = 8,22 m/s; V2 = 12 m/s; v3 = 11,53 m/s; pi = 52652 Pa overdruk.
b.  F = 522ex-lëyN
c. Hwi,2 = 1,44 m; HwU = 1,99 m
4. Uit een mondstuk, aangesloten op een persluchtleiding, stroomt 6 kg lucht per seconde. In doorsnede A (7500 mm ) staat de lucht onder een piëzometrische overdruk van 14 bar en bedraagt de snelheid va = 45 m/s. De lucht verlaat opening B aan een snelheid van 360 m/s en komt in de atmosfeer te-recht. Reken met g = 10 m/s .
a.  Bepaal het kracht-koppel-stelsel dat men in het punt A moet uitoefenen om het mondstuk in evenwicht te houden.
b.  Bepaal de weerstandscoëfficiënt voor dit mondstuk, in de
^&o
1
Kb
A
mi 1
T'
veronderstelling dat de dichtheid van de lucht ter hoogte van doorsnede A p = 14.1,2
2
kg/m bedraagt Oplossing:
a.  Xa = 1871 N horizontaal naar rechts; Ya = 9690 N verticaal naar beneden; ua = 1122
Nm in wijzerzin.
b.  £ = 0,3
Fysica van Fluïda 1998-1999
Oefeningen 7.3.
5. Men spuit 900 liter water per minuut over een cilin-dervormige plaat. Het water heeft een snelheid van 40 m/s. Bepaal de kracht die het water uitoefent op de plaat. Bepaal eveneens twee punten van de werklijn van de resultante. Reken met g = 10 m/s2 en met p = 1000 kg/m3. Oplossing: F = 311 N; twee punten van de werklijn:
- het middelpunt 0
- het midden van de plaat.
6. Een waterstraal wordt met een snelheid vi = 18 m/s in het midden op een gehelde vierkante plaat (zijde 1 = 1,2 m) gespoten. De diameter van de waterstraal bedraagt 50 mm. De plaat is in B scharnierend aan de omge­ving verbonden. Reken met g = 10 m/s2 en met p = 1000 kg/m . Bepaal:
a.  de kracht F om de plaat in evenwicht te houden evenals
b.  de krachten in scharnier B.
Oplossing: a. F = 159 N; b. Xb = 556 N naar links; Yb = 138 N naar beneden.
7. Water stroomt aan een debiet q = 400 l/min doorheen een spuitstuk van een brandweerslang. We veronderstellen dat de stroming doorheen het spuitstuk geen weerstand ondervindt. Bepaal:
a.  de overdruk in doorsnede A.
b.  het kracht-koppel-stelsel, dat in het punt A uitgeoefend moet worden om het spuitstuk in evenwicht te houden.
c.  het debiet en de uitstroomsnelheid indien men
i- 200
js^Nfc^s
s%
xKjo
in het spuitstuk zou moeten rekening houden met een weerstandscoëfFiciënt £ = 0,2
9                                                                  9
Reken met g = 10 m/s en met p = 1000 kg/m .
Oplossing: pA = 5,48 bar; b. XA = 1279 N; YA = 1500 N; uA = 31,26 Nm; c. vB = 30,3 m/s (tegenover 33,2 m/s); q = 365 l/min.
Fysica van Fluïda 1998-1999
Oefeningen 7.4.
8.  Een sneeuwruimer wordt met een con­stante snelheid v = 0,5 m/s in een sneeuwmassa gedreven. Hierdoor komt de sneeuw ter hoogte van doorsnede 1 in de machine aan een snelheid vi = 0,5 m/s t.o.v. de machine. De sneeuw verlaat de machine aan doorsnede 2. De dichtheid van de sneeuw bedraagt p = 104 kg/m . We rekenen met g = 10 m/s . Ai = 0,12
9                                          9
m ; A2 = 0,03 m . Tip: beschouw het sys­teem in een observatiestelsel dat meebeweegt met de constante snelheid van de sneeuw­ruimer en teken daarin het stroombeeld van de sneeuw. Bepaal:
a.  de kracht F en het vermogen die een persoon moet uitoefenen.
b.  de zijdelingse wrijvingskracht W om de ruimer op een rechte baan te houden.
c.  het nuttig vermogen, dat door de motor van de machine moet geleverd worden om de sneeuwstroom te realiseren.
Oplossing: a. F = 3,12 N; P = 1,56 W; b. W = 6,24 N; c. P = 11,7 W
9.  Het experimenteel Hover-voertuig van de tekening heeft een massa m = 2,1 ton. De motoren zuigen boven het voertuig lucht aan en blazen deze onderaan weer uit. Hierdoor ontstaat tussen het voertuig en de bodem een overdruk, die voor een draag­kracht zorgt. De snelheid van de lucht doorheen de cirkelvormige instroomope-ning (doorsnede 2 met straal r2 = 1 meter) bovenaan bedraagt V2 = 45 m/s. De uitstroomopening onderaan (doorsnede3) is eveneens cirkelvormig en heeft een straal r3 = 3 m. We rekenen met g = 10 m/s en met piucht = 1,22 kg/m en zonder verliezen. We verwaarlozen het effect van het hoogteverschil en veronder­stellen dat de lucht niet samengedrukt wordt. Teken vooraf het stroombeeld van de lucht, te starten vanaf een doorsnede 1 ergens (ver) boven het voertuig, waar de lucht in rust is en de druk gelijk aan de atmosferische druk. Bepaal:
a.  de onderdruk, die in doorsnede 2 bovenaan het voertuig ontstaat.
b.  de overdruk die in doorsnede 3, onderaan het voertuig, moet gerealiseerd worden om de vereiste draagkracht te leveren zodat het toestel over de bodem kan zweven
c.  het vermogen dat de motoren moeten leveren om de vereiste luchtstroom te realiseren. Oplossing:
a. p2 = - 1235 Pa; b. p3 = + 850 Pa; c. P = 122 kW
Fysica van Fluïda 1998-1999
Oefeningen 7.5.
10. Water (dichtheid p) wordt verticaal omhoog gespoten. Het water verlaat de spuitmond (diamater d) met een snelheid u. De bal heeft een massa m. Bepaal:
a.  de hoogte die de waterstraal bereikt zonder aanwezig­heid van de bal.
b.  de hoogte h waarop met deze waterstraal de bal in evenwicht gehouden wordt.
Oplossing:
a. h
u 2g
u2
8g
/
m
Y
b. h =
2g V7Tpud )
11. Alle elementen van de pompinstallatie van tekening zijn aan elkaar vast verbonden zodat de installatie als een onvervormbaar voorwerp kan bekeken wor­den. In gebruik bedraagt de opvoerhoogte van de pomp Hp = 22,5 meter. In de einddoorsnede stroomt het water in de vrije atmosfeer. Reken met g = 10 m/s2 en met p = 1000 kg/m3. Alle stromingsverlie-zen worden verwaarloosd. Teken het stroombeeld en bepaal:
a.  Het pompdebiet en het pompvermogen.
b.  Het kracht-koppelstelsel dat in het punt a moet uitgeoefend worden om de pompinstallatie in evenwicht te houden.
Oplossing:
a.  q=l,40m3/s;PP = 314kW
b.  Xa = 23,9 kN; Ya = 5,0 kN; ua = 14,3 kNm
0O,3m
0O,6m
W/////A
1.2m
0 0,75m
1,8m
1,5m
12. Een tuinsproeier bestaat uit drie gebogen buizen met een diamater d = 5 mm. Bij rotatie wordt de sproeier afgeremd door een wrijvingskoppel uw -0,5 Nm. Bepaal het nominaal toerental bij een sproeierdebiet van 1,2 liter/sec of dus 0,4 l/s per arm. Oplossing: ri = 742,9 tr/min
Fysica van Fluïda 1998-1999
Oefeningen 7.6.
13.  Wanneer de pomp P voorgesteld in de figuur niet werkzaam is, is er geen debiet in het systeem en wordt de veer niet belast. Nadat de pomp in werking werd gesteld en er door de uitstroompijp met diameter 12 cm een debiet q stroomt, bedraagt de veerkracht 2000 N. Er mag aan­genomen worden dat het waterni­veau in het reservoir onveranderd blijft en dat het reservoir opgesteld staat op massa- en wrijvingsloze wieltjes. Alle stromingsverliezen mogen verwaarloosd worden. Bepaal:
a.  het debiet
b. het vermogen dat in deze situatie door de pompmotor verbruikt wordt. Oplossing: a. q = 0,162 m3/s; b. PP =15,5 kW
14.  De waaier van een centrifugaarpomp heeft een breedte van 50 mm. Het wa­ter komt met een radiale absolute snel­heid tussen de schoepen aan de ingang. De diameter aan de ingang bedraagt 75 mm, deze aan de uitgang 300 mm. Het toerental van de waaier bedraagt 12500 tr/min in de wijzerzin. De raaklijn aan de schoep maakt aan de ingang een hoek van 45° met de radiale richting; aan de uitgang een hoek van 60°. Men veronderstelt dat de relatieve snelheidsvector van het water t.o.v. de bewegende schoep de richting heeft van de schoep, zodat er geen stoorverliezen optreden. Reken met p = 1000 kg/m3 en g = 9,81 m/s2. Bepaal het debiet, de totale opvoerhoogte en het vermogen van de pomp. Vergelijk de uitkomsten met deze bekomen in de nota's waarbij het toerental van de pomp 500 tr/min bedraagt.
Oplossing:
q = 0,069 m3/s      (x3)
H = 50,5m          (x3)
P = 34352 W       (x3)
Fysica van Fluïda 1998-1999
10.1.
I.
Oefeningen fluïdomechanica. Reeks 10. Plaatselijke weerstanden.
Het niveauverschil van het water in de twee bekkens bedraagt 50m De verbindingsleiding bestaat uit drie delen.
L =L =L =3000m.
D = 900 mm
D =750 mm
D^=600 mm
De ruwheid van de leiding k=0,I5 mm. De intree is scherpkantig. Bepaal het debiet.
Bepaal het aandeel van de plaatselijke weerstanden in de totali­teit.
-==-
(D
50m
K
x
Oplossing:
3
1,7°/
Q=0,873 m /s